книги / Несущая способность конструкций в условиях теплосмен
..pdfМинистерство науки и высшего образования Российской Федерации
Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего образования
«Пермский национальный исследовательский политехнический университет»
М.Г. Бояршинов
ВЫЧИСЛИТЕЛЬНОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ УЗЛОВ
ИЭЛЕМЕНТОВ СТРОИТЕЛЬНЫХ
ИДОРОЖНЫХ МАШИН И КОМПЛЕКСОВ
Утверждено Редакционно-издательским советом университета
в качестве учебного пособия
Издательство Пермского национального исследовательского
политехнического университета
2021
УДК 625.7/.8.08:519.876.5(075.8) Б86
Рецензенты:
доктор технических наук, профессор В.Ю. Столбов (Пермский национальный исследовательский политехнический университет);
доктор технических наук, профессор И.Э. Келлер (Институт механики сплошных сред УрО РАН, Пермь)
Бояршинов, М.Г.
Б86 Вычислительное моделирование узлов и элементов строительных и дорожных машин и комплексов : учеб. пособие / М.Г. Бояршинов. – Пермь : Изд-во Перм. нац. исслед. политехн.
ун-та, 2021. – 255 с.
ISBN 978-5-398-02479-1
Рассматриваются вопросы построения и проведения вычислительного эксперимента, основные источники и причины погрешности вычислительного моделирования. Излагаются основы механики деформируемого твердого тела, жидкости и газа, кинематические и силовые характеристики механического состояния, свойства материалов и конструкций, виды напряженно-деформированного состояния. Приводятся алгоритмы методов решения задач механики деформируемого твердого тела, основы методов стержневых и конечных элементов. Рассматриваются типовые постановки прикладных задач исследования напряженно-деформированного состояния, примеры построения расчетных схем для определениянапряженно-деформированногосостоянияэлементов, конструкций, деталейиузловстроительныхидорожныхмашин.
Предназначено для студентов направления 23.04.03 «Эксплуатация транс- портно-технологических машин и комплексов», профиль «Строительные и дорожные машины и комплексы», изучающих дисциплину «Вычислительное моделирование узлов и элементов строительных и дорожных машин». Может быть полезно при выполнении курсовых работ и проектов, подготовке к защите выпускных квалификационных работ, а также аспирантам и специалистам, проводящим вычислительные эксперименты при выполнении прочностных расчетов узлов и элементов строительных и дорожных машин с использованием современных инженерных вычислительных программных комплексов. Может использоваться при проведении факультативных занятий по вычислительному моделированию.
УДК 625.7/.8.08:519.876.5(075.8)
ISBN 978-5-398-02479-1 |
© ПНИПУ, 2021 |
ОГЛАВЛЕНИЕ |
|
Введение............................................................................................................... |
7 |
1. Материальное и идеальное моделирование.................................................. |
9 |
1.1. Математическое и вычислительное моделирование...................... |
12 |
1.2. Подготовка и проведение вычислительного эксперимента........... |
14 |
1.3. Погрешность математической модели............................................ |
17 |
1.3.1. Погрешность исходных данных.................................................. |
17 |
1.3.2. Погрешность численного метода................................................ |
18 |
1.3.3. Представление вещественных чисел в ЭВМ............................. |
19 |
1.3.4. Погрешности округления чисел в ЭВМ..................................... |
21 |
1.3.5. «Потеря порядка» и «переполнение» при выполнении |
|
арифметических операций .................................................................... |
23 |
1.3.6. Оценка погрешности вычислительного эксперимента............. |
24 |
1.4. Верификация и проверка адекватности модели ............................. |
24 |
2. Введение в механику сплошной среды....................................................... |
27 |
2.1. Актуальные проблемы механики сплошной среды........................ |
27 |
2.2. Основные гипотезы........................................................................... |
30 |
2.2.1. Гипотеза сплошности................................................................... |
32 |
2.2.2. Гипотеза непрерывности пространства...................................... |
34 |
2.2.3. Гипотеза абсолютного времени.................................................. |
35 |
3. Силовая характеристика механического состояния.................................. |
36 |
3.1. Напряжение растяжения и сжатия................................................... |
36 |
3.2. Напряжение при чистом изгибе....................................................... |
37 |
3.3. Напряжение сдвига............................................................................ |
39 |
3.4. Напряжение кручения....................................................................... |
39 |
3.5. Напряженное состояние при произвольном нагружении.............. |
40 |
4. Кинематические характеристики механического состояния.................... |
42 |
5. Показатели механического состояния......................................................... |
44 |
5.1. Тензор напряжения............................................................................ |
44 |
5.2. Тензор деформации........................................................................... |
49 |
5.3. Инварианты тензоров напряжения и деформации......................... |
51 |
6. Физические модели деформируемого твердого тела................................ |
53 |
6.1. Зависимость между деформацией и напряжением |
|
в упругом материале................................................................................ |
53 |
6.2. Продольная и поперечная деформации........................................... |
55 |
6.3. Обобщенный закон Гука................................................................... |
58 |
6.4. Пластичность материалов................................................................. |
60 |
|
3 |
6.5. Ползучесть и релаксация материалов............................................. |
62 |
6.6. Гипотеза «единой кривой»............................................................... |
63 |
6.7. Критерии механической прочности................................................ |
64 |
6.7.1. Наибольшее нормальное напряжение |
|
(1-я теория прочности).......................................................................... |
66 |
6.7.2. Наибольшая деформация (2-я теория прочности) .................... |
66 |
6.7.3. Наибольшее касательное напряжение |
|
(3-я теория прочности).......................................................................... |
67 |
6.7.4. Предельная энергия формоизменения |
|
(4-я теория прочности).......................................................................... |
68 |
6.7.5. Критерий Губера – Мизеса – Генки........................................... |
71 |
6.8. Виды напряженно-деформированного состояния......................... |
71 |
6.8.1. Одномерное напряженно-деформированное состояние.......... |
71 |
6.8.2. Плоско-деформированное состояние......................................... |
75 |
6.8.3. Плоско-напряженное состояние................................................. |
77 |
6.8.4. Осесимметричное состояние...................................................... |
78 |
7. Физические модели жидкости и газа.......................................................... |
80 |
7.1. Вязкая (ньютоновская) жидкость.................................................... |
82 |
8. Моделирование поведения сплошной среды............................................. |
86 |
8.1. Формула Коши.................................................................................. |
86 |
8.2. Закон сохранения массы................................................................... |
87 |
8.3. Закон изменения количества движения.......................................... |
89 |
8.4. Закон сохранения энергии................................................................ |
91 |
8.5. Уравнение теплопроводности.......................................................... |
93 |
8.6. Уравнение состояния........................................................................ |
94 |
9. Математическая формулировка задачи механики деформируемого |
|
твердого тела..................................................................................................... |
95 |
9.1. Кинематические граничные условия .............................................. |
97 |
9.2. Силовые граничные условия ........................................................... |
98 |
9.3. Начальные условия........................................................................... |
98 |
9.4. Стационарные задачи механики деформируемого |
|
твердого тела............................................................................................ |
99 |
9.5. Краевые условия для трехмерной задачи..................................... |
100 |
9.6. Краевые условия для двумерной задачи....................................... |
101 |
9.7. Краевые условия для одномерной задачи..................................... |
104 |
10. Математическая формулировка задачи механики жидкости и газа.... |
108 |
10.1. Уравнения движения жидкости и газа........................................ |
110 |
10.2. Постановка задачи для вязкой сжимаемой среды...................... |
111 |
10.3. Постановка задачи для вязкой несжимаемой среды.................. |
113 |
4 |
|
10.4. Постановка задачи для невязкой сжимаемой среды .................. |
115 |
10.5. Постановка задачи для невязкой несжимаемой среды .............. |
116 |
11. Методы решения задач механики материалов....................................... |
119 |
11.1. Система линейных алгебраических уравнений.......................... |
120 |
11.1.1. Метод Гаусса............................................................................ |
121 |
11.1.2. Метод Якоби............................................................................. |
127 |
11.1.3. Метод Зейделя.......................................................................... |
131 |
11.1.4. Сходимость итерационных методов....................................... |
133 |
11.2. Нелинейные уравнения................................................................. |
136 |
11.2.1. Метод половинного деления................................................... |
136 |
11.2.2. Метод простых итераций......................................................... |
139 |
11.2.3. Метод Ньютона........................................................................ |
141 |
11.2.4. Модификации метода Ньютона.............................................. |
143 |
11.3. Аппроксимация результатов экспериментальных |
|
исследований.......................................................................................... |
145 |
11.3.1. Интерполяция степенными функциями................................. |
147 |
11.3.2. Интерполяционный полином Ньютона.................................. |
147 |
11.3.3. Интерполяционный полином Лагранжа................................. |
151 |
11.3.4. Погрешность полинома Ньютона (Лагранжа) ....................... |
153 |
11.3.5. Сходимость процесса интерполяции полиномами................ |
153 |
11.3.6. Метод наименьших квадратов................................................ |
156 |
11.4. Численное интегрирование........................................................... |
162 |
11.4.1. Формула прямоугольников ..................................................... |
163 |
11.4.2. Формула трапеций.................................................................... |
167 |
11.4.3. Формула парабол (Симпсона)................................................. |
168 |
11.5. Обыкновенные дифференциальные уравнения.......................... |
171 |
11.5.1. Метод Эйлера........................................................................... |
173 |
11.5.2. Метод Рунге – Кутты 2-го порядка......................................... |
179 |
11.5.3. Методы Рунге – Кутты 3-го и 4-го порядков......................... |
185 |
12. Метод стержневых элементов.................................................................. |
188 |
13. Метод конечных элементов...................................................................... |
209 |
13.1. Моделирование расчетной области............................................. |
209 |
13.2. Cистема разрешающих соотношений.......................................... |
210 |
13.3. Процедура ансамблирования........................................................ |
215 |
13.4. Силовые и кинематические граничные условия......................... |
216 |
13.5. Реализация алгоритма метода конечных элементов .................. |
217 |
13.6. Анализ результатов численного решения задачи....................... |
217 |
13.7. Тестирование метода конечных элементов................................. |
219 |
|
5 |
13.8. Напряженно-деформированное состояние |
|
элемента конструкции........................................................................... |
225 |
14. Программное обеспечение задач инженерного анализа ...................... |
237 |
14.1. Abaqus ............................................................................................ |
237 |
14.2. APM WinMachine.......................................................................... |
238 |
14.3. APM FEM для КОМПАС-3D ....................................................... |
239 |
14.4. MSC Nastran .................................................................................. |
240 |
14.5. SolidWorks Simulation................................................................... |
241 |
14.6. ANSYS ........................................................................................... |
242 |
Заключение...................................................................................................... |
245 |
Предметный указатель................................................................................... |
247 |
Библиографический список........................................................................... |
253 |
6
ВВЕДЕНИЕ
Учебное пособие подготовлено на основе курса «Вычислительное моделирование узлов и элементов строительных и дорожных машин и комплексов», читаемого студентам магистратуры направления 23.04.03 «Эксплуатация транспортно-технологических машин и комплексов», профиль «Строительные и дорожные машины и комплексы».
Дисциплина направлена на формирование профессиональной компетенции «Способен к разработке проектной и технологической документации по ремонту, модернизации и модификации транспортных и технологических машин и оборудования с использованием методов расчетного обоснования» и является базой при освоении смежных дисциплин «Методология теоретического и экспериментального исследований», «Конструирование узлов и рабочего оборудования строительных и дорожных машин и комплексов», «Системы автоматизированного проектирования строительных и дорожных машин и комплексов». Материал учебного курса используется при выполнении самостоятельной работы в рамках научно-иссле- довательской работы, при подготовке и представлении докладов на научно-исследовательских семинарах, входящих в профильный учебный план.
Учебное пособие содержит компактное изложение вопросов построения и проведения вычислительного эксперимента, основных источников и причин погрешностей вычислительного моделирования. Рассматриваются модели механики деформируемого твердого тела, жидкости и газа, кинематические и силовые характеристики состояния (перемещение, скорость, деформация, напряжение), свойства материалов и конструкций (упругость, пластичность, ползучесть, устойчивость, прочность), виды напряженно-деформирован- ного состояния (одномерное, плоско-напряженное, плоско-деформи- рованное, осесимметричное, пространственное), а также некоторые методы решения задач механики деформируемого твердого тела, жидкости и газа (нелинейные уравнения, аппроксимация результа-
7
тов экспериментальных исследований, обыкновенные дифференциальные уравнения, основы методов стержневых и конечных элементов для решения задач механики деформируемого твердого тела).
Рассматриваются типовые (канонические) постановки задач (дифференциальные уравнения, начальные и граничные условия) для прикладных задач исследования напряженно-деформированного состояния, примеры построения расчетных схем определения на- пряженно-деформированного состояния элементов, конструкций, деталей и узлов строительных и дорожных машин.
Пособие может быть полезно при выполнении курсовых работ и проектов, подготовке к защите выпускных квалификационных работ, а также аспирантам и специалистам, проводящим вычислительные эксперименты при прочностных расчетах узлов и элементов строительных и дорожных машин с использованием современных инженерных вычислительных программных комплексов.
8
1. МАТЕРИАЛЬНОЕ И ИДЕАЛЬНОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ
Для построения моделей имеются два типа «материала»: средства окружающего мира и средства мышления. Ввиду этого традиционно модели делятся на материальные (реальные, вещественные)
и идеальные (абстрактные).
Чтобы некая материальная модель могла быть отображением оригинала, между моделью и оригиналом должно быть подобие.
Первый тип – прямое подобие, то есть модель обладает свойством похожести модели и оригинала (например, фотографии, модели автомобилей, самолетов, кораблей или гидротехнических сооружений, макеты зданий, куклы, протезы, выкройки и проч.). При прямом подобии возможна взаимозаменяемость модели и оригинала (к примеру, копии произведений искусства) и даже перемена их местами (натурщик – модель в работе художника или скульптора, манекенщица – модель потребителя одежды, актер – модель персонажа пьесы и проч.).
Несмотря на то, что модель при прямом подобии не просто внешне похожа на оригинал, но может быть даже изготовлена из тех же материалов, она остается только моделью, и при переносе результатов моделирования на реальный объект возникают достаточно серьезные проблемы.
Пример. При определении аэродинамических характеристик автомобилей, вертолетов или самолетов, гидродинамических свойств кораблей и подводных лодок используются, как правило, уменьшенные (масштабные) модели (копии). При переносе результатов такого моделирования на поведение исследуемых объектов в реальных условиях возникает проблема масштабирования, суть которой заключается в том, что одна часть условий эксперимента соответствует масштабу модели (например, скорость набегающего потока, форма и размер модели), а другая часть (состав, вязкость и плотность набегающего потока, сила гравитации, свойства материала модели, время и проч.) – не соответствует.
9
Задача переноса результатов модельного эксперимента на поведение исследуемого объекта в реальных условиях оказывается не менее сложной, чем само моделирование, и выгоды от похожести модели на оригинал оказывается гораздо меньше, чем при моделировании без нее. Для приведения в соответствие результатов, полученных в экспериментах с масштабными моделями, и действительных характеристик исследуемого объекта в реальных условиях разработана специальная теория подобия [22], обосновывающая условия физического подобия масштабной модели и оригинала.
Второй тип – косвенное подобие, которое, как правило, объективно существует в природе между оригиналом и моделью. Многие разнородные явления и процессы в природе имеют общие закономерности и описываются одними и теми же уравнениями (имеют одинаковые или близкие абстрактные модели). Различие между ними состоит в разной физической интерпретации переменных, входящих в эти уравнения.
Пример. При наличии косвенного подобия исследование реального физического процесса заменяется анализом другого физического процесса: измерение распределения температуры в толще изучаемого объекта без нарушения его сплошности достаточно сложно, однако можно использовать электротепловую аналогию, которая следует из подобия уравнения теплопроводности Фурье1
∂T |
= |
λ |
∂ 2T |
+ |
∂ 2T |
||||
∂t |
|
|
∂x |
2 |
∂y |
2 |
|
||
|
|||||||||
|
cρ |
|
|
|
|
иуравнения распространения электрического потенциала
1Фурье Жан Батист Жозеф (21.03.1768–16.05.1830) – французский математик. Окончил военную школу в Осере, там же работал преподавателем. В 1796– 1798 гг. преподавал в Политехнической школе в Париже. В 1798 г. принимал участие в Египетской экспедиции Наполеона Бонапарта. В 1802–1815 гг. был префектом департамента Изер. С 1817 г. избран членом Парижской академии наук, в 1829 г. избран иностранным почетным членом Петербургской академии наук. (Здесь и далее использованы биографические данные сайта ru.wikipedia.org.)
10