pdf.php@id=6180

При построении теоретической кривой по эмпирическим данным используют следующую формулу для нахождения теоретических частот:

где I – величина интервала, t = (xi – x )/σ.

Полученные значения miꞌ занести в табл. 4.5 и нанести на график полигона распределения.

63

Окончание табл. 4.4

64

4.3. Определение количества брака

Пример 4.1. При измерении сопротивлений делителя напряжения установлено, что среднее значение этого сопротивления R = 5,5 кОм, а среднее квадратическое отклонение = 1,5 кОм. Принимая нормальный закон распределения, найти вероятность появления сопротивлений свыше 10 кОм.

Решение. По равенству (4.18) и из табл. 4.3 находим

Р(R>10) = 1/2 – Ф[(10 – 5,5)/1,5] = 0,5 – 0,4986 = 0,0014.

Пример 4.2. Определить количество бракованных и годных деталей, если допуск на обработку δ = 0,10 мм. Среднее квадратическое отклонение S = 0,02 (получено по результатам замеров 75 шт.). Общее количество обработанных деталей 300 шт.

Решение. 1. Определяем расчетное значение σ = k S =

=1,25 0,02 = 0,025 мм.

2.Поле фактического рассеяния ω = 6σ = 6 0,025 = 0,15 мм превосходит поле допуска δ = 0,1 мм, следовательно, условие обработки без брака не выполнено и появление брака возможно.

3. x = δ/2 = 0,1/2 = 0,05; t = x/σ = 0,05/0,025 = 2,0.

Ф(t) = 0,4772 (см. табл. 4.3), что соответствует 47,72 % годных деталей для половины партии. Для всей партии количество годных деталей – 95,44 % или 286 шт., а бракованных – 4,56 % или 14 шт.

Пример 4.3. Известно среднее значение результатов измерений х = 0,501 и σ = 0,022. Значение контролируемого размера 0,500±0,005. Определить количество брака.

Решение. Определим отклонения верхнего и нижнего допускаемых значений размеров от средних:

xн = zв − x = 0,505 − 0,501 =1,82;0,022

xв = zн − x = 0,495 − 0,501 = −2,52,0,022

где zв, zн – верхнее и нижнее значения контролируемого размера.

65

По табл. 4.3 вероятности попадания нормально распределенной случайной величины в интервале (0; 1,82) и (0; 2,52) соответственно равны 0,4656 и 0,4941.

Тогда 0,4656 + 0,4941 = 0,9597 = 95,97 % изделий соответ-

ствуют установленным требованиям.

Количество изделий, имеющих размер, превышающий верхнее отклонение, составит

0,500 – 0, 4656 = 0,0344 = 3,44 %.

Количество изделий, имеющих размер, превышающий нижнее отклонение, составит

0,500 – 0, 4941 = 0,0059 = 0,59 %.

Метод оценки точности на основе кривых распределения универсален и позволяет объективно оценить точность механической обработки, сборочных, контрольных и других операций. Недостаток метода – невозможность выявить изменение изучаемого параметра во времени, т.е. последовательности обработки заготовок, что не позволяет осуществить регулирование хода технологического процесса. Кроме того, переменные систематические погрешности нельзя отделить от случайных; это затрудняет выявление и устранение причин погрешностей. От этих недостатков свободен метод статистического регулирования технологического процесса.

4.4. Установление надежности обработки заготовок без брака

Надежность обеспечения требуемой точности обработки заготовок характеризуется запасом точности у данной операции, который определяется по формуле

где δ – допуск на обработку заготовки; ω – фактическое поле рассеяния размеров заготовок.

Величина поля рассеяния ω при различных законах распределения размеров обрабатываемых заготовок составляет:

• нормального распределения (закон Гаусса) – 6σ;

66

• равнобедренного треугольника (закон Симпсона) – 2 6;

• равной вероятности – 2 3;

• эксцентриситета (закон Релея) – 3,44 о ; 5,25 R .

Когда запас точности Ψ > 1, обработка заготовок может быть осуществлена без брака (при условии правильной настройки станка, обеспечивающей совмещение вершин кривой рассеяния с серединой поля допуска).

При Ψ < 1 брак заготовок является весьма вероятным. При Ψ ≥ 1,2 процесс обработки считается надежными. Для всех законов распределения размеров условием обработки заготовок без брака является выражение ω < δ, показывающее, что поле фактического рассеяния размеров меньше установленного допуска.

При анализе качественных показателей различных уровней производства изделий по имеющимся (ранее разработанным) составляющим параметрам и допускам на них используется коэффи-

циент точности,

Коэффициент точности определяется на основании статистического анализа точности технологических процессов. В качестве нормативных значений применяются следующие его значения:

•0,3 < Кт < 0,5 при обработке на новом оборудовании, которое по точности значительно превышает необходимую;

•0,5 < Кт< 0,75 при обработке на оборудовании, которое находится в хорошем состоянии и имеет нормальный запас точности;

•0,75 < Кт < 0,95 при обработке на оборудовании и оснастке, находящейся в нормальном состоянии, с малым запасом точности;

•0,95 < Кт < 1,05 при обработке на оборудовании и оснастке

сотсутствием запаса точности и при экономически оправданном небольшом уровне брака.

При наличии систематической погрешности сист, вызывающей смещение поля рассеивания, условие обработки заготовок без брака следующее:

67

В этом выражении часто принимается сист = н (где н – погрешность настройки станка), так как другие систематические погрешности во многих случаях удается компенсировать при настройке станка. Это условие необходимо, но оно недостаточно.

Второе условие Lсрз = Lсрд и српр = срз .

4.5. Определение доверительных границ

Расчет среднего арифметического и среднеквадратического отклонения:

Расчет можно вести с использованием следующих формул:

где ri – правая граница интервала.

Определение доверительных границ. Доверительные границы

х определяются по уравнениям

68

где t (N −1) − квантиль распределения Стьюдента для вероятности

или уровня значимости = 1 – и числа степеней свободы f = N – 1; величина t (N −1) находится по табл. 2.1.

В случае двустороннего определения доверительных границ

для вероятности P = /2.

Значения 2P( f ) находятся по табл. 2.2.

69

ПРАКТИЧЕСКОЕ ЗАНЯТИЕ №5 Проверка статистических гипотез

На разных стадиях статистического исследования часто возникает необходимость в экспериментальной проверке некоторых предположений (гипотез). Статистическая гипотеза – любое предположение, касающееся неизвестного распределения случайной величины в совокупности. Например, необходимо убедиться, что измеряемые величины нормально распределены. Наша цель состоит в том, чтобы проверить, не противоречит ли высказанное предположение (гипотеза) имеющимся выборочным данным.

Для количественного сопоставления эмпирического (статистического) и теоретического распределений или, иными словами, для того, чтобы принять или отвергнуть ту или иную статистическую гипотезу, используют результаты наблюдений. Пусть n наблюдений представлены последовательностью х1, х2, …, хn. Тогда для проверки статистической гипотезы все пространство наблюдений разделяют на два непересекающихся подмножества Rn1 и Rn2, т. е. Rn1 ∩ Rn2 = 0. Проверяемую гипотезу принимают по результатам наблюдений, если выборочная точка последовательности (х1, х2, …, хn) попадает в область Rn1, и отвергают при попадании этой точки в подмножество Rn2, которая носит название критической. Выбор этой области однозначно определяет и область Rn1.

Статистическая гипотеза характеризует поведение наблюдаемых признаков и является утверждением о параметрах распределения исследуемого признака (например, о среднем, дисперсии и т. д.). Предположение, которое касается неизвестного значения параметра распределения, называется параметрической гипотезой.

Предположение, при котором вид распределения неизвестен, называется непараметрической гипотезой. Однозначно определенный способ проверки статистических гипотез называется ста-

тистическим критерием. Параметрический критерий – статисти-

ческий критерий, предназначенный для проверки параметрической

70