книги / Методы самосогласования механики композитов

Рис. 2.1. Расчетная область (a): 1, 2 – фазы составного сферического включения, 3 – переходный дискретизированный слой и 4 – однородная cреда, сферическая система координат (б)

51

nKf и nGf – коэффициенты разложения тензора N( f ) на объемную и девиаторную составляющие,

N( f ) = nKf V + nGf D .

Расположение i-го сферического слоя характеризуется внутренним r(i−1) и внешним r(i ) радиусами концентрических сфериче-

ских поверхностей; использованы обозначение r(0) = 0 и соотноше-

ние r( N ) >> r( N −1) . Сферические слои при i =1, F соответствуют фазам

составного включения, значения i = F +1, N −1 соответствуют дискретизации переходного слоя на N − F −1 тонких слоев. Значения осредненных функций ωf (i ) и ω(i ) определялись для средней по тол-

щине i-го слоя точки.

Всестороннее растяжение. Пусть тензор однородной макродеформации композита ε* задан в виде

ε* = 1 ε* δ , 3 V

где εV* – величина относительного изменения объема композита; тензор макронапряжений σ* = σV* δ, где константы σV* и εV* cвязаны зависимостью σV* = K *εV* через эффективный объемный модуль

композита K *.

Общие решения для осредненных полей деформирования каждого i-го слоя известны [19]:

a) для перемещений

52

б) для деформаций

Относительное изменение объема εV(i ) i-го сферического слоя может быть рассчитано по формуле

εV(i ) ≡ εξξ(i ) (ξ) + εθθ(i ) (ξ) + ε(i ) (ξ) = 3B1(i ) ,

акоэффициенты концентраций nKf осредненных объемных деформаций на каждой f-й фазе составного включения

53

Таким образом, решение осредненной задачи для композита с составными сферическими включениями сводится к решению системы алгебраических уравнений

[A]{X} = {B},

где параметр i2 = i1 +1 .

Равенство нулю константы B2(1) и условия нагружения на удаленном от начала координат контуре r( N ) учитываем через значения компонент

54

Остальные компоненты матриц [A] и {B} равны нулю. Искомые коэффициенты B1(i ) и B2(i ) cвязаны с компонентами {X} соотношениями B1(i ) = X (2i) и B2(i ) = X (2i −1) , где параметр i =1, N .

Сдвиг. Пусть тензор однородной макродеформации композита ε* задан в виде

ε11* = −ε*22 ≡ γ* ,

2

где γ* – величина угловой деформации композита, остальные компоненты ε*ij = 0; ненулевые компоненты тензора макронапряжений

σ11* = −σ*22 ≡ τ* ,

константы τ* и γ* связаны зависимостью τ* = G* γ* через эффектив-

ный модуль сдвига композита G*.

Общие решения для полей деформирования каждого i-го слоя известны [19]:

a) для перемещений

uξ(i ) (ξ) =U ξ(i ) sin 2 θcos 2φ ,

uθ(i ) (ξ) = 1 U θ(i ) sin 2θcos 2φ , 2

uφ(i ) (ξ) = −U θ(i ) sin θsin 2φ ;

б) для деформаций

εϕϕ(i ) (ξ) = 1ξ (Uθ(i ) (cos2 θ− 2)+Uξ(i ) sin 2 θ)cos 2ϕ ,

55

56

здесь A1(i ) , ..., A4(i ) – константы интегрирования. Использованы дополнительные обозначения:

где ν(i ) – коэффициент Пуассона i-го слоя,

57

Коэффициенты концентраций nGf осредненных сдвиговых

деформаций на каждой f-й фазе составного включения могут быть рассчитаны по формуле

Таким образом, решение осредненной задачи сводится к системе алгебраических уравнений

[A]{X} = {B},

где [A] – несимметричная матрица 4N ×4N ленточного типа. Рассмотрим компоненты матриц [A] и {B}.

Пусть параметр i =1, N −1, тогда из условия непрерывности перемещений на сферической поверхности радиуса r(i ) получим

58

A(i2 , j1 + 4) = −r(i ) , A(i2 , j1 +5) = κ3(i+1) r(3i ) ,

где параметр i2 = i1 +1 ; аналогично, из условия непрерывности