книги / Методы самосогласования механики композитов

Таблица 2.15

Эффективные объемный модуль плоской деформации k12* и модуль сдвига G12* композита с волокнистой гибридной структурой

Влияние на эффективные свойства межфазных цилиндрических пор в однонаправленном волокнистом композите. Рассмотрим воз-

можность применения обобщенного метода самосогласования не только к традиционным композитам с гибридным армированием, но и к анализу влияния дефектов реальных структур композитов, например, межфазных пор на эффективные упругие свойства однонаправленного волокнистого стеклопластика (см. рис. 1.8, б, в). Модули Юнга и коэффициенты Пуассона изотропных матрицы и волокон стек-

лопластика: EM = 3,45 ГПа, νM = 0,35 и E(1) = 73,10 ГПа, ν(1) = 0,22 [59].

131

Результаты расчета эффективного объемного модуля плоской деформации k12* и модуля сдвига G12* в плоскости изотропии r1Or2 композита при различных значениях относительного объемного содержания стекловолокон v1 представлены в табл. 2.16, через I–V обо-

значеныструктурысозначениямипористости po = 0,2(n −1) при n =1,5 соответственно. Эффективные упругие модули Юнга E3* и E1* , коэффициенты Пуассона ν12* и ν13* были рассчитаны на основе точных соотношений (2.56) [62] через соответствующие значения k12* и G12* и приведены на рис. 2.16 в сравнении с известными экспериментальными данными [59] и границами Хашина– Розена [19] для модуля Юнга E1* однонаправленного волокнистого стеклопластика. Нарис. 2.16 экспериментальные точки для модуля Юнга E1* , лежащие внутри границ Хашина– Розена, обозначены (• ), а точки вне границ – (). На рис. 2.16, б, в

совпадающие решения для структур I, II и III обозначены , для IV и V – . На рис. 2.16, а все рассматриваемые решения для продольного модуляЮнга E3* близкиклинейнойзависимости.

Таблица 2.16

Эффективные модули стеклопластика с межфазной пористостостью

132

Таким образом, межфазная пористость в образцах однонаправленного волокнистого стеклопластика может обусловливать значительный разброс экспериментальных значений эффективных упругих ха-

рактеристик, например, модуля Юнга E1* композита и возможный вы-

ход некоторых экспериментальных точек за границы Хашина – Розена теоретически допустимых значений для эффективных упругих характеристик идеального без пор стеклопластика.

Влияние на эффективные свойства сферических пор в матрице сферопластика. Результаты расчета обобщенным методом самосогласования эффективных объемного модуля K* и модуля сдвига G* композита для моделей структур типа I на рис. 1.3, б (q = 0) при относительном объемном содержании пор v2 = 0 и структур типа II на рис. 1.8, а при v2 = 0,2 (коэффициент вариации κα равен 0 (II1) и 0,08 (II2)) представле-

ны в табл. 2.17. Значения модуля Юнга E и коэффициента Пуассона ν изотропных упругих свойств жестких включений и пор были заданы соответственно: E(1) = 100 EM , ν(1) = 0,2 и E( 2) = 0 ГПа, ν( 2) = 0; EM = 3,75 ГПа, νM = 0,4 – модуль Юнга и коэффициент Пуассона изотропной эпоксидной матрицы. Дополнительно в табл. 2.17 пред-

134

Окончание табл. 2.17

приведенных полей вероятностей ωt( d ) (ξ) (1.60) и (1.61) соответственно. Значения k−* , g−* и k+* , g+* – границы Хашина – Штрикмана для макроизотропной трехфазной cреды [66] для нормированных мо-

постоянных аппроксимаций (1.60) и (1.61) тождественны решениям известных методов самосогласования, например [18], для гибридных структур.

2.5. ПРОСТРАНСТВЕННО-АРМИРОВАННЫЕ КОМПОЗИТЫ

Пусть случайная пространственная волокнистая структура обладает свойствами статистической однородности и эргодичности и задана соответствующей представительной реализацией этой случайной структуры в некоторой области V с границей Γ (рис. 2.17, а). Волокна композита имеют заданные вариации размеров радиусов круглых поперечных сечений и ориентированы по H геометрически различным, но статистически эквивалентным пространственным направлениям; d( g ) – единичный направляющий вектор g-го направле-

ния, g =1,H . Упругие свойства трансверсально-изотропных волокон

135

где между компонентами тензоров концентраций осредненных

здесь v° – относительное объемное содержание волокон в композите,

I – единичный тензор; осредненные деформации по волокнам g-й ориентации и по матрице определяются по соответствующим формулам:

через тензор ε* заданной однородной макродеформации композита. Таким образом, из формул (2.211) и (2.212) следует, что задача

прогнозирования тензора эффективных упругих свойств

137

совпадает с направлением координатной оси r3 , тогда коэффициенты n( p ) разложения (2.216) могут быть рассчитаны через независимые компоненты тензора N(1) по формулам

N3333(1) = n( 4) =1 ,

N1212(1) = n(5) ,

N1313(1) = n(6) ;

формула для расчета тензора эффективных упругих свойств C* (2.214) примет вид

138

через решение для поля деформаций ε краевой задачи теории упругости (2.39), (2.40) с полем упругих свойств С(r) в области V

для заданного тензора ε* – однородной макродеформации композита V; V1 – область волокон 1-й ориентации в области V, σ(r) и u(r) –

139

Пусть коэффициенты подобия α( k ) размеров радиусов попе-

речных сечений волокон 1-й ориентации в области V заданы относительно размеров нормированного волокна этой ориентации, объем υ(1) области υ(1) которого равен среднему арифметическому объему

всех N волокон 1-й ориентации в области V, тогда в формуле (2.219) суммарный объем волокон V1 и элементарный объем dv((1k)) произ-

вольного k-го волокна 1-й ориентации из области V могут быть выражены через величины υ(1) и dυ(1) cоотношениями V1 = Nυ(1) ,

dv((1k)) = α(2k ) dυ(1) .

Обозначим через ω( g ) (ξ) , ω(ξ) , σ(ξ) и ε(ξ) осредненные по-

ля, определенные по соответствующим функциям ω( g ) (r) , ω(r) ,

σ(r) и ε(r) . Например, приведенные поля вероятностей ω( g ) (ξ) рас-

считываются через функции ω( g ) (r) по формуле

где r( k ) – координаты в плоскости r1Or2 центра кругового сечения k-го волокна 1-й ориентации, центр локальной системы координат ξ cовмещен с центром кругового сечения в плоскости r1Or2 нормированного волокна υ(1) . Локально-осредненные поля ω(ξ) , σ(ξ) и ε(ξ) вводятся аналогично (2.220). Оператор осреднения взят в виде (2.220), чтобы искомые осредненные деформации ε(1) (2.219) можно было найти через дополнительное осреднение

и чтобы осредненные поля σ(ξ) и ε(ξ) удовлетворяли соответственно уравнениям равновесия и уравнениям совместности деформаций.

140