книги / Методы самосогласования механики композитов

Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Пермский национальный исследовательский политехнический университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

υ( f ) υ( f )

..pdf

Скачиваний:

Добавлен:

12.11.2023

Размер:

4.75 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1516 / 2616 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 > Следующая >>>

Глава 3

СТАТИСТИЧЕСКИЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ ПОЛЕЙ ДЕФОРМИРОВАНИЯ И ПОВРЕЖДЕННОСТЬ КОМПОЗИТОВ

3.1. БЕЗУСЛОВНЫЕ ДВУХТОЧЕЧНЫЕ МОМЕНТНЫЕ ФУНКЦИИ ПОЛЕЙ ДЕФОРМИРОВАНИЯ КОМПОЗИТА

Пусть для некоторой представительной области, например, пьезопассивного композита V со случайной структурой из составных или полых включений c детерминированными упругими свойствами фаз, задано однородное поле малых макродеформаций композита ε* , F – число фаз во включении. Поля напряжений σ(r) , де-

формаций ε(r) и перемещений u(r) в области V удовлетворяют соответственно уравнениям равновесия σ(r) = 0 , соотношениям Коши ε(r) = defu(r) и обобщенному закону Гука σ(r) = C(r) ε(r) .

Рассмотрим расчет безусловных двухточечных моментных функций

K (σ) (ρ) ≡< σ(r1 )σ(r2 ) >,		K (ε) (ρ) ≡< ε(r1 )ε(r2 ) >,		(3.1)
K (u ) (r ,r ) ≡< u(r )u(r ) >
1	2	1	2

для полей напряжений K (σ) (ρ) , деформаций K (ε) (ρ) и перемещений

K (u ) (r1 ,r2 ) , где вектор разности ρ ≡ r2 −r1. Двухточечные моментные

функции напряжений K (σ) (ρ) (3.1) удовлетворяют уравнению
	∂	Kijmn(σ ) (ρ) = 0 ,	(3.2)
	∂ρ	Kijmn(σ ) (ρ) = 0 ,	(3.2)
	∂ρ
	n

151

которое следует из уравнений равновесия σij , j (r) = 0 . Поля K (σ) (ρ) представим в виде разложения

				F +1 F +1
K (σ) (ρ) = ∑∑ p f1 f2 (ρ)						< σσ >f1 f2 ρ ,				(3.3)
				f1 =1 f2 =1
где
	p f	1	f	(ρ) ≡< ω(r1 )ω(r2 ) >						(3.4)
		1		2
есть вероятность наступления события						A – одновременного располо-
жения в точках r1	и		r2 фаз f1 и			f2	соответственно,			оператор
условного статистического					осреднения		<... >f1 f2 ρ	определен для
условия, что событие A реализовано. С учетом обобщенного закона
Гука для фаз композита разложение (3.3) запишем в виде
F +1	F +1
Kijmn(σ) (ρ) = ∑ ∑ p f f					(ρ)Cij( αβf1 )Cmn( f2ϕψ)		< εαβεϕψ >f	f	ρ .	(3.5)
f1 =1 f2 =1				1	2		1	2
f1 =1 f2 =1
В результате может быть получена формула
Kijmn(σ)			(ρ) = Cij*(αβ2) (ρ)Kαβϕψ(ε)				(ρ) ,			(3.6)
					mnϕψ

связывающая искомые безусловные двухточечные моменты напряжений и деформаций, где поле

	F +1 F +1
Cij*(αβ2) (ρ) ≡ ∑ ∑ p f f
mnϕψ	1	2
	f1 =1 f2 =1

(ρ)Cijdb( f1 )Cmnsq( f2 ) Adb( f1αβf2 ) (ρ)	(3.7)
sqϕψ

с учетом возможного разложения условного момента деформаций

< εij εmn	>f	f	ρ = Aij(αβf1 f2 ) (ρ)Kαβϕψ(ε) (ρ)	(3.8)
	1	2	mnϕψ
			mnϕψ

через поле концентраций A( f1 f2 ) (ρ) этих моментов на фазах композита.

В общем тензорное поле C*(n) (r1 , ...,rn ) будет определять связь вида

152

K (σ)	(r ,	...,r ) ≡ C *(n)		(r ,	...,r )K (ε)		(r ,	...,r )	(3.9)
i1 j1 ...in jn	1	n	i1 j1α1β1	1	n	α1β1 ...αnβn	1	n

...

in jn αnβn

для n-точечных безусловных моментов напряжений

K (σ) (r1	,	...,rn ) ≡< σ(r1 )...σ(rn ) >	(3.10)
и деформаций
K (ε) (r1	,	...,rn ) ≡< ε(r1 )...ε(rn ) >.	(3.11)

В частном случае, когда n = 1, тогда C*(1) совпадает с тензорм C* эффективныхупругихсвойствкомпозита:

C*(1) ≡ C* .

(3.12)

Для полей концентраций A( f1 f2 ) (ρ) (3.8) выполняется вспомогательное соотношение

F +1 F +1
∑ ∑ p f	f	2	(ρ)A( f1 f2 ) (ρ) = II ,						(3.13)
1		2
f1 =1 f2 =1
следующее из равенства
F +1	F +1
K(ε) (ρ) = ∑ ∑ p f				f	2	(ρ) < εε >f	f	ρ ,	(3.14)
f1 =1 f2			1		2	1	2
f1 =1 f2			=1

аналогичного (3.3), с учетом разложения (3.8) и независимости тензоров A( f1 f2 ) (ρ) от значений безусловных моментов деформаций

K (ε) (ρ) , I – единичный тензор (2.148).

Таким образом, от уравнения (3.2) можем перейти к постановке краевой задачи

∂

C*( 2)

(ρ)

K (u ) (r , r )

= 0

(3.15)

(1)

( 2)

∂ρ

ijαβ

∂r

αϕ 1 2

mnϕψ

153

с граничными условиями

K (u )	= ε*	ε*	r (1) r ( 2)	(3.16)
ij	iα	jβ	α β

относительно двухточечного безусловного момента перемещений

K (u ) (r1 ,r2 ) (3.1). Краевая задача (3.15)							и (3.16)		может быть пред-
ставлена в виде
	∂				∂
	∂		*(2)	(ρ)	∂	~		= 0	(3.17)
		Cijαβ		(ρ)	∂ρψ	uαβ (ρ)		= 0	(3.17)
	∂ρn		mnϕψ		∂ρψ	ϕ

с граничными условиями

~	*	*	ρβ
uiα	= εiα	εjβ	ρβ
j

относительно приведенного поля

~	∂	(u )
uαβ (ρ) ≡		Kαϕ	(r1	,r2 ) .
uαβ (ρ) ≡	(1)	Kαϕ	(r1	,r2 ) .
ϕ	∂rβ

(3.18)

(3.19)

В результате для полной постановки краевой задачи (3.15), (3.16) или (3.17), (3.18) относительно искомых безусловных двухточечных моментных функции полей деформирования необходимо оп-

ределить поля концентраций A( f1 f2 ) (ρ) (3.8) моментов деформаций

на фазах композита, входящих в выражение (3.7) для поля C*(2) (ρ) .

Отметим, что аналогично краевой задаче для безусловных двухточечных моментов полей деформирования (3.15), (3.16) или (3.17), (3.18) может быть рассмотрена краевая задача

∂

C*( 2, f ) (ρ)

K (u , f ) (r , r )

= 0

(3.20)

(1)

( 2)

∂ρ

ijαβ

∂r

αϕ 1 2

mnϕψ

с граничными условиями

K (u , f )	= ε( f ) ε*	r (1) r ( 2)	(3.21)
ij	iα jβ	α β

154

относительно двухточечного условного момента перемещений

K (u , f ) (r ,r ) ≡< u(r )u(r ) >

fρ

(3.22)

где оператор условного статистического осреднения

<... >fρ

определен для условия,

что событие r1

V( f ) реализовано, т.е. при

условии, что одна из точек,

например r1 , лежит в области f-й фазы

V( f ) композита. Аналогично

(3.17) и (3.18) краевая задача

(3.20)

и (3.21) может быть представлена в виде

*( 2, f )

∂

~( f )

∂

Cijαβ

(ρ)

uαβ

(ρ)

= 0

(3.23)

∂ρn

mnϕψ

∂ρψ

с граничными условиями

~ ( f )

( f )

(3.24)

uiα

εiα

εjβρβ

относительно соответствующего приведенного поля

~( f )

(ρ) ≡

∂

(u , f )

(r1 , r2 ) .

(3.25)

uαβ

Kαϕ

(1)

∂rβ

В (3.24) ε( f ) ≡< ε >f – тензор осредненных по области f-й фазы композита Vf деформаций композита.

Отметим существование связи

F +1
K (u ) (r1 ,r2 ) = ∑v f K (u , f ) (r1 ,r2 )	(3.26)

f =1

между полями K (u ) (r1 ,r2 ) (3.1) и K (u , f ) (r1 ,r2 ) (3.22).

155

3.2. МОМЕНТЫ 2-ГО И БОЛЕЕ ВЫСОКОГО ПОРЯДКОВ ДЕФОРМАЦИЙ И НАПРЯЖЕНИЙ В ФАЗАХ КОМПОЗИТА

Введем в рассмотрение в локальной системе координат ξ для случая, когда ξ2 →ξ1 , осредненное поле

			1	N
	(σ) (ξ1	,ξ2 ) =		∑αβ( k ) σ( k ) (ξ1 )σ( k ) (ξ2 ) ,	(3.27)
K
K
			N k =1

которое является условным начальным моментом напряжений. Поле σ( k ) (ξ) в (3.27) связано с действительным полем напряжений σ(r) вглобальной системе координат r зависимостью

σ(k ) (ξ) = σ(r(k ) + α(k )ξ) ,

(3.28)

центр локальной системы координат ξ совмещен с центром k-го включения и задан через радиус-вектор r( k ) , α( k ) – коэффициент

подобия k-го включения, для совокупности которых выполняется равенство (1.5).

Двухточечный момент напряжений K (σ) (ξ1 , ξ2 ) (3.27) удовлетворяет уравнению

∂		(σ)	(ξ		, ξ		) = 0 ,	(3.29)
	K			1		2
∂ξ(n2)
	ijmn

так как выполняются уравнения равновесия


					∂	σ(mnk ) (ξ) = 0 .
						σ(mnk ) (ξ) = 0 .
					∂ξn
		Предположим, что существует связь вида
				ijmn(σ) (ξ1 , ξ2 ) = aijsq (ξ1 , ξ2 )				sqdb(ε)	(ξ1 , ξ2 )	(3.30)
			K	ijmn(σ) (ξ1 , ξ2 ) = aijsq (ξ1 , ξ2 )			K	sqdb(ε)	(ξ1 , ξ2 )	(3.30)
					mndb
через некоторое поле a(ξ1 ,ξ2 ) между									моментами	напряжений
		(σ) (ξ1 , ξ2 ) и деформаций
	K	(σ) (ξ1 , ξ2 ) и деформаций

156

			1	N
	(ε) (ξ1	,ξ2 ) =		∑αβ( k ) ε( k ) (ξ1 )ε( k ) (ξ2 ) ,	(3.31)
K
K
			N k =1

где поле ε( k ) (ξ) связано с действительным полем деформаций ε(r) в системе координат r зависимостью

ε(k ) (ξ) ≡ ε(r(k ) + α(k )ξ) ,

аналогичной (3.28). Cоотношения Коши малых деформаций

ε( k ) (ξ) = defu(k ) (ξ) ,

где оператор def обозначает операцию выделения симметричной составляющей из градиентов поля перемещений, позволяют представить момент напряжений K (σ) (ξ1 ,ξ2 ) (3.27) в виде

				∂2
K (σ) (ξ ,ξ ) = a			(ξ ,ξ )			K (u ) (ξ , ξ )		(3.32)
		mndb		∂ξq	∂ξb
	ijmn 1 2		1 2				sd 1 2
		ijsq		(1)	( 2)

через соответствующий момент перемещений

(u ) (ξ1 ,ξ2 ) =

∑αβ( k ) u( k ) (ξ1 )u( k ) (ξ2 ) .

(3.33)

N k =1

Поле u( k ) (ξ)

связано с действительным полем перемещений u(r)

в системе координат r зависимостью

u( k ) (ξ) =

[u(r( k ) + α( k ) ξ) − u(r( k ) )].

α( k )

Таким образом, после подстановки (3.30) в (3.29) приходим

к постановке краевой задачи

∂

(ξ

,ξ )

(u ) (ξ

,ξ

) = 0

(3.34)

∂ξn

∂ξq

∂ξb

mndb

sd 1

( 2)

ijsq

(1)

( 2)

157

с граничными условиями при ξ2 → ∞ вида

		sd(u ) =< εsq εdb > ξ(q1)ξb( 2)	(3.35)
	K

для рассматриваемого случая ξ1 → ξ2 . В (3.35) < εε > – безусловный момент деформаций для заданного тензора ε* однородной макро-

деформации композита.

От краевой задачи (3.34), (3.35) возможно перейти к постановке краевой задачи

∂								∂		2
	a		(ξ		, ξ		)						(ξ		, ξ		) = 0	(3.36)
		ijsq		1		2					U	sαβ		1		2
( 2)								(1)		( 2)	U
( 2)								(1)		( 2)
∂ξn		mndb						∂ξq	∂ξb			dϕψ

с граничными условиями при ξ2

→ ∞ вида

U sαβ = IsqαβIdbϕψξ(1)q ξb( 2)

(3.37)

dϕψ

относительно поля концентраций моментов перемещений

(ξ1 ,ξ2 ) ,

которое вводится разложением

sd(u ) (ξ1 , ξ2 ) =U sαβ (ξ1 , ξ2 ) < εαβεϕψ >.

(3.38)

dϕψ

В аналогичных разложениях моментов деформаций

(ε) (ξ1 , ξ2 )

(3.31) и напряжений

(σ) (ξ1 ,ξ2 )

(3.27)

sqdb(ε) (ξ1 , ξ2 ) =

sqαβ (ξ1 , ξ

2 ) < εαβεϕψ >,

(3.39)

dbϕψ

sqdb(σ) (ξ1 , ξ2 ) =

sqαβ (ξ1 , ξ

2 ) < εαβεϕψ >

(3.40)

dbϕψ

поля

(ξ1 , ξ2 ) и

(ξ1 ,ξ2 ) выражаются

sqαβ (ξ1 , ξ2 ) =U s )αβ,( q (ξ1 , ξ2 ) ,

(3.41)

dbϕψ

d )ϕψ,(b

158

		(ξ1 , ξ2 ) = aijsq
S	ijαβ	(ξ1 , ξ2 ) = aijsq	(ξ1 , ξ2 )U sαβ,q (ξ1 , ξ2 )		(3.42)
mnϕψ		mndb		dϕψ,b

через поле U(ξ1 ,ξ2 ) (3.38). Отметим, что искомый тензор концентраций

A( f ) ≡ A( ff ) (0)

(3.43)

моментов деформаций на фазах композита, входящий в выражение (3.7) для поля C*(2) (0) , может быть рассчитан по формуле

через поле E(ξ1 , ξ2 ) (3.39).

Для решения краевой задачи (3.34), (3.35) рассмотрим доказательство Леммы.

Лемма 3.1. Пусть f (x, y) – действительная функция, симметричная по своим аргументам:

f (x, y) = f (y, x)

(3.45)

и имеющая все непрерывные частные производные. Тогда выполняется равенство

∂f (x, y)

∂f (x, x) .

(3.46)

∂xn

∂xn y =x

Доказательство. Представим двухточечное поле f (x, y)

в виде

кратного ряда Тейлора по координатам вектора

y в окрестности

точки x

f (x, y) = f (x, x) +

∂f (x, y)

∆

∂2f (x, y)

∆

+ ... ,

∂y

(3.47)

y =x

159

где

∆i = yi − xi .

После дифференцирования ряда (3.47) по координатам xn получим

∂f (x, y) = ∂f (x, x) +

∂xn

∂

∂f (x, y)

∂

∆i

(3.48)

∂yi

∂xn

y =x

y =x ∂xn

∂

f (x, y)

∂

(∆i ∆j ) +...,

∆i

∆j

∂

2! ∂x

∂y

∂x

y =x

где

∂

∆i = −δin ,

∂xn

∂

(∆

∆

∂∆i ∆

+ ∆

∂∆ j

= −δ

∆

− ∆

∂x

Таким образом, предел (3.48) при ∆i → 0

имеет вид

∂f

(x, x)

(3.49)

∂f (x, y)

− ∂f (x, y)

∂xn

∂yn

y=x

или с учетом свойства симметрии (3.45) из равенства (3.49) получим соотношение (3.46). Лемма доказана. Например, для функции

f (x, y) = x 2 y 2

производные в левой и правой частях выражения (3.46) примут вид

160

<<< < Предыдущая 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1516 / 2616 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 > Следующая >>>

Соседние файлы в папке книги

#
12.11.202310.8 Mб16Методы принятия технических решений..pdf
#
12.11.2023934.93 Кб4Методы разработки и принятия управленческих решений, основанные на концепции опережающего управления..pdf
#
12.11.20234.29 Mб1Методы расчета ресурса работы элементов машин..pdf
#
12.11.20231.29 Mб1Методы решения жёстких и нежёстких краевых задач..pdf
#
12.11.202312.95 Mб2Методы решения некорректно поставленных задач Алгоритмический аспект..pdf
#
12.11.20234.75 Mб2Методы самосогласования механики композитов..pdf
#
19.11.202338.09 Mб0Методы статических испытаний армированных пластиков..pdf
#
12.11.20232.03 Mб3Методы строительства армогрунтовых конструкций..pdf
#
12.11.20233.89 Mб4Методы уплотнения грунтов. Выбор и расчёт оборудования.pdf
#
12.11.202314.86 Mб0Методы управления инновационными изменениями на предприятии..pdf
#
12.11.2023846.27 Кб2Методы управления тепло- и массообменными процессами..pdf