pdf.php@id=6180

ПРАКТИЧЕСКОЕ ЗАНЯТИЕ №4 Практические кривые распределения статистических данных

4.1. Построение полигона распределения

Рассмотрим последовательность построения экспериментальной кривой распределения (рассеяния) размеров или погрешностей.

1.Изготовляется (обрабатывается) партия заготовок, деталей.

2.Измеряется каждая деталь (заготовка) обработанной партии по параметру, точность которого следует определить. Например, размер с заданным допуском 19,9+0,05.

Измерение деталей выполняют инструментом, цена деления

которого должна быть (1/6 1/10) , где − допуск на измеряемый параметр. По результатам обмера составляется таблица (числовой ряд) распределения размеров (погрешностей), получают генеральную совокупность. Например:

19,93; 19,87; 19,97; 19,89; 19,95; 19,92; 19,89; 19,95; 19,93; …; 19,95; 19,88; 19,94; 19,93.

После получения выборки определяются возможные грубые ошибки (промахи). Их обнаруживают и исключают из расчетов (см. практическое занятие № 3).

При обнаружении грубой ошибкой этот результат исключают из расчетов и среднее значение х вычисляют заново для оставшихся достоверных результатов измерения.

Пользуясь данными таблицы или числового ряда, вычисляют практическое поле рассеяния (размах варьирования):

где х max, х min – максимальное и минимальное значения измеряемого параметра.

Для удобства обработки статистических данных и построения кривой распределения величину размаха разделяют на разряды

51

(интервалы). Число разрядов k должно быть увязано с количеством деталей. При N = 50 100 шт. k = 5 7, при N > 100 шт., k = 7 11. Для определения оптимального числа интервалов можно воспользоваться правилом Старджесса: k ≥ 1+3,3 lgN.

Когда число наблюдений N велико (например, более 200), то число интервалов приближенно можно найти по формуле

Число разрядов должно быть таким, чтобы цена разряда Cр = R/k была больше цены деления мерительного инструмента. Выполнение этого требования необходимо для того, чтобы уменьшить влияние погрешностей измерений. Например, для k = 7 расчетная цена разряда при R = 0,13 мм Ср = 0,13/7 = 0,0185 мм, принимаем Ср = 0,02 мм. Заметим, что округление цены разряда должно быть минимальным и допустимо в большую сторону.

Для удобства построения кривой результаты разбиений на интервалы и частоты, соответствующие этим интервалам, следует свести в таблицу (табл. 4.1).

Следующим этапом является построение кривой распределения. Она строится в координатах mi, R. Масштабы по осям выбираются произвольные, удобные для построения. По оси абсцисс

52

откладывается размах R (интервалы k), из середины интервала по вертикали откладываются соответствующие им значения чисел деталей, имеющих погрешности в пределах интервала. Полученные точки соединяются отрезками прямой (рис. 4.1).

Рис. 4.1. Полигон распределения

Практическая кривая (полигон) служит для первой приближенной оценки точности процесса и решения вопроса о выборе теоретического закона для характеристики данного распределения. Приближенной же потому, что форма практической кривой распределения зависит не только от объективных причин – характера распределения размеров, но и от случайных – числа интервалов, количества принятых для анализа деталей N. В связи с этим для объективной оценки точности обработки практическую кривую необходимо заменить теоретической кривой, изображающей вполне определенный закон распределения, описываемый математическим уравнением.

По накопленным частотам (частостям) можно построить ку-

муляту или огиву.

Для построения кумуляты из верхней границы каждого интервала на оси абсцисс восстанавливаются перпендикуляры, соответствующие по высоте накопленной частоте mi или частости mi/N, с начала ряда по данный интервал, а затем последовательно плавно со-

53

единяют вершины. Полученная кривая называется кумулятой. Она отражает характер нарастания частот (частостей) от группы к группе.

Если оси поменять местами, т.е. варианты откладывать на оси ординат, а накопленные частоты (частости) – на оси абсцисс, то построенная кривая называется огивой.

4.2. Построение теоретической кривой распределения

Закон нормального распределения (закон Гаусса) является одним из наиболее распространенных законов распределения погрешностей. Уравнение кривой нормального распределения имеет следующий вид:

Функция распределения имеет вид

График плотности нормального распределения называется нормальной кривой или кривой Гаусса (рис. 4.2).

Рис. 4.2. Распределение Гаусса

54

Отметим смысл характеристик этой кривой:

х – центр группирования, характеризует распределение размеров;

– характеризует кучность распределения размеров (погрешностей) около х ; чем меньше , тем кучнее распределяются размеры около х .

Кривая Гаусса имеет следующие особенности:

1.Кривая симметрична относительно х .

2.При xi = x кривая имеет максимум:

3. На расстоянии ± σ от вершины кривая имеет две точки перегиба А и Б, координаты которых соответственно

4.На расстоянии ± 3 σ от вершины кривой ее ветви так близки к оси абсцисс, что в пределах ± 3σ 99,73 % всей площади ограничивается кривой. Практически принято считать, что на расстоянии ± 3 σ от вершины кривой ее ветви пересекаются с осью абсцисс, и в этих пределах заключена вся площадь кривой, т.е. 100,0 %. Погрешность в этом случае составляет 0,27 %, что допустимо при решении многих задач производства.

5.σ – это мера рассеяния, мера точности. Кривые Гаусса при различных значениях средних квадратических отклонений представлены на рис. 4.3. На основании п.4 справедливо утверждение, что поле рассеяния

При определении по данным непосредственных измерений заготовок и расчетов по формуле (2.1) погрешность определения среднего квадратического, обозначаемого в этом случае буквой S, зависит от общего количества N измеренных заготовок и в отдельных случаях весьма значительно. Учитывая это обстоятельство, для

55

предотвращения возможного появления брака целесообразно при использовании формулы (4.4) принять соотношение

где k − коэффициент, учитывающий погрешность определения среднего квадратического; S – среднее квадратическое, определяемое по формуле (2.1). Максимальная погрешность ( S) определения S выбирается по табл. 4.2.

Рис. 4.3. Нормальное распределение случайных погрешностей при различных значениях

В тех случаях, когда поле рассеяния параметров (размеров) превосходит поле допуска (ω > δ), условие обработки без брака не выполняется и брак является возможным.

Вероятный процент брака вычисляется следующим образом. При рассеянии размеров, соответствующих закону нормального

56

распределения Гаусса, оценка точности принимается с погрешностью не более 0,27 %. При этом считаем, что все детали партии имеют действительные размеры в пределах поля рассеяния:

где xmax, xmin – максимальное и минимальное значения параметра (размера). При этом площадь, ограниченная кривой нормального распределения и осью абсцисс, равна единице и определяет 100 % заготовок партии. Площадь заштрихованных участков (рис. 4.4) представляет собой количество деталей, выходящих по своим размерам за пределы допуска.

Для определения количества годных деталей необходимо найти площадь, ограниченную кривой и осью абсцисс на длине, равной допуску δ. При симметричном расположении поля рассеяния относительно поля допуска следует найти значение интервала, определяющего половину площади, ограниченной кривой Гаусса и

абсциссой х1 (х2).

Функция распределения для нормального закона имеет вид

Рис. 4.4. К определению количества годных деталей

57

Для случая, когда x = 0, =1, распределение называют

стандартным и функция распределения (4.4) имеет следующий вид

(рис. 4.5):

Таким образом, если случайная величина Х следует закону нормального распределения, то вероятность появления случайной погрешности определяется площадью, ограниченной кривой f (x) и ее частью и осью абсцисс:

Подынтегральное значение есть элемент вероятности, равный площади прямоугольника с основанием dx и абсциссами x1 и x2, называемыми квантилями.

Произведем замену переменной: t = x / , dx = dt:

Рис. 4.5. Функция распределения F(x) и функция Лапласа Ф(x)

Представим правую часть в виде суммы двух интегралов:

58

носит название нормальной функции Лапласа. Значения этого интеграла сведены в табл. 4.3. Таким образом, указанная вероятность (4.11) сводится к разности нормальных функций Лапласа:

Расчет количества годных деталей сводится к установлению величины t и определению Ф(t) по табл. 4.3 с последующим пересчетом полученных величин в проценты или в число штук изделий.

В общем случае, когда x 0 , имеем следующую вероятность появления случайных погрешностей:

Отметим свойства функции Лапласа: Ф(0) = 0; Ф(–х) = –Ф(х) (функция нечетная); Ф( ) = 1/2. Из рис. 4.5 видно, что кривые F(х) и Ф(x) эквидистантны.

Если в равенстве (4.13) положить х1 = – , то

так как Ф(– ) = –Ф( )= –1/2. Положив в соотношении (4.16) х2 = , находим

59