книги / Методы самосогласования механики композитов

v2 = (1 − q3 )vo . Для модели типа I (см. рис. 1.3, а) дополнительно

задавались коэффициент вариации, например, равный 0,1 коэффициента подобия размеров включений α и случайные максимально возможные по величине и без преобладающих ориентаций смещения включений внутри соответствующих ячеек; для модели типа II (см. рис. 1.3, б) все включения имели одинаковые размеры и не смещались внутри ячеек. При численном решении переходный сферический слой дискретизировался на 50 тонких слоев. Результаты численного расчета обобщенным методом самосогласования эффективных объемного модуля K* и модуля сдвига G* композита со сферическими включениями для типов I и II моделей случайных структур представлены в табл. 2.1 соответственно при значениях коэффициента q = 0;

0,8; 0,95 и 1; значения 0 и 1 соответствуют сплошным шаровым включениям и порам, модули Юнга и коэффициенты Пуассона изо-

обобщенным методом самосогласования на основе соответствующих кусочно-постоянных аппроксимаций приведенных полей вероятностей ω1 (ξ) и ω2 (ξ) (1.52) для аппроксимации 1 и (1.53) для аппрокси-

мации 2 при β = 3 ; k−* , g−* и k+* , g+* – границы Хашина – Штрикмана

для макроизотропной трехфазной среды [66] для величин k * ≡ K *

K M

на основе кусочно-постоянных аппроксимаций (1.52) и (1.53) приведенных полей вероятностей ω1 (ξ) , ω2 (ξ) тождественны решениям известных методов самосогласования [15, 19].

61

Таблица 2.1

Эффективные объемный модуль K * и модуль сдвига G* сферопластика

q = 0

62

Окончание табл. 2.1

q = 0,95

63

Из анализа численных результатов (см. табл. 2.1) следует, что для эффективного объемного модуля K* композита со сплошными шаровыми включениями (q = 0) или порами (q = 1) решения соответственно для нижней или верхней границ Хашина – Штрикмана совпадают не только с решением, полученным обобщенным методом самосогласования на основе кусочно-постоянной аппроксимации (1.52) и тождественному решению по трехфазной и полидисперсной моделям [19], но и с приближенным решением для периодической структуры [5]. Для композита с полыми сферическими включениями

(см. табл. 2.1, q = 0,8; 0,95) реше-

64

тичном приближении метода эффективного поля [14] и с экспериментальными данными [85]. Решения 3 и 4 на рис. 2.2 получены обобщенным методом самосогласования для монодисперсных структур с минимальной гарантированной прослойкой матрицы между включениями 1 и 2 % от радиуса включения, 1 и 2 – на основе соответствующих кусочно-постоянных аппроксимаций (1.52) и (1.53) приведенного поля вероятностей ωF (ξo ) соответственно.

2.1.3. Аналитические решения для полидисперсных структур

Сферопластик. Пусть K( f ) , G( f ) и KM , GM – детерминированные объемный модуль и модуль сдвига соответственно f-й фазы ( f =1, F ), например, при F = 2 cоставного сферического включения

и матрицы композита с полидисперсной структурой (см. рис. 1.1, а – в). Соответствующая расчетная схема осредненной задачи представлена на рис. 2.3.

Для композита с полидисперсной структурой (см. рис. 1.1, б) с составными сферическими включениями может быть получено точное соотношение, записанное в виде рекуррентной последовательности

65

K * ≡ K * + (2.53)

( F 2)

и модуль сдвига

G* ≡ G( F +2)

композита, использованы обозначения

K * ≡ K , K + = K + ≡ K , G + ≡ G .

(1) (1) ( F 1) ( F 2) M ( F 1) M

В частном случае, для полидисперсной структуры при p = pmax (см. рис. 1.1, a) из зависимостей (2.52) и (2.53) может быть получено решение для эффективного объемного модуля K * , не зависящее от другого эффективного модуля G* , так как для рассматриваемого случая выполняется равенство

K * = K * + .

( F 1)

Результаты численного расчета эффективного модуля сдвига G* изотропного композита с полидисперсной структурой из полых сферических включений при F = 2 представлены в табл. 2.2 для различных значений параметра q = r(1) r(2) , предельные значения q = 0

и q = 1 cоответствуют однородным шаровым включениям и сферическим порам. Значения K(1) = G(1) = 0, модуль Юнга E(2) и коэффициент Пуассона ν( 2) 2-й фазы соответственно равны 100EM и 0,2 , коэффициент Пуассона матрицы νM = 0,4, EM – модуль Юнга матрицы. В табл. 2.2 при q = 0,8 дополнительно приведены численные значения эффективного объемного модуля K * ; для других значений q модуль K * может быть рассчитан через соответствующие величины G* по формуле (2.52).

Однонаправленный волокнистый композит. Рассмотрим расчет эффективных объемного модуля плоской деформации k12* и модуля

66

Таблица 2.2

Эффективные модули сферопластика

67

Эффективные упругие модули однонаправленного волокнистого композита с составными волокнами при q = 0,9

68

Для рассматриваемой полидисперсной модели однонаправленного волокнистого композита с составными волокнами (см. рис. 1.1, д и 2.4) аналогично зависимости (2.52) может быть получена точная рекуррентная последовательность

составного волокна и матрицы.

В частном случае, для полидисперсной структуры при p = pmax

(см. рис. 1.1, г) из зависимостей (2.54) и (2.55) может быть получено решение для эффективного объемного модуля плоской деформации k12* , не зависящее от другого эффективного модуля G12* , так как для рассматриваемого случая выполняется равенство

k * = k * + .

12 12( F 1)

Анализ результатов. Численные результаты (см. табл. 2.2 и 2.3) для характеристик эффективных упругих свойств композитов с полидисперсными структурами (см. рис. 1.1) были получены как решения соответствующих осредненных задач обобщенного метода самосо-

69

гласования на основе выражений (1.31) для приведенных полей вероятностей (см. рис. 1.2). Отметим, что использование аналогичных (1.31) кусочно-постоянных аппроксимаций вида

с малым относительным объемным содержанием составных или полых включений.

Из анализа полидисперсных моделей и сравнения соответствующих расчетных схем осредненных задач обобщенного метода самосогласования может быть сделан вывод, что эффективные упругие свойства для полидисперсной однонаправленной волокнистой структуры на рис. 1.1, е, например, для однородных волокон ( F = 1 ) будут близки к эффективным упругим свойствам «монодисперсного» однонаправленного волокнистого композита (рис. 2.5, а) с ориентированными вдоль оси r3 волокнами с гексагональным поперечным

Рис. 2.5. Монодисперсная волокнистая структура (a) и расчетная схема осредненной задачи (б): одиночное волокно (1) с гексагональным поперечным сечением в среде (2) с искомыми эффективными упругими свойствами

70