книги / Методы самосогласования механики композитов
..pdf
Рис. 1.3. Фрагменты реализаций случайных стpуктуp с полыми сфеpическими включениями: 1, 2 – фазы включения, 3 – cферическая ячейка
Веpоятность появления свободных от включений ячеек pассчитывается чеpез заданную величину относительного объемного содеpжания полых сфеpических включений vo в композите пpи задан-
ной минимальной гаpантиpованной пpослойке между включениями, например, в 2 % от pадиуса ячейки, параметр q – отношение
внутpеннего pадиуса включений r(1) к внешнему r(2) , значения величин v1 и v2 могут быть pассчитаны по фоpмулам (1.32) при β = 3 :
v1 = q3vo , v2 |
=(1 −q3 )vo . |
(1.43) |
Для модели на рис. 1.3, а дополнительно может быть задан |
||
коэффициент ваpиации κα для |
коэффициента |
подобия pазмеpов |
включений α и случайные максимально возможные по величине и без пpеобладающих оpиентаций смещения включений внутpи соответствующих ячеек, а также может быть задана, например, статистическая независимость или степенная зависимость коэффициента χ от cоответствующего коэффициента подобия α для k-го вклю-
чения в виде
χ( k ) = kα(−kn) , |
(1.44) |
|
21 |
например, пpи показателе степени n = 3. В (1.44) коэффициент
|
|
1 N |
−1 |
|
||||
k ≡< α(−kn) >−N1 = |
|
|
∑α(−kn) |
(1.45) |
||||
|
|
|||||||
|
|
N k =1 |
|
|
||||
опpеделяется, напpимеp, из условия ноpмиpования |
|
|||||||
|
1 |
|
|
N |
|
|
||
< χ(k ) >N ≡ |
|
|
∑χ(k ) |
= 1, |
(1.46) |
|||
|
|
|||||||
|
N k =1 |
|
|
|||||
где опеpатоp статистического осpеднения |
|
|||||||
|
|
1 |
|
N |
|
|
||
<... >N = |
∑... |
|
(1.47) |
|||||
|
|
|||||||
|
|
N k =1 |
|
|
||||
по множеству pеализаций соответствующей случайной величины на совокупности всех N включений из пpедставительной области композита V.
На рис. 1.4, а – в представлены фрагменты реализаций для моделей типов I–III случайных структур однонаправленных волокнистых композитов в плоскости изотропии r1Or2 , по которым возможно построить, например, приведенные поля вероятностей различных
порядков g = 0, 1, 2, …: для f-й фазы волокон ω(f g ) (ξ) (1.17), для
составных включений в целом ω( g ) (ξ) |
(1.18). |
|
||||
Для однонаправленного волокнистого композита с детермини- |
||||||
рованными ( χ =1) и |
однородными |
( F =1 ) свойствами волокон |
||||
на рис. 1.4, г, д представлены результаты расчета по формуле |
|
|||||
|
|
1 |
N |
|
|
|
ω(ξ) ≡ |
∑αβ( k ) ω(r( k ) |
+α( k ) ξ) |
(1.48) |
|||
|
||||||
|
|
N k =1 |
|
|
||
приведенного поля |
вероятностей |
ω(ξ) (1.17) и (1.18) |
для |
|||
различных значений относительного объемного содержания волокон vo . Фрагменты(представительныеобласти), покоторымпроводился
22
23
расчет функции ω(ξ) и величины vo в предположении статистической изотропии рассматриваемой структуры в плоскости, ограничен штриховой окружностью, например, при vo = 0,6 на рис. 1.4, а – в соответственно для типов I–III моделей структур. Для других значений vo [0,2; 0,6] фрагменты структуры типа I получены уменьшением радиуса волокна rυ при фиксированных координатах центров волокон фрагмента на рис. 1.4, а. Фрагменты структуры типа II для значений vo [0,2; 0,8] были получены варьированием
числа свободных от волокон узлов правильной гексагональной решетки при фиксированном значении отношения величины стороны ячейки к радиусу волокна rυ , что обеспечивало минимальную гарантированную прослойку матрицы между волокнами. Фрагменты структур типа III для значений vo [0,2; 0,8] образованы по схеме удаления волокон из плотно заполненной укладки фрагмента структуры при vo = 0,8 . Незатушеванные окружности на рис. 1.4, б, в фрагментов структур типов II и III указывают размеры и располо-
жение удаленных волокон при переходе от vo |
= 0,8 к значению 0, 6. |
При значениях ξ > 7rυ полагали равенство |
|
ω = vo |
(1.49) |
с учетом формул (1.20) и (1.22), так как для рассматриваемых структур на рис. 1.4, а – в особенности дальнего порядка несущественны, что было подтверждено анализом численных результатов. Графики ω(ξ) для структур типа II для исследуемых величин
минимальной гарантированной прослойки матрицы между волокнами от 1 до 4 % от радиуса волокна rυ отличаются между собой незначительно и на рис. 1.4, г, д обозначены условно единой кривой II. Для структуры типа III величина rυ есть радиус нормированного
волокна, площадь поперечного кругового сечения которого равна среднему арифметическому значению от величин площадей
24
поперечных сечений волокон рассматриваемого фрагмента. Тонкие линии с символами 
, 
на рис. 1.4, г, д – аппроксимации действительных зависимостей ω(ξ) соответствующими кусочно-
постоянными функциями
1, |
0 ≤ ξ ≤ rυ, |
|
|
|
|
rυ < ξ ≤ R, |
(1.50) |
ω(ξ) = 0, |
|||
|
, |
ξ > R, |
|
vo |
|
||
для аппроксимации 1 и |
|
|
|
1, |
0 ≤ξ ≤ rυ, |
(1.51) |
|
ω(ξ) = |
|
ξ > rυ, |
|
vo |
, |
|
|
для аппроксимации 2, где величина R определяется из равенства
(rυ 
R)2 = vo .
На рис. 1.5 для моделей типов I–III (см. рис. 1.4, а – в) однона-
правленного волокнистого |
композита с двухфазными волокнами |
(F = 2) для случая q = 0,9 |
представлены результаты расчета приве- |
денных полей вероятностей обеих фаз ω1 (ξ) и ω2 (ξ) (1.17). Тонки- |
|
ми линиями с символами , |
обозначены соответствующие кусочно- |
постоянные аппроксимации приведенных полей вероятностей ω1 (ξ) |
|
и ω2 (ξ) : |
|
|
|
1, |
0 ≤ ξ ≤ r(1) , |
|
0, 0 ≤ ξ ≤ r(1) , |
|
||||||
|
|
|
|
r(1) |
< ξ ≤ r(2) , |
|
||||||
ω1 |
|
|
r(1) |
< ξ ≤ R, |
|
1, |
(1.52) |
|||||
(ξ) = 0, |
ω2 (ξ) = |
r(2) < ξ ≤ R, |
||||||||||
|
|
|
, |
|
ξ > R, |
|
0, |
|
||||
|
|
v1 |
|
|
|
|
ξ > R, |
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
v2 , |
|
|
|
|
для аппроксимации 1, |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
1, |
|
0 ≤ ξ ≤ r(1) , |
|
0, 0 ≤ ξ ≤ r(1) , |
|
|||||
ω1 |
|
|
|
r(1) |
< ξ ≤ r(2) , |
ω2 |
|
r(1) |
< ξ ≤ r(2) , |
(1.53) |
||
(ξ) = 0, |
|
(ξ) = 1, |
||||||||||
|
|
v , |
|
ξ > r |
, |
|
v , |
|
ξ > r |
, |
|
|
|
|
1 |
|
|
(2) |
|
|
2 |
|
(2) |
|
|
25
Pис. 1.5. Приведенные поля вероятностей композита с двухфазными однонаправленными волокнами: 
, 
, 
– структурыI, II иIII; 
, 
– аппроксимации1 и2 (см. такжес. 27)
26
Pис. 1.5. Окончание
дляаппроксимации 2, сучетом равенства (1.32) иотношенияпри β = 2
(r(2) R)β = vo . |
(1.54) |
Для однонаправленного волокнистого композита со случайными и однородными (F = 1) свойствами волокон и со случайными укладками волокон по типам II и III (см. рис. 1.4, б, в) при относительном объемном содержании волокон vo = 0,8 на рис. 1.6 представлены результаты расчета приведенных полей вероятностей (1.17) и (1.18) различных порядков ω(ξ) (1.48) и ω(1) (ξ) , когда коэффициент разброса упругих
свойств волокон χ распределен по закону (1.44) при значении коэффи-
циента n = 2 . Призначениях ξ > 7rυ |
полагали равенства |
|
||
ω= v , |
ω(1) |
= ζ |
v , |
(1.55) |
o |
|
|
(1) o |
|
аналогично (1.49). |
|
|
|
|
Гибридные структуры. |
Пусть |
D – число различных |
типов |
|
включений с однородными и детерминированными упругими свойствами в представительной области композита V. Упругие свойства включений d-го типа заданы соответствующим тензором упругих свойств C( d ) , а их распределение по объему композита V – через индикаторную функцию
27
Pис. 1.6. Приведенные поля вероятностей композита со случайными упругими свойствами однонаправленных волокон:
– структура II, 
, 
– структураIII
ωd |
1, |
r V(d ) |
, |
|
|
|
(r) = |
0, |
r V |
(1.56) |
|||
|
|
, |
|
|
||
|
|
(d ) |
|
|
|
|
где V( d ) – область включений |
d-го типа в области V, d = |
|
. |
|||
1, D |
||||||
Индикаторная функция |
|
|
|
|
|
|
|
|
D |
|
|
|
|
|
ω(r) ≡ ∑ωd (r) , |
(1.57) |
||||
|
|
d =1 |
|
|
|
|
относительное объемное содержание включений в композите |
||||||
|
|
D |
|
|
|
|
|
vo = ∑vd , |
(1.58) |
||||
|
|
d =1 |
|
|
|
|
где vd =< ωd (r) > – относительное объемное содержание включений
d-го типа в композите.
Все включения произвольного d-го типа имеют одинаковую геометрическую форму и ориентацию в объеме композита, а их размеры геометрически подобны и заданы через соответствующие ко-
28
эффициенты подобия α( d ) включения d-го типа υ( d )
относительно размеров нормированного
. Упругие свойства матрицы однородны
и заданы через тензор упругих свойств CM . Статистический разброс наблюдается лишь у взаимного расположения и размеров включений для каждого d-го типа включений в отдельности, заданного через вероятностные законы для коэффициентов подобия α(d ) .
Ближний порядок взаимного расположения включений каждого типа в отдельности в окрестности включений d-го типа учитывается совокупностью специальных приведенных полей вероятностей, вычисляемых по заданному полю индикаторной функции ωd (r) (1.56):
|
1 |
N( d ) |
|
ωt( d ) (ξ) ≡ |
∑α(( kd ))βωt (r((kd)) +α(( kd )) ξ) , |
||
N( d ) |
|||
|
k =1 |
(1.59)
D
ω( d ) (ξ) ≡ ∑ ωt( d ) (ξ) , t =1
где N( d ) – число включений d-го типа в представительной области композита V, r((kd)) – координаты центра k-го включения d-го типа, коэффициент подобия α(( dk )) k-го включения d-го типа задан относительно размеров нормированного включения υ( d ) d-й осредненной задачи, объем которого
|
|
1 |
N( d ) |
|
υ( d ) |
= |
∑ v(( kd )) , |
||
N( d ) |
||||
|
|
k =1 |
||
где v(( kd )) – объем k-го включения |
d-го типа из области V, центр |
|||
локальной системы координат ξ совмещен с центром соответствующего нормированного включения υ( d ) d-го типа.
Соответствующие кусочно-постоянные аппроксимации приведенных полей вероятностей ωt( d ) (ξ) (1.59), аналогично аппроксимациям (1.52) и (1.53), можем записать для аппроксимации 1:
29
|
1, |
0 ≤ξ≤ rυ, |
|
0, |
0 ≤ξ≤ R, |
||
ω1(1) (ξ) = 0, |
rυ <ξ≤ R, |
ω(1)2 |
|||||
(ξ) = |
|
|
|||||
|
v , |
ξ > R, |
|
v2 |
, |
ξ > R, |
|
|
1 |
|
|
|
|
(1.60) |
|
|
|
|
|
1, |
|
||
|
0, |
0 ≤ξ≤ R, |
|
|
0 ≤ξ≤ rυ, |
||
ω1(2) |
ω(22) (ξ) = 0, |
|
rυ <ξ≤ R, |
||||
(ξ) = |
|
|
|||||
|
v1 , |
ξ > R, |
|
v , |
ξ > R, |
||
|
|
|
|
2 |
|
|
|
и для аппроксимации 2: |
|
|
|
|
|
||
ω1(1) |
1, |
0 ≤ξ≤ rυ, |
|
0, |
|
0 ≤ξ≤ rυ, |
|
(ξ) = |
ξ > rυ, |
ω(1)2 (ξ) = |
|
ξ > rυ, |
|||
|
v1 , |
|
v2 , |
||||
|
0, |
|
|
1, |
|
(1.61) |
|
ω1(2) |
0 ≤ξ≤ rυ, |
ω(22) |
|
0 ≤ξ≤ rυ, |
|||
(ξ) = |
ξ > rυ, |
(ξ) = |
, |
ξ > rυ, |
|||
|
v1 , |
|
v2 |
||||
где величина радиуса |
R определяется из равенства (rυ R)β = vD, |
||||||
показатель β = 2 – для волокон и |
β=3 – для сферических вклю- |
||||||
чений.
На рис. 1.7 представлены примеры фрагментов квазипериодических гибридных структур с волокнами двух типов. Квазипериодическая модель на рис. 1.7, б основана на варьировании числа свободных от волокон узлов правильной гексагональной решетки при фиксированном значении отношения величины стороны ячейки к радиусу волокна, что обеспечивало минимальную гарантированную прослойку матрицы между волокнами; величину прослойки задавали в процентах от радиуса волокна. Вероятность появления свободных от волокон узлов определялась через заданные величины относительного объемного содержания волокон vD и минимальную
гарантированную прослойку. Если, например, предположить равную вероятность появления волокон каждого типа в произвольном
30