книги / Методы самосогласования механики композитов

узле решетки, тогда выполняется равенство относительных объемных концентраций v1 и v2 волокон каждого типа:

v1 = v2 = 0,5vo .

На рис. 1.7, а представлена периодическая гибридная структура, наиболее близкая к случайной структуре, рассматриваемой на рис. 1.7, б.

Рис. 1.7. Фрагментыпериодической (а) иреализациислучайной(б) гибридныхструктур; 1, 2 – волокнадвухтиповвматрице(3)

На рис. 1.8 представлены модели гибридных структур: сферопластик со сферическими порами (см. рис. 1.8, а) и однонаправленный волокнистый композит с порами на межфазных поверхностях

(см. рис. 1.8, б, в).

Рис. 1.8. Модели гибридных структур для сферопластика со сферическими порами (а) и однонаправленного волокнистого композита (б) с порами намежфазных поверхностях(в); 1 – ячейка, 2 – упругоевключение, 3 – пора

31

Модель случайной структуры (см. рис. 1.8, а) основана на гексагональной плотно упакованной укладке сферических ячеек 1; вероятность появления свободных от включений 2 ячеек рассчитывалась через заданные величины относительного объемного содержания сферических упругих включений v1 и пор v2 3 в композите

при минимальной гарантированной прослойке между включениями в 2 % от радиуса ячейки. Все упругие включения имеют одинаковые размеры и без смещений внутри ячеек. Дополнительно задавали коэффициент вариации κα коэффициента подобия α размеров пор и случайные максимально возможные по величине и без преобладающих ориентаций смещения пор внутри соответствующих ячеек. Максимальные размеры пор равны размерам упругих включений.

Волокна в случайной структуре на рис. 1.8, б, в расположены аналогично волокнам в структуре типа II на рис. 1.4, б с минимальной гарантированной прослойкой матрицы между волокнами в 4 % от радиуса волокна r(1) = rυ . В плоскости r1Or2 кольцевая окрестность

стекловолокон толщиной 0,01 rυ была аппроксимирована совокупно-

стью непересекающихся квадратных микроячеек, в каждой из которых независимо от реализаций в других микроячейках с вероятностью po расположена вписанная в нее цилиндрическая пора. Отно-

сительное объемное содержание таких цилиндрических микропор v2 может быть рассчитано по формуле

цилиндрических пор r(2) и волокон r(1) . Для исследуемых значений

32

Глава 2

ОБОБЩЕННЫЙ МЕТОД САМОСОГЛАСОВАНИЯ

2.1. РЕШЕНИЕ ТЕСТОВЫХ ЗАДАЧ И АНАЛИЗ ТОЧНОСТИ МЕТОДА

Рассмотрим вычисление обобщенным методом самосогласования напряженно-деформированного состояния фаз и тензоров эффективных упругих свойств C* композитов с широким спектром случайных структур на основе решения стохастической краевой задачи теории упругости для представительной области композита V с полем упругих свойств C(r) [6, 21, 60, 66]:

относительно поля перемещений u(r) при заданных на удалении от начала координат условиях

соответствующих однородной макродеформации ε* области V

(1.12)–(1.16).

2.1.1. Слоистый композит

Пусть композит образован из однородных изотропных слоев двух типов: с упругими свойствами C(1) , C( 2) и относительными объ-

емными содержаниями v1 , v2 =1 −v1 . Поле упругих свойств композита C(r3 ) , которое будет функцией лишь координаты r3 , представим

2

разложением C(r3 ) = ∑ωf (r3 )C( f ) через поля индикаторных функций

f =1

35

Рассмотрим, например, вычисление деформаций ε(1) и ε( 2)

в слоях 1-го и 2-го типов в рассматриваемом слоистом композите. Тензор макродеформаций композита задан и может быть представлен суммой

в представительной области композита V. Глобальная r3 и локальная ξ3 координаты произвольной точки k-го слоя из представительной области композита V связаны соотношением r3 = r( k )3 + ξ( k )3 , где r( k )3 – координата центра k-го слоя в глобальной системе координат

С учетом обобщенного закона Гука для слоев композита поле напряжений в (2.2) запишем в виде

f =1

36

Поле ε( k ) (ξ3 ) удовлетворяет уравнениям совместности дефор-

маций, поле σ( k ) (ξ3 ) – уравнениям равновесия, следовательно, этим

уравнениям будут удовлетворять в локальной системе координат поля ε( k ) (ξ3 ) , σ( k ) (ξ3 ) и осредненные поля

в силу суперпозиции полей соответственно. Осредненные поля деформаций и напряжений в (2.4) преобразуем к виду

с учетом разложений (2.2), где приведенные поля вероятностей слоев f-го типа

Для значений ξ3 , превышающих радиус корреляции в случайном расположении слоев, имеем равенства: ε = ε* , σ = σ* , при

этом тензоры макродеформаций ε* и макронапряжений σ* связаны через тензор эффективных упругих свойств композита σ*ij = Cijmn* ε*mn .

В общем случае осредненные поля деформаций и напряжений связаны между собой

где k −1 – тензор, обратный

37

f =1

тензоры концентраций деформаций на слоях N( f ) введены разложениями

и связаны между собой равенством

с учетом (2.1), где I – единичный тензор [66]. Для рассматриваемого слоистого композита отличными от нуля являются следующие

1-й и 2-й пар индексов. Таким образом, ненулевыми компонентами тензора k −1 (2.8) будут являться

рассчитываются через соответствующие компоненты тензоров концентраций деформаций на слоях (2.8), (2.9).

38

В результате становится возможным переход к постановке краевой задачи вида

39

и с учетом симметрии внутри 1-й и 2-й пар индексов

f=1

ис учетом симметрии внутри 1-й и 2-й пар индексов

2

k1212(σ) (ξ3 ) = ∑ ωf (ξ3 )C1212( f ) , f =1

2

k1313(σ) (ξ3 ) = k2323(σ) (ξ3 ) = 2∑ ωf (ξ3 )C1313( f ) N1313( f ) . f =1

На основе pешения u(ξ) краевой задачи (2.14), (2.15) при ξ υ (или ξ = 0 для рассматриваемого случая) возможно определить деформации слоев 1-го типа εij(1) = u(i, j ) и найти выpажения для компонент тензоpа концентраций деформаций на слоях 1-го типа

40