pdf.php@id=6180

гипотезы. Непараметрический критерий – статистический критерий, предназначенный для проверки непараметрической гипотезы.

Процедура обоснованного сопоставления высказанной статистической гипотезы с имеющимися в нашем распоряжении выборочными данными осуществляется с помощью того или иного крите-

рия согласия и называется проверкой статистических гипотез.

Критерий согласия – статистический критерий, предназначенный для проверки гипотезы о согласии (равенстве) распределения случайной величины исследуемой совокупности с теоретическим распределением или гипотезы о согласии распределений в двух или больше совокупностях.

Правило, по которому применяется или отклоняется выдвинутая гипотеза, называется статистическим критерием. Процедура обоснованного сопоставления высказанной статистической гипотезы с имеющимися в нашем распоряжении выборочными данными осуществляется с помощью того или иного статистического критерия и называется проверкой статистических гипотез.

Правило, по которому строится тот или иной статистический критерий, состоит в том, что выбирается некоторая функция f( ) = F(х1, х2, …, хn), которая является мерой расхождения между измеренными и предполагаемыми теоретическими значениями исследуемой величины. Эта функция является случайной величиной и называется статистикой критерия. Закон распределения статистики критерия позволяет с заданной вероятностью принять или отклонить выдвинутую гипотезу.

Особый интерес представляет простой случай, когда среди параметров распределения случайной величины неизвестным является один, причем этот параметр может принимать лишь два конкретных значения 0 и 1.

Пусть 0 – желаемое («хорошее») значение параметра , а1 – нежелаемое («плохое») значение. Задача формулируется как проверка гипотезы о том, что = 0. При проверке статистических гипотез эта выдвигаемая гипотеза обычно обозначается Н0 (нулевая гипотеза). Тогда гипотезу о том, что = 1, называют конкуриру-

71

ющей (альтернативной) – каждая допустимая гипотеза, отличная от нулевой – и обозначают Н1.

При проверке гипотезы Н0 (нулевая гипотеза) против Н1

(конкурирующей, альтернативной) возможны два рода ошибок.

Ошибка первого рода – это когда отвергают нулевую гипотезу Н0, в то время как в действительности эта гипотеза верна.

Ошибка второго рода – это ошибка, когда принимают нулевую гипотезу, в то время как в действительности эта гипотеза неверна.

Для оценки правильности принятой модели используют численные значения процентилей 2P( f ) – распределения, приведенные

в табл. 2.2. Если модель выбрана неправильно, то значение критерия превысит значение случайной величины, распределенной по закону χ².

5.1. Критерий Пирсона

Рассмотрим часто применяемый критерий согласия ² (критерий Пирсона) для проверки статистических гипотез. Критерий Пирсона вычисляют по формуле

где k − число сравниваемых частот; mi и mi' − эмпирическая и теоретическая частоты в i-м интервале.

Полученные статистические данные делят таким образом, чтобы в каждый интервал попадало не менее пяти наблюдений. Если в каком-либо интервале число наблюдений окажется меньше пяти, то его объединяют с соседним интервалом таким образом, чтобы ожидаемое число наблюдений в объединенном интервале было не менее пяти.

Расчет значений набл2 удобно выполнять в форме таблицы (табл. 5.1). После заполнения всей таблицы вычисляется число сте-

72

где k – число сравниваемых частот (в нашем примере k = 7); p – число параметров теоретического распределения (для нормального закона p = 2). В нашем примере f = 7 – 2 – 1 = 4.

Область допустимых значений критерия χ2 или область принятия гипотезы характеризуется неравенством

где χ2набл – значение критерия, вычисленное по данным наблюдений; χ2кр( 1, f) – критические значения критерия при заданных 1 и f; 1 – уровень значимости в технике, обычно принимается рав-

ным 0,95.

Таблица 5.1

Вычисление критерия Пирсона

73

По табл. 2.2 находим χ2кр (0,95; 8) = 15,5. Поскольку 5,88 < 15,5, гипотеза о нормальном распределении анализируемой погрешности справедлива.

Недостатком критерия Пирсона является то, что его применение эффективно при числе результатов наблюдений N > 30. Поскольку в каждом интервале должно быть не менее восьми значений случайной величины, некоторые интервалы приходится объединять, что приводит к определенной погрешности.

Используя данные критерия Пирсона, можно пользоваться критерием Романовского

эмпирическое распределение соответствует нормальному закону.

5.2. Критерий Колмогорова

Если теоретические значения параметров известны, то лучшим является критерий А.Н. Колмогорова λк,

где Dк – наибольшее отклонение теоретической кривой распреде-

ления от экспериментальной; N – общее количество экспериментальных точек; λк – число, заключенное между 0 и 2, т.е. 2 > λк > 0.

При неизвестных параметрах этот критерий также применим, но в этом случае дает несколько завышенные оценки.

Достоинством критерия А.Н. Колмогорова является возможность оценки применимости гипотезы при малых объемах наблюдений случайной величины. Кроме того, этот критерий значительно проще других критериев согласия, поэтому он находит широкое применение в исследовании надежности машин и элементов.

74

Применение данного критерия рассмотрим на примере, представленном в табл. 5.2.

В колонках 4 и 5 табл. 5.2 приведены накопленные суммы, которые образуются путем прибавления последующих частот к сумме предыдущих. Затем составляется разность между накопленными теоретическими и накопленными эмпирическими суммами (колонка 6), и находится максимальное значение этой разности. В данном примере она равна 7,38.

После этого находим

Dmax = 7,38/N = 7,38/200 = 0,037, N = ∑mi = 200.

Коэффициент λк находится по формуле

75

λк = Dmax N = 0,036 200 = 0,50904.

Пользуясь табл. 5.3 для данного значения λк, находим Р(λ) – вероятность того, что гипотетическая функция выбрана правильно. Для λк = 0,5 имеем Р(λ) = 0,9639, т. е. эмпирическая и теоретическая кривая согласуются.

Используя λк, можно найти такой уровень значимости αзн, при котором для больших объемов выборки выполняется равенство

Академиком А.Н. Колмогоровым были построены таблицы значений Q(λк) (табл. 5.4), пользуясь которыми можно определить степень согласованности законов распределения.

76

Таблица 5.4

Таблица значений Q(λк)

5.3. Критерий Смирнова

Используя критерий А.Н. Колмогорова, Н.В. Смирнов разработал критерий для определения принадлежности двух выборок одной генеральной совокупности. Подобные задачи встречаются при оценке качества технологических процессов, когда необходимо выявить существенные изменения, происшедшие в производственном процессе.

На основании двух выборок n1 и n2 получают эмпирические функции распределения F(n1) и F(n2), на основании которых определяют максимальное значение рассогласования:

Н.В. Смирнов доказал, что введенное А.Н. Колмогоровым число λк удовлетворяет условию

Вычислив λк и используя данные табл. 5.4, определяют вероятность согласования законов Q(λк), а затем уровень значимости:

Если αс ≤ 0,3, то обе выборки принадлежат одной генеральной совокупности.

На основе следующего соотношения может быть найден критерий Ястремского:

2К − 4Q

где К – число интервалов; Q – принимает значение 0,6 при числе интервалов от 8 до 20. Если L > 3, то эмпирическое распределение соответствует теоретическому.

77

ПРАКТИЧЕСКОЕ ЗАНЯТИЕ №6 Определение вида и параметров закона распределения времени до отказа

6.1. Графическое определение закона распределения

Наиболее распространенными законами распределения отказов изделий являются:

•экспоненциальный;

•усеченный нормальный;

•логарифмически-нормальный;

•Вейбулла;

•гамма.

Поэтому при определении вида закона распределения рекомендуется аппроксимировать экспериментальные характеристики этими законами в той последовательности, которая указана выше.

При выявлении закона распределения целесообразно соблюдать следующий порядок:

•подготовка опытных данных;

•построение гистограмм (полигонов) какой-либо количественной характеристики надежности;

•проверка допустимости предполагаемого закона распределения отказов, используя определенные критерии согласия (Пирсона, Колмогорова и др.).

Подготовка опытных данных включает выборку исходных результатов из отчетных документов, составление вариационного ряда и заполнение таблицы отказов.

При составлении вариационного ряда исследуемого времени безотказной работы или времени восстановления оно записывается

впорядке возрастания значений, причем одинаковые значения не исключаются, а повторяются друг за другом. По полученным данным заполняется таблица (табл. 6.1). В ней приняты следующие

обозначения: хi – значение члена вариационного ряда (наработка до отказа, наработка между соседними отказами и т.п.); ni – число

78

наблюдаемых однозначных отказов i-го интервала времени; ni –

i

общее число отказов; Hi – накопленное число отказов, являющееся суммой ni отказов второго столбца, начиная с первого числа ni и

кончая i-м числом ni; Hi / ni – частость отказов.

i

Таблица 6.1

Форма таблицы для определения графическим способом закона распределения

Приведенная таблица предназначена для определения закона распределения графическим способом при помощи координатной сетки. При таком способе вид закона распределения оценивается, как это следует из табл. 6.1, по виду кривой вероятности безотказ-

ной работы 1− Hi / ni . Координатные сетки для различных зако-

i

нов распределения приведены в приложении к практическому занятию (рис. 6.4 и рис. 6.5).

Если вид закона распределения оценивается не графическим способом, то удобно применять табл. 6.2, в которой используются обозначения: ti – длина i-го интервала времени; n( ti ) – число

отказов на участке ti ; N0 – число образцов, первоначально уста-

новленных на испытание; Nр – среднее число исправно работающих элементов в промежутке ti .

По данным табл. 6.2 строятся гистограммы для количественных характеристик надежности (либо P (t), либо а (t), либо λ (t)) и аппроксимируются кривой, по виду которой можно установить ориентировочно закон распределения отказов путем сравнения с соответствующими теоретическими кривыми.

79

Таблица 6.2

Форма таблицы для определения закона распределения аналитическим способом

Проверка допустимости принятого закона распределения отказов осуществляется по критериям согласия. Наиболее употребительными критериями являются критерии 2 (Пирсона) и Колмогорова. После установления вида распределения приступают к определению его параметров.

Пример 6.1. В результате опыта получен следующий вариационный ряд времен исправной работы изделия в часах:

2; 3; 3; 5; 6; 7; 8; 8; 9; 9; 13; 15; 16; 17; 18; 20; 21; 25; 28; 35; 37; 53; 56; 69; 77; 86; 98; 119.

Требуется установить закон распределения времени безотказной работы.

Решение. 1. Используя исходные данные и вычисливni = 28, заполняем таблицу (табл. 6.3) по форме табл. 6.1.

i

2.Проверяем согласие экспериментального распределения с экспоненциальным распределением. Наносим экспериментальные данные на координатную сетку (см. рис. 6.4). Получаем расположение точек (рис. 6.1).

3.Проводим через отметки прямую линию таким образом, чтобы отклонения точек от прямой линии были минимальными. Убеждаемся в возможности линейной интерполяции. Находим и снимаем наибольшее отклонение. В нашем случае D = 0,12.

4.Рассчитываем критерий согласия Колмогорова:

DК N = 0,1228 = 0,63 1.

80