книги / Методы самосогласования механики композитов

Таким образом, для постановки осредненной задачи относительно локально-осредненных полей деформирования σ(ξ) и ε(ξ)

необходимо установить связь между этими полями. Так как структура композита в области V является представительной реализацией однородного эргодического случайного поля, моментные функции которого локальны, то «граничные условия» рассматриваемой задачи имеют вид ε = ε* для значений ξ , превышающих радиус корреляции

упругого и деформационного полей; ξ – расстояния до оси ξ3 . Установим связь между полями σ(ξ) и ε(ξ) . Для прогнозиро-

вания (2.214) тензора эффективных упругих свойств C* необходимо знать лишь осредненные по волокнам деформации (2.213), поэтому действительные поля деформирования представим в упрощенной форме, в предположении однородности полей деформирования в волокнах каждой g-й ориентации и матрице

тогда осредненные поля σ(ξ) и ε(ξ) возможно будет представить через разложения

141

приведенное поле вероятностей

H

ω(ξ) = ∑ ω( g ) (ξ) .

g =1

Таким образом, иззависимостей (2.222)–(2.226) следует формула

замыкающая систему уравнений локально-осредненной краевой задачи, где поле a(ξ) определено через поля p(ξ) и k(ξ) (2.223), (2.225):

где k −1 – тензор, обратный тензору k (2.225).

В частном случае, когда H = 1, пространственно-армирован- ный композит вырождается в однонаправленный волокнистый, про-

142

гнозирование эффективных упругих свойств которого и вид соответствующего поля a(ξ) (2.49), (2.50) локально-осредненной задачи

(2.37), (2.38) представлены в разделе 2.1.4.

В предельном случае, когда волокна пространственно-арми- рованного композита равномерно ориентированы по всем возможным

k(ξ) = β(ξ)I + ω(ξ)I(3) (ξ) −voβ(ξ)I( 2)

с использованием обозначений

особенности взаимных расположений волокон и задает взаимные распределения ориентационных углов ϕ и θ направляющего векто-

143

является осью нормированного волокна υ(1) с радиусом поперечного кругового сечения rυ . Условие присутствия волокна на оси ξ3 накладывает ограничения на возможные значения угла ϕ Φ(ξ) , где область возможных значений (см. рис. 2.17, б)

Φ(ξ) = [ψ, π−ψ]U [π+ψ,2π−ψ], ψ(ξ) = arcsin rξF .

Вид функции f(1) (ξ, ϕ, θ) определяется на заданной предста-

вительной области V пространственно-армированного композита; для статистически однородных изотропных структур приведенное поле вероятностей ω(ξ) и функция плотности вероятностей

f(1) (ξ, ϕ, θ) могут быть определены по одному представительному сечению композита. Для значений ξ, превышающих радиус корреляции структуры композита, выполняется равенство f(1) = f

(2.231). В предположении независимости и равномерности распределения ориентационных углов ϕ и θ функция плотности вероятно-

стей принимает вид

Формулы (2.229), (2.230) могут быть получены в результате подстановок в зависимостях (2.223), (2.225) и (2.228) для дискретного распределения ориентаций волокон вместо выражений, например

144

соответствующих выражений для случая H → ∞ непрерывного распределения ориентаций:

ω(ξ) f(1) (ξ, ϕ, θ)dϕdθ ,

π

ω(ξ)∫ ∫ NijmnF (ϕ, θ) f(1) (ξ, ϕ, θ)dϕdθ,

0 Φ(ξ)

π 2π

v° ∫ ∫ NijmnF (ϕ, θ) f (ϕ, θ)dϕdθ.

0 0

Из формулы (2.229) следует, что для значений ξ, превышающих радиус корреляции структуры композита, выполняется равенство a = C* , где тензор эффективных упругих свойств C* определен выражением

Cijmn* = CijmnM +v° ∫π 2∫π(CijdbF (ϕ, θ) −CijdbM )NdbmnF (ϕ, θ) f (ϕ, θ)dϕdθ. (2.233)

0 0

Если все волокна характеризуются изотропным тензором упругих свойств CF , тогда в формулах (2.230) тензор I(1) может быть вычислен по зависимости

Iijmn(1) (ξ) = CijdbF Idbmn(3) (ξ)

через тензор I(3) , а формула (2.233) для расчета тензора эффективных упругих свойств C* принимает вид

определяемые из решения осредненной задачи константы n(1) , ..., n(6) по формулам

145

I1122( 2) = 1 [6n(1) + 4(n( 2) + n(3) ) + n( 4) + 2n(5) −4n(6) ],

15

(2.234)

I1212( 2) = 1 [n(1) −n( 2) −n(3) + n( 4) +7n(5) +6n(6) ].

15

Осредненную задачу можно разбить на четыре подзадачи с простыми условиями нагружения среды с полем упругих свойств a(ξ) :

1) задача о всестороннем растяжении в плоскости ξ1Oξ2 при плоском деформированном состоянии ( ε11* = ε*22 ≠ 0 , остальные ε*ij = 0 ),

из решения которой определяется коэффициент концентрации осредненных объемных деформаций на волокне:

остальные ε*ij = 0 ), из решения которой определяется коэффициент

концентрации соответствующих осредненных сдвиговых деформаций на волокне:

ε(1)

nGF12 ≡ ε12* = 2N1212(1) , (2.236)

12

так как выполняются равенства N1212(1) = N1221(1) = N2112(1) = N2121(1) ;

3) задача о продольном сдвиге в плоскости ξ1Oξ3 ( ε13* = ε*31 ≠ 0 , остальные ε*ij = 0 ), из решения которой определяется соответствующий коэффициент концентраций:

146

тальные ε*ij = 0 ), из решения которой определяется коэффициент концентраций:

В результате по найденным значениям компонент тензора N(1)

(2.235)–(2.238) константы разложения n(1) , ..., n(6) могут быть определены по формулам (2.217) и далее – компоненты осредненного изотропного тензора I( 2) (2.234).

вероятностей:

147

Результаты численного прогнозирования обобщенным методом самосогласования эффективного модуля Юнга E* и коэффициента Пуассона ν* стеклопластика для различных аппроксимаций приведенного поля вероятностей ω(ξ) структуры компо-

зита: матричная полидисперсная структура (2.239) и кластерная полидисперсная структура (2.240) приведены в табл. 2.18 с рассчитанными значениями коэффициентов разложения n(1) , ..., n(6)

тензора концентраций осредненных деформаций на стекловолокнах композита.

Известно, что для среды Хилла [63], когда модули сдвига изотропных матрицы GM и волокон GF совпадают, характер взаимных

распределений волокон не влияет на эффективные изотропные упругие свойства композита. Полученные численные решения обобщенным

Таблица 2.18

Коэффициенты концентраций деформаций на волокнах n(1) , ..., n(6)

и эффективные модуль Юнга E* и коэффициент Пуассона ν* стеклопластика

Матричная полидисперсная структура

148

Окончание табл. 2.18

Кластерная полидисперсная структура

методом самосогласования для эффективных упругих свойств среды Хилла, например, когда GF = GM =1 ГПа, νM = 0,45 и νF = 0,1, не

зависят от вида аппроксимаций (2.239) или (2.240) приведенного поля вероятностей ω(ξ) и представлены в табл. 2.19; отличие числен-

ного решения от точного аналитического решения Хилла [63] составило менее 1 % .

Таблица 2.19

Коэффициенты концентраций деформаций на волокнах и эффективные модуль Юнга и коэффициент Пуассона среды Хилла

149