pdf.php@id=6180

ПРАКТИЧЕСКОЕ ЗАНЯТИЕ №2 Определение объема выборки

Случайный характер показателей исследуемых объектов обусловливает приближенную оценку значений и необходимость достаточного объема информации для их определения. Большое число объектов наблюдений усложняет и удорожает их исследование. В связи с этим возникает необходимость определения необходимого числа (выборку) испытуемых объектов для получения достоверной информации об их исследуемых характеристиках.

В общем случае методы расчета необходимого объема выборки могут быть:

•непараметрическими – вид закона распределения неизвестен;

•параметрическими – вид закона распределения известен. Степень приближения результатов наблюдений за испытуе-

мыми объектами к истинным значениям определяют объемом выборки и оценивают относительной ошибкой и доверительной вероятностью рассматриваемых величин.

2.1. Доверительная вероятность

Относительная ошибка εотн характеризует степень точности определения среднего значения. Ее подсчитывают из соотношения

нее арифметическое значение случайной погрешности, определяемое по формуле

n

xi

27

где N – объем выборки. Аналогично можно определить значение εотн с учетом нижнего значения доверительной границы (хн):

Для оценки результатов измерения необходимо определить S – выборочное среднее квадратическое отклонение, определяемое по экспериментальным данным.

Рассмотренные оценки результата измерения ( x, S ), выра-

женного одним числом, называются точечными оценками. Точечная оценка погрешности измерения неполная, посколь-

ку S указывает на границы интервала, в котором может находиться истинное значение x, но ничего не говорит о вероятности попадания x в этот интервал.

Более полным и надежным способом оценки случайных величин является определение интервальной оценки, которая с заданной степенью достоверности включает в себя значение оцениваемого параметра.

Вероятность того, что случайная погрешность не выйдет за пределы x1, x2, называется доверительным интервалом, а соответствующая ему вероятность появления случайной погрешности – доверительной вероятностью α.

где хн, хв – нижняя и верхняя доверительные границы параметра х, хн = x – х1, хв = x + х2; – уровень значимости, β = Р(хн > х > хв) =

= 1 – α.

Доверительная вероятность определяет область допустимых значений, а уровень значимости – критическую область, т.е. веро-

ятность того, что х выйдет за пределы x1, x2 . Выбираемое значе-

28

ние β должно быть достаточно малым, чтобы не была совершена ошибка первого рода, т.е. чтобы не была забракована правильная оценка. С другой стороны, слишком малое значение β может привести к ошибке второго рода, когда будет принята ложная оценка. Уровень значимости лежит в пределах 0,02 β 0,1.

Доверительный интервал характеризует степень воспроизводимости результатов измерений, причем при большом доверительном интервале наблюдается большая доверительная вероятность. Таким образом, доверительный интервал и доверительная вероятность – основные характеристики случайной погрешности.

Наиболее часто значения доверительных вероятностей принимают равными 0,90; 0,95; 0,99 или уровни значимости соответ-

ственно 0,10; 0,05; 0,01.

Доверительный интервал обычно выражают через относительную величину α в долях среднеквадратической погрешности, т.е. α = / . Например, при доверительном интервале = доверительная вероятность α = 0,68. Это значит, что 68 % случайных погрешностей не будут превышать значения . При = 2 α = 0,95, при = 2,5 α = 0,988, а при = 3 α = 0,997. В технических измерениях ограничиваются доверительной вероятностью α = 0,95.

При нормальном законе распределения случайных погрешностей часто пользуются доверительным интервалом от +3 до –3 , для которого доверительная вероятность равна 0,9973. Такая доверительная вероятность означает, что в среднем из 370 случайных погрешностей только одна по абсолютному значению будет больше 3 .

Определение доверительных границ случайных погрешностей производится на основе вычисленного значения с учетом заданной доверительной вероятности и числа наблюдений N. При этом предполагается, что результаты наблюдений распределены по нормальному закону.

Доверительные границы х определяются по уравнениям

29

где tα(N −1) − квантиль распределения Стьюдента для вероятности

или уровня значимости = 1 – и числа степеней свободы f = N – 1; величина tα(N −1) находится по табл. 2.1.

В случае двустороннего определения доверительных границ

30