2.4. Примеры решения задач

Пример 2. Сила тока в проводнике сопротивлением R = 50 Ом равномерно возрастает от I0 = 0 до Imax = 3 A за время = 6 с. Определить выделившееся в проводнике за это время количество теплоты. (Уровень

3).

Решение. Согласно закону Джоуля – Ленца количество теплоты, которое выделяется впроводнике за бесконечномалый промежуток времени

dQ I 2Rdt .

По условию задачи сила тока равномерно растет, т.е. I = kt, где

коэффициент пропорциональности k Imax I0 = const . Тогда можно

записать

dQ k2Rt2dt .

Проинтегрировав это выражение и подставив k, найдем искомое количество теплоты:

Вычисляя, получаем Q = 900 Дж.

Ответ: Q = 900 Дж.

Пример 3. Определить заряд q, прошедший через поперечное сечение провода с сопротивлением R = 3 Ом при равномерном нарастании напряжения на нем от U0 = 2 B до U = 4 B в течение t = 20 c. (Уровень 4).

Решение. Так как сила тока в проводе изменяется, то воспользоваться для подсчета заряда формулой q = It нельзя. Поэтому запишем с учетом того, что I I t и проинтегрируем

Выразив силу тока по закону Ома I t U t , получим

83

В силу равномерности нарастания напряжение U t может быть

выражено формулой

Значение коэффициента пропорциональности найдем из формулы (3), из условия, что при t = 20 c, U = 4 B:

k U U0 0,1 B/c . t

Подставив значения величин в формулу (4), найдем величину заряда q = 20 Кл.

Ответ: q = 20 Кл.

Пример 4. Определить внутреннее сопротивление источника тока, если во внешней цепи при силе тока I1 = 4 A развивается мощность Р1 = 10 Вт, а при силе тока I2 = 6 A – мощность Р2 = 12 Вт. (Уровень 3).

Решение. Мощности, развиваемые токами I1 и I2

Выразив R1 и R2 из уравнений (1) и подставив в выражение (2), найдем искомое внутреннее сопротивление источника тока

84

Вычисляя, получаем r = 0,25 Ом.

Ответ: r = 0,25 Ом.

Пример 5. Батарея состоит из n 5 последовательно соединенных элементов. ЭДС. Внутреннее сопротивление каждого из них r 0,3 Ом, а создаваемое напряжение 1,4 В. При какой силе тока полезная мощность батареи равна 8 Вт? Определите максимальную полезную мощность, которую может обеспечить эта батарея. (Уровень 4).

Решение. Полезная мощность батареи соответствует мощности, которая выделяется на внешнем сопротивлении R

где R – сопротивление внешней цепи; I – сила тока, текущего в цепи, которая определяетсяпозаконуОма

где n i – полная ЭДС батареи, состоящей из n последовательно соединенных элементов; nri – внутреннее сопротивление батареи.

Выразим R из (1):

P

R I 2 .

Подставив это выражение в (2), получим

Преобразуявыражение(3),получаемквадратноеуравнениеотносительноI:

nri I 2 n iI P 0 .

Решая квадратное уравнение, находим:

I1,2 n i n2 i2 4nriP .

2nri

Для того, чтобы определить максимальную полезную мощность батареи, найдем зависимость ее от внешнего сопротивления. Подставим в (1) выражение (2):

85

Пример 6. Определить плотность j электрического тока в медном проводе (удельное сопротивление = 17 н Ом м), если удельная тепловая мощность тока w = 1,7 Дж/(м3 с). (Уровень 2).

Решение. Согласно законам Джоуля – Ленца и Ома в дифференциальной форме (см. также (13) и (14) в кратком содержании теоретического материала)

86

где и – соответственно удельные проводимость и сопротивление проводника. Из закона (2) получим, что E j . Подставив это выражение в

(1), найдемискомуюплотностьтока

j w .

Вычисляя, получаем: j = 10 кА/м2.

Ответ: j = 10 кА/м2.

Пример 7. В цепь источника постоянного тока с ЭДС = 6 В включен резистор с сопротивлением R = 80 Ом. Определить: 1) плотность тока в соединительных проводах площадью поперечного сечения S = 2 мм2; 2) число N электронов, проходящих через сечение проводов за время t = 1 c. Внутренним сопротивлением источника тока и сопротивлением соединительных проводов пренебречь. (Уровень 3).

Решение. 1. Плотность тока по определению есть отношение силы тока к площади поперечного сечения провода

S

Силу тока в этой формуле выразим в соответствии с законом Ома

R R1 ri

где R – сопротивление резистора; R1 – сопротивление соединительных проводов; ri – внутреннее сопротивление источника тока.

2. Число электронов, проходящих за время t через поперечное сечение, найдем, разделив заряд q, протекающий за это время через

87

N t , (е = 1,6 10–19 Кл – элементарный заряд). e R

Произведя вычисления, получим

Пример 8. Пространство между пластинами плоского конденсатора имеет объем V = 375 см3 и заполнено водородом, который частично ионизован. Площадь пластин конденсатора S = 250 см2. При каком напряжении U между пластинами конденсатора сила тока I, протекающего через конденсатор, достигнет значения 2 мкА, если концентрация n ионов обоих знаков в газе равна 5,3 107 см 3 ? Принять подвижность ионов

Решение. Напряжение на пластинах конденсатора связано с напряженностью электрического поля между пластинами и расстоянием между ними соотношением

Напряженность поля может быть найдена из выражения для плотности тока вгазах (закона Ома вдифференциальной форме)

j qn( )E ,

Расстояние d между пластинами, входящее в формулу (1), найдем из соотношения d V / S . Подставив выражения для E и d в (1), получим

I V

U . qn(( )S2

Вычисляя, получаем U = 110 B.

88

Ответ: U = 110 B.

Пример 9. Источники тока с электродвижущими силами 1 и 2 включены в цепь как показано на рис.2.7. Определить силы токов, текущих в сопротивлениях R2 и R3, если 1 = 10 В и 2 = 4 В, а R1 = R4 = 2 Ом и R2 = R3 = 4 Ом. Внутренним сопротивлением источников тока пренебречь.

(Уровень 4).

Решение. Силы токов в разветвленной цепи определяют с помощью правил Кирхгофа. Чтобы найти четыре значения силы токов, следует составить четыре уравнения.

Примечание: перед составлением уравнений по правилам Кирхгофа необходимо, во-первых, выбрать произвольно направления токов, текущих через сопротивления, указав их стрелками на чертеже; во-вторых, выбрать направление обхода контуров (последнее только для составления уравнений по второму правилу Кирхгофа).

Выберем направление токов, как они показаны на рис. 2.7, и условимся обходить контуры по часовой стрелке.

Недостающие три уравнения получим с использованием второго правила Кирхгофа. Число независимых уравнений, которые могут быть составлены по второму закону Кирхгофа, также меньше числа контуров (в нашем случае контуров шесть, а независимых уравнений три). Чтобы найти необходимое число независимых уравнений, следует придерживаться

89

правила: выбирать контуры таким образом, чтобы в каждый новый контур входила хотя бы одна ветвь, не участвовавшая ни в одном из ранее использованных контуров.

При составлении уравнений по второму правилу Кирхгофа необходимо соблюдать следующее правило знаков:

а) если ток по направлению совпадает с выбранным направлением обхода контуров, то соответствующее произведение IR входит в уравнение со знаком плюс, в противном случае произведение IR входит в уравнение со знаком минус;

б) если ЭДС при обходе контура «проходится» от « » к « », то соответствующая ЭДС входит в уравнение со знаком «плюс», в противном случае – со знаком «минус».

По второму правилу Кирхгофа, выбрав направление обхода по часовой стрелке имеем соответственно для контуров AR1BR2A, AR1BR3A,

AR3BR4A:

Подставив в равенства (2) – (4) значения сопротивлений и ЭДС, получим систему уравнений:

I1 I2 I3 I4 0,

2I1 4I2 6 0,

2I1 4I3 10 0 ,

4I3 2I4 0.

Поскольку нужно найти только два тока, то удобно воспользоваться методом определителей (детерминантов). С этой целью перепишем уравнения в следующем виде:

I1 I2 I3 I4 0; 2I1 4I2 0 0 6; 2I1 0 4I3 10; 0 0 4I3 2I4 0.

Искомые значения токов найдем из выражений

90