книги / Методы самосогласования механики композитов

∂f (x, y)

∂

2

2

3

=

(x

y

)

= 2x

,

∂x

∂x

y=x

y=x

1

∂f (x,x) =

1

d

x4

= 2x3 ,

2

∂x

2 dx

ξ(1) →ξ(2) ≡ ξ

(3.50)

∂

ijmn(σ)

(ξ, ξ) = 0 ,

K

∂ξ

n

ijmn(σ) (ξ, ξ) = aijsq

(ξ, ξ)

sqdb(ε) (ξ, ξ) ,

K

K

mndb

∂

2

K

(σ) (ξ, ξ) = a (ξ, ξ)

K

(u ) (ξ

1

, ξ)

(1)

ijmn

ijsq

∂ξ

∂ξ

sd

mndb

q

b

ξ1→ξ

и краевая задача (3.34), (3.35) преобразуется к виду

∂

∂

2

a

(ξ)

(u ) (ξ , ξ) = 0,

(3.51)

K

∂ξn

∂ξq

mndb

∂ξb

sd

1

ijsq

(1)

sd(u )

=< εsq εdb

> ξ(q1)ξb

при ξ → ∞

(3.52)

K

с учетом обозначений (3.50)

a(ξ) ≡ a(ξ, ξ) .

Определим вид поля a(ξ) в уравнениях (3.51) из зависимости

вида (3.30):

ijmn(σ) (ξ) = aijsq

(ξ)

sqdb(ε)

(ξ) ,

(3.53)

K

K

mndb

(σ) (ξ) ≡

(σ) (ξ,ξ) ,

(ε) (ξ) ≡

(ε) (ξ, ξ) .

(3.54)

K

K

K

K

F +1

(σ) (ξ) = ∑ ωf (ξ) < σσ

>f ,

(3.55)

K

f =1

где <... >f – оператор осреднения по

области

f-й фазы Vf

композита. Приведенные поля вероятностей ωf (ξ)

рассчитываются

по формуле

1

N

ωf

(ξ) =

∑αβ( k ) ωf (r( k )

+ α( k ) ξ)

N k =1

F

+1

ijmn(σ) (ξ) = ∑ ωf (ξ)Cijsq( f )Cmndb( f )

< εsq εdb >f

K

f =1

или

F +1

ijmn(σ) (ξ) = ∑ ωf (ξ)Cijsq( f )Cmndb( f ) Asq( fαβ)

< εαβεϕψ >

(3.56)

K

f =1

dbϕψ

с учетом разложения

< ε

ε

mn

>

f

= A( f )

< ε

sq

ε

db

> ;

(3.57)

ij

ijsq

mndb

существует зависимость

F +1

∑ v f A ( f )

= II ,

(3.58)

ных моментов деформаций

K

(ε) (ξ)

в виде

F +1

ijmn(ε)

(ξ) = ∑ ωf (ξ) Aij(αβf )

< εαβεϕψ >.

(3.59)

K

f =1

mnϕψ

Таким образом, из равенства

ijmn(σ) (ξ) = aijpq

(ξ)

pqdb(ε) (ξ)

(3.60)

K

K

mndb

и разложений (3.56), (3.59) следует выражение для поля

F +1

( f )

( f )

( f )

(ε)−1

(ξ) ,

(3.61)

aijνµ (ξ) =

∑ ωf (ξ)Cijsq

Cmndb Asqαβ

kαβνµ

mnδρ

f =1

dbϕψ

ϕψδρ

где k (ε)−1 – тензор, обратный тензору

F +1

k (ε) (ξ) = ∑ ωf (ξ)A( f ) .

(3.62)

a( f ) = C( f ) C( f )

(3.63)

~

ввиде

приведенного поля центральных моментов перемещений u (ξ)

∂

∂

~

aijsq (ξ)

usq

(ξ)

= 0

(3.64)

∂ξb

∂ξn mndb

d

~

=< εsq εdb > ξb ,

(3.65)

usq

~

(ξ) ≡

∂

(u )

(ξ1 , ξ)

ξ1 →ξ .

(3.66)

usq

(1)

Ksd

d

∂ξq

Аналогично (3.64)–(3.66) задача вычисления полей концентра-

ций условных моментов перемещений

(ξ) , деформаций

(ξ)

U

E

и напряжений

(ξ)

сводится к решению локально-осредненной крае-

S

вой задачи

∂

∂

2

a

(ξ)

(ξ , ξ) = 0

(3.67)

U

∂ξn

∂ξq

mndb

∂ξb

dϕψ

1

ijsq

(1)

sαβ

с соответствующими (3.52) граничными условиями

= IsqαβIdbϕψξ(q1)ξb ,

(3.68)

U sαβ

dϕψ

< εε >f могут быть рассчитаны через решение

~

по соответст-

u(ξ)

вующим формулам:

(ε)

~

(ξ) ,

(3.72)

Kijmn (ξ) = u(ij )

( m,n)

< εε >f =

1

∫

(ε) (ξ)dξ,

(3.73)

K

υ

( f ) υ( f )

(σ)

(ξ) = aijsq

~

(ξ) ,

(3.74)

Kijmn

(ξ)usq

mndb

d ,b

< σσ >f =

1

∫

(σ) (ξ)dξ = C( f ) < εε >f C( f )

(3.75)

K

υ

( f ) υ( f )

(3.65), так как от A( f ) зависит поле

a(ξ)

в (3.64) и

A( f ) связаны

~

зависимостями (3.57), (3.72) и (3.73) или

с решением этой задачи u(ξ)

( f )

1

∫

~

(ξ)dξ .

Aijsq < εsq εdb

>=

u(ij )

(3.76)

υ

mndb

( f ) υ( f

( m,n)

)

Рассмотрим расчет поля условных моментов перемещений

(u ) (ξ) ≡

(u ) (ξ, ξ)

(3.77)

K

K

через найденное решение для

~

краевой задачи (3.64),

(3.65).

u(ξ)

Из формулы (3.66) следует равенство

∂

(u )

~

~

∂ξq

Ksd

(ξ) = usq

(ξ) +udq

(ξ),

(3.78)

d

s

0

+ ξ∫2 (

,(2u ) (ξ/ ))ξ1/ =ξ1 dξ2/ + ξ∫3 (

,3(u ) (ξ/ ))ξ1/ =ξ1

dξ3/

K

K

0

ξ3/ =0

0

ξ2/ =ξ2

или с учетом (3.78) в виде

(u )

ξ1

~

/

~

/

/

(ξ) = ∫

(ξ

)

+

(3.79)

K pd

u p1 (ξ

) +ud1

dξ1

0

d

p

ξ2/ =ξ3/ =0

ξ2

~

(ξ

/

)

~

/

/

ξ

3

~

(ξ

/

~

(ξ

/

dξ

/

+ ∫

u p 2

+ud 2 (ξ

)

/

=ξ1

dξ2

+ ∫

u p3

) +ud 3

)

/

3 .

0

d

p

ξ1/

0

d

p

ξ1/

=ξ1

ξ3

=0

ξ2

=ξ2

При ξ → ∞ для поля

(u ) (ξ)

будет выполняться равенство (3.52) вида

K

sd(u ) =< εsq εdb > ξq ξb .

K

~

(ξ) ,

(3.80)

Eijαβ (ξ) =U(ij )αβ

mnϕψ

m)ϕψ,( n

(ξ) = aijsq

~

(3.81)

Sijαβ

(ξ)U

( sq )αβ (ξ) .

mnϕψ

mndb

dϕψ,b

Формула для расчета поля концентраций условных моментов

перемещений

(ξ) ≡

(ξ, ξ) ,

U

U

через приведенное поле

~

имеет вид

U(ξ)

ξ1

~

/

~

/

/

U sαβ (ξ) =

+

(3.82)

∫ U s1αβ (ξ

) +U d1αβ (ξ

)

dξ1

dϕψ

0

dϕψ

sϕψ

ξ2/ =ξ3/ =0

U sαβ = IsqαβIdbϕψξq ξb .

(3.83)

dϕψ

Сферопластик. Пусть C( f ) и C* – изотропные тензоры с разло-

жениями

C( f ) = 3K( f ) V + 2G( f ) D , C* = 3K *V + 2G*D ,

(3.84)

N( f ) = n( f )V + n( f )D ,

(3.85)

V

D

A( f ) = a( f )VV + a( f )VD + a( f ) DV + a( f )DD

(3.86)

VV

VD

DV

DD

через константы разложения aVV( f ) , ...,

aDD( f ) .

a(ξ) = 9

VV (ξ)VV +6

VD (ξ)VD +6

DV (ξ)DV + 4

DD (ξ)DD ,

(3.87)

a

a

a

a

где поля

VV (ξ), ...,

DD (ξ) определены через отношения

a

a

(ξ) =

kVV(σ) (ξ)

,

VD (ξ) =

kVD(σ) (ξ)

,

a

VV

a

kVV(ε) (ξ)

kVD(ε) (ξ)

(3.88)

(ξ) =

kDV(σ) (ξ)

,

DD (ξ) =

kDD(σ) (ξ)

a

a

DV

kDD(ε) (ξ)

kDV(ε) (ξ)

с учетом, что тензор A−1 , обратный некоторому тензору A вида

A = aVV VV + aVD VD + aDV DV + aDD DD ,

(3.89)

можно представить аналогично (3.89) через разложение

A−1 =

1

VV +

1

VD +

1

DV +

1

DD .

(3.90)

aVV

aVD

aDV

aDD

ijmn(σ) (ξ) = kijsq(σ) (ξ) < εsq εdb >,

(3.91)

K

mndb

k(σ) (ξ) = 9kVV(σ) (ξ)VV + 6kVD(σ) (ξ)VD + 6kDV(σ) (ξ)DV + 4kDD(σ) (ξ)DD ,

(3.92)

F +1

kVV(σ) (ξ) = ∑ ωf (ξ)(K( f ) )2 aVV( f ) ,

(3.93)

f =1

F +1

kVD(σ) (ξ) = ∑ ωf (ξ)K( f )G( f )aVD( f ) ,

(3.94)

f =1

F +1

kDV(σ) (ξ) = ∑ ωf (ξ)G( f ) K( f )aDV( f ) ,

(3.95)

f =1

F +1

kDD(σ) (ξ) = ∑ ωf (ξ)(G( f ) )2 aDD( f ) ,

(3.96)

Решение краевой задачи (3.64), (3.65) для поля

~

или

~

u(ξ)

U(ξ)

приближенного представления (3.86) для поля a(ξ)

может привести

к некоторой незначительной зависимости решений

~

~

от вы-

u(ξ) и

U(ξ)

3

Vmn(ε) (ξ) = ∑

iimn(ε)

(ξ)

(3.101)

K

K

i =1

и концентраций моментов деформаций

3

(ξ) = ∑

(ξ) .

(3.102)

EVαβ

Eiiαβ

mnϕψ

i=1 mnϕψ

∂

∂

~

aiisq (ξ)

usq

(ξ) = 0

∂ξb