книги / Методы самосогласования механики композитов

и представления величины суммарного объема включений в композите в виде

121

Поля < ε >Fξ (2.196) в формуле (2.195) могут быть рассчитаны через осредненные в локальных координатах ξ поля напряжений

из решения которой получим выражение для условного момента

межфазной границы волокон в однонаправленных волокнистых структурах на эффективные упругие свойства стеклопластика, органопластика и углепластика с квазигексагональной разупорядоченной

122

в плоскости изотропии r1Or2 структурой (см. рис. 2.12, б) при минимальной гарантированной прослойке матрицы между волокнами 2 % от радиуса r(2) . Упругие характеристики фаз исследуемых компози-

тов следующие: модуль Юнга E для матрицы ЭДТ-10 равен 2,91 ГПа и коэффициент Пуассона ν = 0,36, для стекловолокна – 74 ГПа и 0,21, для органоволокна – 125 ГПа и 0,30, для углеволокна – 370 ГПа и 0,15 соответственно. Решения 1 и 2 на рис. 2.13–2.15 соответствуют полидисперсным структурам (см. рис. 1.1, г, е; при q = 0 ) без вариаций

геометрической формы поперечных сечений волокон. Из анализа рис. 2.13–2.15 можно сделать вывод об уменьшении значений эффективных упругих модулей k12* и G12* однонаправленных волокнистых

композитов, особенно эффективного модуля сдвига G12* , при высоких степенях наполнения vo > 0,6 .

Рис. 2.13. Эффективные упругие модули стеклопластика (а – объемный модуль плоской деформации k12* ; б – модуль сдвига G12* ) со случайной формой поперечного сечения волокон при значении параметра κ: 1 – ,

0,9 – , 0,8 – ; , – решения 1 и 2

123

2.4. КОМПОЗИТЫ С ГИБРИДНЫМИ СТРУКТУРАМИ

Обобщенный метод самосогласования позволяет свести задачу расчета тензора эффективных анизотропных упругих свойств композита от необходимости решения краевой задачи для микронеоднородной области

d =1

c граничными условиями

ui Γ = ε*ij rj

к совместному решению D более простых осредненных задач для d =1, D вида

при заданных на удалении от начала координат ξ значениях перемещений

ui( d ) = ε*ij ξj ,

где ε* – заданный тензор однородной малой макродеформации композита; координатные оси ξi ориентированы вдоль соответст-

вующих осей ri , индикаторные функции ωd (r) и ω(r) в (2.201) определены равенствами (1.56) и (1.57). Формально связь действительного u(r) и осредненных u ( d ) (ξ) полей краевых задач (2.201), (2.202) осуществляется через осреднение вида

125

с учетом обозначений (1.56)–(1.59).

Поле упругих свойств d-й осредненной задачи (2.202)

учитывает ближний порядок взаимного расположения включений каждого типа в отдельности в окрестности включений d-го типа через совокупность специальных приведенных полей вероятностей ωt( d ) (ξ) (1.59), вычисляемых по заданному полю индикаторной

где I – единичный тензор (2.148) и выполняются вспомогательные зависимости

εij( d ) ≡ Nijmn( d ) ε*mn ,

– тензор концентраций осредненных деформаций на включениях d-го типа, относительные объемные содержания включений vo и vd определены ранее (1.58).

Тензор N(d ) связан с соответствующим решением u ( d ) (ξ) d-й осредненной задачи (2.202), (2.203) равенством

N ijmn( d ) = U (Fij )(mnd ) ,

126

индексы в круглых скобках (ij) обозначают операцию выделения симметричной составляющей по этой паре индексов из тензора

U ( d ) (ξ) , не зависящее от значений тензора однородной макродеформации композита ε*.

Когда C( d ) и CM – изотропные, а C* – также изотропный или трансверсально-изотропный тензоры, тогда поля a( d ) (ξ) будут соответственно изотропными или трансверсально-изотропными в каждой точке ξ. Объемные модули K a( d ) (ξ) и модули сдвига Ga( d ) (ξ) для случая изотропных полей a( d ) (ξ) или соответственно объемные модули плоской деформации ka(12d ) (ξ) и модули сдвига Ga(12d ) (ξ) в плоскости изотропии ξ1Oξ2 для случая трансверсально-изотропных полей a( d ) (ξ) могут быть определены на основе формулы (2.203) по единой зависимости вида

t =1

формальный символ L в формулах (2.205), (2.206) надо последовательно заменить соответственно на величины: K, G или k12 и G12 ;

127

nL( d ) – коэффициенты разложения тензоров на объемную и девиаторную составляющие [66]. Например, когда C( d ) , CM – изотропные, а C* – трансверсально-изотропный тензоры, тогда в плоскости изотропии, например ξ1Oξ2 , возможны разложения вида

где V, D – объемный и девиаторный тензоры (2.150); для рассматриваемого примера индексы i, ..., n =1, 2 .

В частном случае, когда все включения одного типа, тогда D = 1 и в формуле (2.205) коэффициенты γ(L1) могут быть представлены в виде

Таким образом, из решения D осредненных задач (2.202), (2.203) для полей перемещений u ( d ) (ξ) могут быть определены тен-

зоры U F ( d ) и искомый тензор эффективных упругих свойств C* композита со случайной гибридной структурой:

d =1

Однонаправленный волокнистый композит. Рассмотрим чис-

ленный расчет и анализ эффективных трансверсально-изотропных упругих свойств однонаправленного волокнистого композита на основе модели (см. рис. 1.7, б) в плоскости изотропии r1Or2 случай-

ной гибридной структуры из волокон двух типов (D = 2) одного радиуса rυ в сравнении с известным решением метода осреднения [57]

128

для периодической гибридной структуры [24] (см. рис. 1.7, а) и дополнительно с решениями известных вариационных методов и методов самосогласования [19, 66]. Модель случайной гибридной структуры основана на варьировании числа свободных от волокон узлов правильной гексагональной решетки при фиксированном значении отношения величины стороны ячейки к радиусу волокна rυ , что обеспечи-

вало минимальную гарантированную прослойку ς матрицы между волокнами; величину прослойки ς задавали в процентах от rυ . Веро-

ятность появления свободных от волокон узлов определялась через заданные величины относительного объемного содержания волокон vo и минимальную гарантированную прослойку ς; предполагали равную вероятность появления волокон каждого типа в произвольном узле решетки и, как следствие v1 = v2 = 0,5vo .

Результаты численного расчета обобщенным методом самосогласования коэффициентов концентраций объемных и сдвиговых деформаций – коэффициентов разложения тензоров N(d ) на шаровые

идевиаторные составляющие приведены в табл. 2.14, где значения

вскобках (...)1 и (...)2 – результаты расчета на основе соответствующих

аппроксимаций (1.60) и (1.61). В табл. 2.15 представлены результаты расчета обобщенным методом самосогласования эффективных объемного модуля плоской деформации k12* и модуля сдвига G12* в плоскости

изотропии композита (см. рис. 1.7, б) со случайной структурой из жестких волокон при значениях модулей Юнга волокон E(1) = 400 EM, E(2) = 120 EM с коэффициентом Пуассона ν(1) =ν(2) = 0,3; EM и νM = 0, 2 – модуль Юнга и коэффициент Пуассона матрицы [24]. Дополнительно в табл. 2.15 представлены значения: g *p – решение для периодической

структуры [24]; k1* , g1* и k2* , g 2* – решения обобщенным методом

самосогласования на основе соответствующих кусочно-постоянных аппроксимаций приведенных полей вероятностей, для расчета величин k1* , g1* (1.60) и для расчета величин k2* , g 2* (1.61); k−* , g−*

и k+* , g+* – границы Хашина – Штрикмана для трансверсально-

129

постоянных аппроксимаций (1.60) и (1.61) тождественны решениям известных методов самосогласования, например, [18] для гибридных структур.

130