книги / Методы самосогласования механики композитов

ной гарантированной прослойке матрицы между волокнами 5 % от радиуса волокна. Предполагали, что повреждения статистически однородно распределены на межфазной поверхности волокон и вероятность pa присутствия повреждения в произвольной точке межфазной поверхности волокна в силу свойства эргодичности равна относительной доле разрушения этой поверхности. Было принято, что предел прочности на разрыв материала матрицы вблизи межфазной поверхности волокна – случайная величина и до начала разрушения межфазных поверхностей при pa = 0 разрушающие значения ради-

альных напряжений σrr были статистически однородно распределены на отрезке [5;30] МПа. С ростом значений pa закон распределе-

ния прочности оставшейся части межфазной поверхности изменялся с учетом исключения из отрезка значений прочности разрушенных элементов. В предельном случае при pa = 1 волокна полностью

отслаивались от матрицы и не взаимодействовали с ней при деформировании композита.

На рис. 3.7 представлены зависимости объемного модуля плоской деформации k12* и модуля сдвига G12* композита от уровня поврежденности p межфазных поверхностей для сплошных ( q = 0 ) и полых волокон ( q = 0,9 ) при значениях наполнения vo = 0,2 и 0,6.

На рис. 3.8 и 3.9 для сплошных (см. рис. 3.8) и для полых (см. рис. 3.9) волокон приведены диаграммы критических точек, соответствующих началу дополнительного повреждения ∆pa к задан-

ному уровню поврежденности pa межфазных поверхностей волокон при всестороннем растяжении композита в плоскости изотропии:

ε* = 1 ε* δ, где индексы i, j = 1,2 и ε* – относительное изменение

2 V V

макрообъема композита. Относительное объемное содержание волокон vo равно 0,2, 0,6, 0,7 и 0,8. Точки на диаграммах соответствуют

значениям заданного уровня поврежденности pa = 0 (0), 0,1 (1), 0,2 (2), …., 0,9 (9), 1 (10).

201

Глава 4

ДИФРАКЦИЯ УПРУГИХ ВОЛН НА СЛУЧАЙНЫХ СТРУКТУРАХ КОМПОЗИТОВ

В задачах о распространении волн в композитах характерный размер неоднородностей имеет определяющее значение и динамическое поведение композитов можно в наиболее общем случае отнести к одному из двух видов. В первом длина волны значительно больше характерного масштаба неоднородности композита и поведение композита описывается через соответствующие статические эффективные физико-механические свойства. Ко второму виду относится поведение композита, когда длина волны соизмерима с характерным масштабом неоднородности, в связи с чем в композите могут возникать очень сложные динамические эффекты, так как наличие поверхностей раздела фаз в композите приводит к возникновению отраженных и преломленных волн. В композитах со случайными структурами, например, даже в рамках линейной теории упругости, общая механическая энергия сохраняется, однако может проявляться кажущееся затухание волны от некогерентного рассеяния на случайных неоднородностях композита. Таким образом, случайный характер реальных структур композитов обусловливает применение к анализу дифракции волн на микроуровне и эффекта затухания волн на макроуровне статистических подходов. Понятие элементарного объема V в динамике рассеивающих сред вводится как объем, в котором количество поглощенной и рассеяной энергии волн пропорционально его размеру [58]. Для этого необходимо, чтобы он был, с одной стороны, достаточно велик, т.е. чтобы статистические характеристики распространения волн были близки к средним, а с другой – мал, чтобы интенсивность падающей на него волны оставалась почти неизменной в его пределах.

205

Будем рассматривать распространение и эффект затухания гармонических волн в матричных композитах, например, когда все включения имеют одинаковые геометрическую форму, ориентацию и случайный размер. Каждое включение состоит из F различных фаз, фазу F +1 будем отождествлять с матрицей M композита. Упругие свойства и плотности всех фаз включений и матрицы композита различны. Выполняются условия идеального контакта на межфазных поверхностях.

В области V на микроуровне композита имеем уравнения дви-

206

где C( f ) , ρ( f ) – тензоры упругих свойств и величины плотностей f-й

фазы композита соответственно, ωf (r) – индикаторная функция f-й

фазы композита (1.7). Величина v f ≡< ωf > – относительное объемное

содержание f-й фазы в композите, < ... > – оператор объемного осреднения (1.9). Случайный разброс размеров включений в композите определим через представительную выборку коэффициентов подобия αβ( k ) размеров относительно размеров некоторого

собой равенством (1.5), так как выполняется зависимость (1.4)

гдепоказательстепени β связансразмерностьюзадачииравен1, 2 или3

для слоистого, однонаправленного волокнистого и гранулированного композитов соответственно.

Pассмотpим вычисление тензоpа динамических эффективных упpугих свойств C* композита, входящего в обобщенный закон Гука на макpоуpовне композита

207

сязаны между собой формулой

где N(( af )) – тензоpы концентpаций осpедненных комплексных ампли-

туд дефоpмаций на f-й фазе композита. В (4.12) использованы pазложения

где < ... > f – опеpатоp объемного осpеднения по области f-й фазы

композита. В pезультате из фоpмул (4.10) и (4.12) получим выpажение для pасчета тензоpа эффективных динамических упругих свойств композита

f=1

сучетом вспомогательной зависимости

f =1

где I – единичный тензоp (2.148). Фоpмула (4.16) получена из pавенства

с учетом (4.11) и (4.13).

208

Таким обpазом, задача pасчета тензоpа динамических эффективных упpугих свойств C* композита сводится к pасчету тензоpов концентpаций осpедненных комплексных амплитуд дефоpмаций на всех F фазах включений N(( af )) . Pассмотpим вычисление тензоpов N(( af ))

из pешения соответствующих осpедненных задач обобщенного метода самосогласования.

Постановка локально-осpедненных задач. В локальной системе кооpдинат, начало которой совмещено с центром произвольного k-го включения из области V, введем в pассмотpение осредненные поля g-го порядка комплексных амплитуд пеpемещений, дефоpмаций и напpяжений:

могут быть рассчитаны через осредненные поля амплитуд перемещений u((a0)) (ξ) или амплитуд деформаций ε((a0)) (ξ) (4.18) по формулам

209

Рассмотрим возможность определения осредненных полей из решения соответствующих локально-осредненных волновых уравнений.

Определим вид волновых уравнений, которым должны удовлетворять осредненные поля (4.18). Для этого запишем уpавнение (4.3) в локальной системе координат ξ произвольного k-го включения:

где использованы обозначения

ρ( k ) (ξ) ≡ ρ(r( k ) + α( k )ξ) , u(( ka )) (ξ) ≡ u( a ) (r( k ) + α( k )ξ) ,

(4.23)

ε((ka )) (ξ) ≡ ε(a ) (r( k ) +α( k )ξ) , σ(( ka )) (ξ) ≡ σ( a ) (r( k ) + α( k )ξ) ,

для полей в локальной системе координат k-го включения с учетом связи (1.1)

210