книги / Методы самосогласования механики композитов

маций N( 2) на слоях 2-го типа рассчитываются по формулам (2.9) и (2.10) через найденные значения ε(1) и N(1) .

2.1.2. Сферопластик. Алгоритм численного решения

Рассмотрим частный случай, когда случайная структура композита обладает не только свойствами статистической однородности и эргодичности, но и изотропией и состоит из случайным образом расположенных по объему композита в матрице составных сферических включений. Каждое включение состоит из некоторого числа F однородных фаз, ограниченных соответствующими концентрическими сферическими поверхностями. Тензоры упругих свойств каждой f-й фазы C( f ) и матрицы CM заданы и являются детерминированными и изотропными. Статистический разброс лишь у взаимного расположения и коэффициентов подобия α размеров включений.

Расчет тензора эффективных упругих свойств композита

F +1

концентраций осредненных деформаций для f-й фазы композита

41

< ... >f – оператор осреднения по области f-й фазы композита. Формула (2.20) для расчета тензора эффективных упругих

свойств композита C* может быть преобразована к виду

через расчет соответствующих осредненных деформаций < ε >f для

фаз включений композита.

Осредненные по f-й фазе включений композита значения деформаций < ε >f могут быть рассчитаны по формуле

k =1

или с переходом к локальным координатам:

42

где для сферопластика показатель степени β = 3 ; v( f,k ) и v( f ,k ) – область

υ( f ) и υ( f ) – область и объем f-й фазы нормированного включения cоответственно. Врезультатеприходимквыражению

для расчета осредненной по f-й фазе композита деформации через осредненное в локальной системе координат ξ поле деформаций

k =1

Если принять, что объем υ нормированного включения равен среднему арифметическому объему от объемов всех N включений в представительной области композита V, тогда будет выполняться равенство

43

тензоры концентраций осредненных деформаций для f-й фазы композита N( f ) могут быть рассчитаны непосредственно по формуле

44

при заданных граничных условиях

в (2.29) индексы в круглых скобках ( ij ) обозначают операцию выделения симметричной составляющей из поля U(ξ) по этой паре

индексов.

Рассмотрим постановку локально-осредненной краевой задачи, из решения которой могут быть определены искомые поля ε(ξ)

и (или) U(ξ) .

Постановка локально-осредненной краевой задачи. Аналогич-

но полю (2.28) введем в рассмотрение локально-осредненные поля перемещений u(ξ) и напряжений σ(ξ) , связанные с соответствующи-

В силу принципа суперпозиции локально-осредненные поля перемещений u(ξ) , деформаций ε(ξ) и напряжений σ(ξ) будут

удовлетворять соотношениям Коши, уравнениям совместности деформаций и равновесия соответственно. На удалении от начала координат ξ →∞ имеем равенства σ = σ* , ε = ε* и u = ε*ξ для слу-

чая статистически однородных деформационных полей с конечным радиусом корреляции.

Предположим, что известно поле a(ξ), которое связывает поля напряжений σ(ξ) и деформаций ε(ξ) :

45

тогда становится возможной постановка краевой задачи

на удалении от начала координат при ξ → ∞ .

Коэффициенты дифференциального оператора локально-осред-

ненной краевой задачи. Когда упругие свойства фаз композита детерминированы и локальная точка ξ лежит в f-й фазе включения υ

композита ξ υ( f ) ,

46

<... >r V( f ) – оператор осреднения при условии, что точка r лежит

вf-й фазе композита (эти осредненные величины не зависят от

координат r, если поле ε* макрооднородно), будем использовать, в общем, приближенное разложение

системы координат; символ « » обозначает операцию свертки по паре индексов. Когда деформации в фазах композита однородны (например, для слоистого композита), тогда выполняются равенства: ε• (ξ) = ε и E• (ξ) = E и разложения (2.44) будут точными.

Отметим, что поле ε• (ξ) можно рассматривать как аналог «самосогласованного» (или «эффективного») поля, введенного в работах [11–14]. Поле пульсаций ∆(εf ) (ξ) в разложении (2.42) формиру-

ется случайным взаимным расположением включений внутри и вокруг точки ξ . Известный метод самосогласованного поля [11–14]

основан на одночастичном приближении, и в разложениях, аналогичных (2.44), тензоры N ( f ) приравнены к значениям этих тензоров

47

для одиночного включения в неограниченной среде со свойствами матрицы, что соответствует случаю vo → 0 .

Таким образом, преимущества обобщенного метода самосогласования перед методом самосогласованного поля состоят в непосредственном учете многочастичных взаимодействий в разложениях (2.44) через тензоры N ( f ) , определяемые для заданной струк-

туры композита с учетом величины относительного объемного содержания vo и особенностей взаимного расположения включений

в композите, а не в предположении предельно малой объемной доли включений.

Домножим левую и правую части равенства (2.42) на степень αβ

случайного коэффициента подобия α включений в композите и осредним оператором локального осреднения <... >ξ . Параметр β =1, 2, 3

для слоистого, однонаправленного волокнистого и гранулированного композитов соответственно.

В результате получим выражения для полей локально-осред- ненных деформаций для ξ υ:

Таким образом, с учетом разложения (2.44) выражение для локально-осредненного поля деформаций ε(ξ) при ξ υ

F+1

ε(ξ) = ∑ ωf (ξ)N ( f ) ε• (ξ)

f =1

или

f =1

48

По аналогии с (2.46) может быть записано локально-осред- ненное поле напряжений σ(ξ) при ξ υ:

f =1

сучетом обозначения для приведенного поля вероятностей f-й фазы

ωf (ξ) ≡< αβω f (ξ) >ξ (2.48), характеризующего распределение в локаль-

ной системе координат ξ точек f-й фазы вокруг включений композита. Самосогласованное поле ε• (ξ) в (2.44) выразим из разложения (2.46) в виде

ε• (ξ) = k ε−1 (ξ) ε(ξ)

иподставим в правую часть (2.47):

σ(ξ) = k σ (ξ) k ε−1 (ξ) ε(ξ) ,

или с учетом разложения (2.36)

σ(ξ) = a(ξ) ε(ξ) ,

рассчитывается через k σ (ξ) (2.47), k ε−1 (ξ) – тензорное поле, обратное

k ε (ξ) в (2.46).

Таким образом, искомое поле a(ξ) в постановке локально-

осредненной краевой задачи (2.37) для осредненных полей перемещений u(ξ) будет иметь вид: для ξ υ – (2.41), для ξ υ – (2.48).

Отметим, что решение (2.41) следует из (2.48) как частный случай. Компоненты тензорного поля a(ξ)

49

где компоненты тензора k ε−1 рассчитываются через обратный тензор

рассчитываются через приведенные поля вероятностей фаз (1.17)

1 N

ωf (ξ) = ∑ α3( k ) ωf (r( k ) + α( k ) ξ)

N k =1

F

и в целом ω(ξ) ≡ ∑ ωf (ξ) включений (1.18), которые учитывают

f =1

особенности случайной структуры композита.

Алгоритм численного решения. Поле упругих свойств осредненной задачи является локально-неоднородным, поэтому будем использовать следующую расчетную схему – составное или полое включение, окруженное неоднородным, но изотропным в каждой точке ξ

переходным слоем и средой, упругие свойства которых определяются соответственно полем a(ξ) (2.49)–(2.51) и тензором C* , при простых условиях нагружения среды на бесконечности: 1) всестороннее растяжение, 2) сдвиг, например, в плоскости ξ1Oξ2 . Из совместного решения 1-й и 2-й подзадач становится возможным определить объемный модуль K * и модуль сдвига G* эффективных изотропных упругих свойств композита. Для численного решения локально-осредненной краевой задачи (2.37), (2.38) будем использовать сферическую систему координат ξ, φ, θ , представив расчетную область в виде совокупности N сферических слоев (рис. 2.1): упругие свойства каждого i-го слоя, где i =1, N однородны и изотропны, объемный модуль K(i ) и мо-

дуль сдвига G(i ) , соответственно

50