Рассмотрим в уравнении (4.26) выражение
1 |
N |
|
|
|
|
∑αβ( k+)g +1ρ( k ) (ξ)u((ak))i (ξ) , |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
N k =1 |
|
|
|
|
которое для случая ξ υ( f ) равно |
|
|
|
|
|
|
|
|
( f , g + 2) |
|
|
|
|
|
|
ρ( f )u( a )i |
|
|
|
и для случая ξ υ равно |
|
|
|
|
|
1 N F +1 |
(ξ)α( k ) |
ρ |
(ξ)u( a )i |
|
|
|
∑ |
∑ωf |
|
|
|
|
|
( k ) |
β+ g +1 ( k ) |
( f ,1) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
N k =1 f =1 |
|
|
|
|
или в виде
F +1
∑ ω(fβ+ g +1) (ξ)ρ( f )u((af),i1) , f =1
(4.27)
(4.28)
(4.29)
(4.30)
где u(( af,)g ) – осредненные по f-й фазе композита амплитуды перемещения
( f ,g ) |
|
1 |
|
|
( g ) |
|
|
|
|
|
|
|
u( a )i |
≡ |
|
∫ u( a )i |
(ξ)dξ, |
(4.31) |
|
|
|
υ( f ) υ( f ) |
|
|
которые рассчитываются через соответствующее осредненное поле
|
амплитуд перемещений |
|
((ag)) (ξ) |
(4.18), |
υ( f ) и υ( f ) |
– область и объем |
|
u |
|
|
|
|
|
|
|
F |
|
|
f-й фазы нормированного включения |
υ≡ Uυ( f ) , |
приведенное поле |
|
|
|
|
|
|
|
f =1 |
|
|
вероятностей p-го порядка |
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
N |
|
|
|
ω(f p ) (ξ) ≡ |
|
∑α(pk )ω(fk ) (ξ) , |
(4.32) |
|
|
|
|
|
|
N k =1 |
|
|
|
где аналогично (4.23) |
|
|
|
|
ω(fk ) (ξ) ≡ ωf |
(r( k ) + α( k )ξ) . |
(4.33) |
Таким образом, с учетом формул (4.27)–(4.33) и разложения
|
|
|
|
|
u((af),ig ) = U((af),ijg )u(*a) j |
|
|
|
|
|
|
|
(4.34) |
можем записать результат осреднения (4.27) в виде |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ρ |
U |
( f ,g +2)u* |
|
, |
|
ξ υ |
( f ) |
, |
|
|
1 N |
β+g +1 (k ) |
(k ) |
|
( f |
) |
(a)ij |
(a) j |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∑α(k ) |
ρ |
(ξ)u(a)i (ξ) = |
F +1 |
(β+g +1) |
|
|
( f ,1) |
* |
ξ υ. |
(4.35) |
|
|
|
|
|
N k =1 |
|
|
|
∑ωf |
|
(ξ)ρ( f )U(a)ij |
u(a) j , |
|
|
|
|
|
|
|
f =1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Выполняется вспомогательное соотношение |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
F +1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∑vf U((af ),1) = δ, |
|
|
|
|
|
|
|
(4.36) |
f =1
так как имеем равенство
F +1
∑vf u((af ),1) = u*(a)
f=1
сучетом разложения (4.34). Далее осредненное поле u((ag)) (ξ) (4.18) представим аналогично (4.35) в виде
u |
( g ) |
(ξ) = s( g ) |
(ξ)u* |
|
, |
(a)i |
|
|
ij |
(a) j |
|
где поле |
|
|
|
|
|
|
|
|
U((af ),g ) , |
|
|
ξ υ( f ) , |
s( g ) (ξ) ≡ F +1 |
(β+g −1) |
|
( f ,1) |
, |
ξ υ, |
∑ωf |
|
(ξ)U(a) |
f =1 |
|
|
|
|
|
|
для всех значений g = 0, 1, 2…
Таким образом, из формул (4.35), (4.37) и (4.38) следует искомое выражение для результата осреднения (4.27) в уравнении (4.26)
|
1 |
N |
|
|
∑αβ(k+)g +1ρ(k ) (ξ)u((ak))i (ξ) = ρij( g ) (ξ) |
u((ag))j (ξ) , |
(4.39) |
|
|
|
N k =1 |
|
где тензорное поле приведенных плотностей
|
|
|
|
ρ U ( f ,g +2)U ( f ,g )−1 |
, |
ξ υ |
( f ) |
, |
|
( g ) |
(ξ) ≡ |
F +1 |
|
( f ) (a)ip |
(a) pj |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ρij |
∑ω |
(fβ+g +1) (ξ)ρ( f )U((af),1)ip s(pjg )−1 (ξ), |
ξ υ, |
(4.40) |
|
|
f =1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
где s( g )−1 – тензор, обратный тензору s( g ) (4.38).
В результате приходим к локально-осредненным волновым
уравнениям |
|
|
|
|
|
|
|
∂ |
σ( g ) |
(ξ) +ω2ρ( g ) (ξ) |
u |
( g ) |
(ξ) = 0 |
(4.41) |
|
∂ξj |
|
(a)ij |
ij |
(a) j |
|
|
для осредненных полей (4.18) или в виде |
|
|
∂ |
|
|
|
∂ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
( g ) |
|
|
|
|
( g ) |
|
2 |
( g ) |
|
|
( g ) |
|
|
|
aijmn |
(ξ) |
|
u(a)m |
(ξ) |
+ω |
ρij |
(ξ)u(a) j |
(ξ) = 0 |
(4.42) |
|
∂ξn |
∂ξj |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
для различных значений g = 0, 1, 2, … |
|
|
Определим вид поля a( g ) (ξ) |
в уравнении (4.42) из соотношения |
σ( g ) |
(ξ) = a ( g ) |
(ξ)ε( g ) |
(ξ) . |
(4.43) |
(a)ij |
ijmn |
(a)mn |
|
|
Очевидно, что для случая ξ υ( f ) |
имеем равенство |
|
|
a( g ) =C( f ) |
|
(4.44) |
для всех значений g = 0, 1, 2…
Рассмотрим другой случай, когда ξ υ. Осредненные поля
(4.18) в предположении однородности амплитуд деформирования в фазах композита запишем в виде разложений
F +1
u((ag)) (ξ) = ∑ω(fβ+g ) (ξ)u((af ),0) , f =1
F +1 |
F +1 |
|
ε((ag)) (ξ) = ∑ ω(fβ+g ) (ξ)ε((af ),0) , |
σ((ag)) (ξ) = ∑ ω(fβ+g ) (ξ)σ((af ),0) , |
(4.45) |
f =1 |
f =1 |
|
где u(( af ),0) , ε((af ),0) и σ(( af ),0) – осредненные по области f-й фазы композита
амплитуды перемещений, деформаций и напряжений соответственно, которые могут быть рассчитаны по формулам
|
|
|
|
|
u(( af ),0) ≡ |
|
1 |
|
∫ |
|
((a0)) (ξ)dξ, |
|
|
|
|
|
|
|
|
u |
|
|
|
|
|
|
υ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
( f ) |
υ( f ) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ε(( af ),0) ≡ |
1 |
∫ ε((a0)) (ξ)dξ, σ |
(( af ),0) |
≡ |
1 |
|
∫ σ((a0)) (ξ)dξ |
(4.46) |
υ |
|
υ |
|
|
|
|
|
( f ) υ( f ) |
|
|
|
|
|
|
|
|
( f |
) υ( f ) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
через решения |
|
((a0)) (ξ) , ε((a0)) (ξ) и σ((a0)) (ξ) |
«нулевой» (g = 0) осредненной |
u |
задачи (4.42) с учетом зависимости |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
σ(( af ),ij0) |
= Cijmn( f ) ε(( af ),mn0) . |
|
|
|
Таким образом, с учетом разложения |
|
|
|
|
|
|
|
|
ε(( af ),ij0) = N((af),ijmn0) ε*( a ) mn |
|
|
|
(4.47) |
из формул
F+1
ε((ag))ij (ξ) = ∑ ω(fβ+g ) (ξ)N((af),ijmn0) ε*( a ) mn ,
f =1
(4.48)
F +1
σ((ag))ij (ξ) = ∑ ω(fβ+g ) (ξ)Cijdb( f ) N((af),dbmn0) ε*( a ) mn
f=1
сучетом (4.45) и (4.13), (4.19) следует вид искомого тензорного поля
a( g ) (ξ) в уравнении (4.42) для случая ξ υ
|
|
|
F +1 |
|
|
|
|
|
|
( g ) |
(ξ) = ∑ |
(β+g ) |
( f ) |
( f ,0) ( g ) −1 |
(ξ) , |
|
|
aijmn |
ωf |
(ξ)Cijdb |
N( a ) dbqp kqpmn |
|
|
|
f =1 |
|
|
|
|
где k( g ) −1 – тензор, обратный тензору |
|
|
|
|
|
|
F +1 |
|
|
|
|
|
k ( g ) (ξ) ≡ ∑ ω(fβ+g ) (ξ)N(( af ),0) . |
|
f =1
Отметим существование вспомогательных формул
|
F +1 |
|
|
|
∑v f N(( af ),0) = I , |
(4.51) |
|
f =1 |
|
|
|
F +1 |
|
|
|
∑ ω(f p ) (ξ) |
= η( p ) , |
(4.52) |
|
f =1 |
|
|
|
так как выполняется равенство |
|
|
|
F +1 |
|
|
|
∑ ωf (r) =1 ; |
(4.53) |
|
f =1 |
|
|
|
использованы обозначения для структурных коэффициентов |
|
|
|
1 |
|
N |
|
|
η( p ) ≡ |
∑α(pk ) , |
(4.54) |
|
|
|
|
N k =1 |
|
|
в частном случае |
|
|
|
|
η(β) |
≡1 |
|
с учетом равенства (1.5).
Таким образом, искомые поля a( g ) (ξ) в локально-осредненных волновых уравнениях (4.42)
|
|
|
|
Cijmn( f ) , |
|
ξ υ( f ) , |
|
( g ) |
|
|
|
|
|
|
(4.55) |
|
|
|
|
|
|
aijmn |
(ξ) = F +1 |
(β+g ) |
( f ) |
( f ,0) ( g )−1 |
(ξ), |
ξ |
|
|
∑ωf |
(ξ)Cijdb |
N(a )dbqp kqpmn |
υ. |
|
|
f =1 |
|
|
|
|
|
|
Отметим, что при значениях ξ , превышающих радиус корреляции случайной структуры композита, например при ξ → ∞, выполня-
ются равенства:
для приведенных полей вероятностей (4.32)
ω(f p ) = η( p )v f |
(4.56) |
и для осредненных полей деформирования (4.18)
|
( g ) = η |
|
u* |
, ε( g ) = η |
|
ε* |
, σ( g ) = η |
|
σ* |
. |
(4.57) |
u |
(β+g ) |
(β+g ) |
(β+g ) |
( a ) |
( a ) |
( a ) |
( a ) |
( a ) |
( a ) |
|
|
В результате приходим к системе (4.42) из бесконечной цепочки зацепляющихся локально-осредненных волновых уравнений. Если ограничиться рассмотрением лишь первых H +1 уравнений, тогда встает проблема замыкания этой новой системы. Для этого используем подход, апробированный ранее в главе 3. Воспользуемся предположением об однородности комплексных амплитуд перемещений
в пределах f-й фазы k-го включения u(( af ),k ) |
в области композита V |
и представим их суммой, например, степенного ряда |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
H |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
u((af),ik ) |
= ∑ α(−kg) nij( f ,−g )u(*a ) j . |
|
|
|
|
|
|
(4.58) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
g =0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Таким образом, система |
H +1 локально-осредненных волно- |
вых уравнений (4.42) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
aijmn |
(ξ) |
|
u(a )m |
(ξ) |
+ω ρij |
(ξ)u(a ) j (ξ) = 0, |
|
|
∂ |
|
|
(0) |
|
∂ |
|
|
|
(0) |
|
2 |
(0) |
|
|
|
|
|
(0) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∂ξj |
|
|
|
|
∂ξn |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
... |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
aijmn |
(ξ) |
|
u(a)m |
(ξ) |
+ω ρij |
(ξ)u(a ) j (ξ) = 0, |
|
|
|
|
(4.59) |
∂ |
|
|
|
( g ) |
|
∂ |
|
|
|
|
( g ) |
|
2 |
( g ) |
|
|
|
|
|
|
( g ) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∂ξj |
|
|
|
|
∂ξn |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
... |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∂ |
|
|
( H ) |
|
∂ |
|
|
|
|
( H ) |
|
2 |
( H ) |
|
|
|
|
|
|
( H ) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
aijmn |
(ξ) |
|
u(a)m |
(ξ) |
+ ω ρij |
|
(ξ)u(a ) j (ξ) = 0 |
|
∂ξj |
∂ξn |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
для значений g = 0, H может быть дополнена недостающими зависимостями
H |
|
U(( af,)g ) = ∑η(β+g −1−τ)n( f ,−τ) . |
(4.60) |
τ=0
Частные случаи. Когда задан разброс размеров включений, тогда в локально-осредненных волновых уравнениях (4.59) имеем
ρ( g ) (ξ) ≠ ρ , |
(4.61) |
даже если плотности ρ( f ) всех |
F +1 фаз композита равны между |
собой: |
|
|
|
|
ρ( f ) = ρ |
f = |
|
|
|
1, F +1 . |
(4.62) |
Число H +1 локально-осредненных |
волновых уравнений |
в системе (4.59) равно числу членов ряда в разложении (4.58). Например, пусть H = 1, тогда имеем
|
|
|
|
(0) |
|
∂ |
|
|
(0) |
|
2 (0) |
|
|
|
|
(0) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
aijmn |
(ξ) |
|
u(a )m |
(ξ) |
+ ω ρij |
(ξ)u(a ) j |
(ξ) = 0, |
|
∂ξn |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(1) |
|
∂ |
|
|
|
|
(1) |
|
2 (1) |
|
|
(1) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
aijmn |
(ξ) |
|
u(a)m |
(ξ) |
+ ω ρij |
(ξ)u(a) j |
(ξ) = 0, |
|
∂ξn |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(4.63) |
U( f ,1) |
= η |
n( f ,0) + η |
|
n( f ,−1) |
, |
(a) |
(β) |
|
|
n( f ,0) |
(β−1) |
n( f ,−1) |
|
U( f ,2) = η |
|
|
+ η |
|
, |
(a ) |
(β+1) |
|
+ η |
(β) |
|
n( f ,−1) , |
U( f ,3) |
= η |
|
n( f ,0) |
|
|
(a ) |
(β+2) |
|
|
(β+1) |
|
|
где поля плотностей ρ(0) (ξ) и ρ(1) (ξ) рассчитываются по формулам
(4.40) через тензоры U(( af ),0) , U(( af ),1) , U(( af ),2) и U(( af ),3) , входящие в систему
(4.63); поля |
|
(0) (ξ) |
и |
|
(1) (ξ) рассчитываются |
по формуле (4.55) |
a |
a |
с учетом равенства |
|
|
|
|
|
|
1 |
∫ |
u((a0)() i, j ) (ξ)dξ = N((af),ijmn0) ε*( a ) mn . |
(4.64) |
|
|
|
υ |
|
|
|
|
( f ) υ( f ) |
|
|
|
|
|
|
Когда все включения в композите одного размера и плотности всех F +1 фаз композита различны, тогда выполняются равенства
и из системы (4.59) локально-осредненных волновых уравнений остается лишь одно нулевое волновое уравнение
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∂ |
|
(0) |
|
|
∂ |
|
(0) |
|
|
2 |
(0) |
|
|
(0) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
aijmn |
(ξ) |
|
|
|
u( a ) m |
(ξ) |
+ ω |
ρij |
|
(ξ)u( a ) j |
(ξ) = 0 , |
(4.66) |
|
∂ξj |
|
∂ξn |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
где поле плотностей (4.40) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ρ( f ) , |
|
|
|
|
|
|
ξ υ( f ) , |
|
(0) |
(ξ) = |
F +1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ρij |
∑ωf |
(ξ)ρ( f )U((af),0)ip s(0)pj |
−1 (ξ), |
|
ξ υ, |
(4.67) |
|
|
|
|
|
|
f =1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
с учетом равенства (4.38) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
F +1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
s(0) (ξ) = ∑ ωf |
(ξ)U(( af ),0) . |
|
|
(4.68) |
f =1
Если дополнительно к условиям (4.65) известно, что плотности ρ( f ) всех фаз композита равны величине ρ (4.62), тогда локаль- но-осредненное волновое уравнение (4.66) преобразуется к виду
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∂ |
|
(0) |
|
|
∂ |
|
|
(0) |
|
|
2 |
|
|
(0) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
aijmn |
(ξ) |
|
|
|
u( a ) m |
(ξ) |
+ ω |
ρu( a ) j |
(ξ) = 0 , |
|
|
∂ξn |
|
∂ξj |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
поле упpугих свойств котоpой |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ijmn(0) (ξ) = [αM (ξ)CijqpM + |
|
|
|
|
|
|
|
|
a |
|
|
|
F |
( f ) |
|
|
|
|
|
|
M |
|
|
( f ,0) |
(0)−1 |
(ξ), |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
+∑(αf (ξ)Cijdb |
|
−αM (ξ)Cijdb ) v f |
N(a )dbqp |
kqpmn |
f =1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
где стpуктуpные функции
αf |
(ξ) ≡ |
ω(f |
0) (ξ) |
, |
αM |
(ξ) ≡ |
1 − ω(0) (ξ) |
(4.71) |
|
|
1 −vo |
|
|
v f |
|
|
|
учитывают ближний поpядок взаимного pасположения включений чеpез
|
|
F |
|
осpедненные индикатоpные функции ω(f |
0) (ξ) (4.32) и ω(ξ) ≡ ∑ ω(f |
0) (ξ) . |
|
|
f =1 |
|
В (4.70) k (0)−1 – тензор, обратный тензору |
|
|
k (0) (ξ) = αM (ξ)I + ∑F (αf (ξ) − αM (ξ))v f N(( af ),0) |
(4.72) |
f =1 |
|
|
|
с учетом (4.50) и (4.51).
Pасчетная схема осpедненной задачи (4.69) – дифpакция пpодольной и попеpечной волн, падающих на pасположенное в сpеде с искомыми динамическими эффективными упpугими свойствами одиночное F-фазное составное включение, окpуженное пеpеходным слоем с неодноpодными упpугими свойствами.
Однонапpавленный волокнистый композит. Pассмотpим pаспpос-
тpанение пpодольных и попеpечных гаpмонических волн в плоскости изотpопии r1Or2 однонапpавленного волокнистого композита в услови-
ях плоской дефоpмации. В этом случае на макpоуpовне композита в точке r имеем
u* (r,t) = gradΦ* (r,t) + rote3Ψ* (r,t) , |
|
где e3 – единичный базисный вектоp кооpдинатной оси r3 , |
скаляp- |
ные волновые потенциалы |
|
Φ* (r,t) = Φ* (r1 , r2 )e−iωt , Ψ* (r,t) = Ψ* (r1 , r2 )e−iωt |
|
удовлетвоpяют уpавнениям |
|
∆Φ* + α*2Φ* = 0 , ∆Ψ* +β*2Ψ* = 0 . |
(4.73) |
Пpодольная волна. Напpимеp, когда на макpоуpовне композита вдоль оси r1 pаспpостpаняется пpодольная волна, тогда волновые потенциалы
Φ* = A*eiα* r1 e−iωt , Ψ* = 0 ; |
(4.74) |
поле пеpемещений |
|
|
|
|
u* (r,t) = |
∂Φ* |
= A*iα*eiα*r1 e−iωt , |
1 |
|
∂r1 |
|
|
|
|
|
|
дефоpмаций |
|
|
|
|
ε* (r,t) = |
∂u1* (r,t) |
= −A*α*2eiα* r1 e−iωt |
|
11 |
|
∂r1 |
|
|
|
|
|
|
и выполняются pавенства
u2* = ε*22 = ε12* = ε*21 = 0 . |
(4.77) |
Таким обpазом, из pазложений (4.2) вида
u1* (r,t) = u(*a )1 (r)e-iωt , ε11* (r,t) = ε*( a )11 (r)e-iωt
и фоpмул (4.75)–(4.77) получим выpажения для ненулевых комплексных амплитуд пеpемещений
|
u(*a )1 (r) = A*iα*eiα*r1 |
|
(4.78) |
и дефоpмаций |
|
|
|
|
|
|
|
|
ε |
* |
* |
α |
*2 |
e |
iα* r1 |
. |
(4.79) |
( a )11 |
(r) = −A |
|
|
Попеpечная волна. В дpугом случае, когда на макpоуpовне композита вдоль оси r1 pаспpостpаняется попеpечная волна, волновые потенциалы
Φ* = 0 , Ψ* |
= B*eiβ* r1 e−iωt , |
|
(4.80) |
поле пеpемещений |
|
|
|
|
|
|
u2* (r, t) = − |
∂Ψ* |
= −B*iβ*e |
iβ*r |
e |
−iωt , |
(4.81) |
|
1 |
∂r |
|
|
1 |
|
|
|
|
|
