книги / Методы самосогласования механики композитов

для плоской задачи аналогично (3.168) и (3.169). Искомые коэффици-

задачи (3.171), (3.172) по формулам

∫~II( n) ξ ξ

ui ,i ( )d

3.3.МОДЕЛИРОВАНИЕ ПОВРЕЖДЕНИЙ ВКЛЮЧЕНИЙ

ИМЕЖФАЗНЫХ ПОВЕРХНОСТЕЙ

Построение нелинейных на макроуровне диаграмм деформирования композита с учетом накопления повреждений включений и межфазных поверхностей можно осуществить через расчет эффективных упругих свойств композита на каждом шаге его нагружения с учетом накопленных к этому шагу повреждений структуры. На рис. 3.5, а представлен пример типичной реализации расположения зон повреждений внутри (1) и на межфазной поверхности (2) нормированного включения композита: неповрежденная υ(1) (1) и по-

2

врежденная υ(2) (2) подобласти волокна υ = Uυ( f ) , межфазные по-

f =1

вреждения (3) υ(3) υc возникают в некоторой тонкой кольцевой области υc адгезионного слоя вокруг включения, υ(4) = υc \ υ(3) – непо-

врежденная область адгезионного слоя. Композит рассматриваем как 5-фазную среду, каждая фаза характеризуется своим тензором уп-

ругих свойств C( f ) , f =1,5 и статистически однородным распре-

191

делением: 1 и 2-я фазы – в области включения, 3 и 4-я фазы – в адгезионном слое, включения в целом – в 5-й фазе или матрице. На рис. 3.5, б – г приведена качественная модель кинетики накопления повреждений: от неповрежденной структуры (см. рис. 3.5, б) со случайным расположением волокон в плоскости r1Or2 , с образова-

нием зон разупрочнения (см. рис. 3.5, в, г) и последующего появления и роста повреждений в адгезионном слое волокон (см. рис. 3.5, г) при пошаговом нагружении композита на макроуровне.

Рис. 3.5. Повреждения внутри (2) и в адгезионном слое (3) включения (а), 1 – неповрежденная область: исходная структура (а), с повреждением включений (б) и адгезионного слоя (г)

Рассмотрим решение задачи расчета эффективных упругих свойств композита на каждом шаге нагружения через заданные значения относительного объемного содержания включений vo , индикаторные функции распределения по представительному объему V всех фаз композита: ω1 (r) и ω2 (r) – индикаторные функции непо-

врежденной и поврежденной зон включения, ω3 (r) и ω4 (r) – инди-

192

каторные функции неповрежденной и поврежденной зон адгезионно-

4

го слоя включения, ωM (r) =1 −∑ωf (r) – индикаторная функция

f =1

матрицы. Пусть включения имеют, в общем, случайные размеры и расположение в объеме композита V. При этом неповрежденная область v1( k ) k-го включения размещена внутри соответствующей об-

ласти v( k ) k-го включения с адгезионным слоем, где k =1, N , N – число

включений в представительной области композита V. Статистический разброс размеров включений с адгезионным слоем задан через коэффициенты подобия α( k ) , объем k-го включения

где показатель степени β = 2 для однонаправленного волокнистого композита и β = 3 – для гранулированного композита, υ – объем области υ. Пусть объем неповрежденной области k-го включения v1( k )

пропорционален объему v(k ) (3.177). Следовательно, для всех k =1, N будет выполняться равенство

аналогичное (3.177), и в (3.178) величина нормированного объема неповрежденной области нормированного включения не будет зависеть от конкретного значения k:

где ω1( k ) (ξ) – индикаторная функция в локальной системе координат k-го включения,

ω1( k ) (ξ) ≡ ω1( k ) (r( k ) + α( k )ξ) .

193

Равенство (3.178) следует из последовательности разложений

с учетом обозначения (3.179). Величина v(1) в (3.178) – среднеариф-

метический объем от объемов всех N неповрежденных областей включений композита

v(1) = V1 ,

N

так как суммарный объем V1 неповрежденных областей всех включений композита вычисляется по формуле

Искомый тензор C* эффективных упругих свойств композита с повреждениями включений и их межфазных поверхностей рассчитывается по формуле

на областях неповрежденных и поврежденных фаз включений и адгезионных слоев композита, тензоры разностей C( f ) ≡ C( f ) −CM ,

где C(1) , ..., C(4) и CM – тензоры упругих свойств фаз включений, фаз

адгезионных слоев и матрицы композита, ε* – тензор однородной

194

макродеформации композита. Следовательно, расчет тензора эффективных упругих свойств C* (3.181) композита с повреждениями включений и адгезионных слоев сводится к нахождению тензоров N( f )

(3.182) концентраций осредненных деформаций на 1, …, 4-й фазах композита: на неповрежденных и поврежденных областях во включениях и в адгезионных слоях.

Для определения тензоров N(1) и N( 2) осредненные деформа-

ции εf в формуле (3.182) представим в виде

195

ипредставления величины суммарного объема неповрежденной (f = 1)

иповрежденной (f = 2) областей включений в композите в виде

υ

где приведенное поле вероятностей

Поля εfξ (ξ) (3.184) в формуле (3.183) могут быть рассчитаны через осредненные в локальных координатах ξ поля напряжений

Из решения системы (3.186) возможно получить выражения для условных моментов деформаций в локальной точке ξ:

196

В результате на основе формул (3.183), (3.187) и (3.188) могут быть рассчитаны осредненные по неповрежденной V1 (f = 1) и поврежденной V2 (f = 2) областям включений композита деформации ε(1) и ε(2) по формулам

υ

соответственно.

Аналогично схеме расчета (3.183)–(3.190) могут быть рассчитаны осредненные по поврежденной V3 (f = 3) и неповрежденной V4 (f = 4) областям адгезионных слоев композита деформации:

υc

197

онных слоев через вычисление тензоров N( f ) (3.182) концентраций

осредненных деформаций ε( f ) для f =1,4 (3.189)–(3.192) сводится к определению осредненных в локальных координатах ξ полей напряжений σ(ξ) и деформаций ε(ξ) .

Постановка локально-осредненной краевой задачи обобщенного метода самосогласования для нахождения искомых полей σ(ξ) ,

ε(ξ) через соответствующее осредненное поле перемещений u(ξ) аналогична рассмотренным ранее (глава 2) и имеет вид

где k −1 – тензор, обратный тензору

k(ξ) = αM (ξ)I + ∑4 (α( f ) (ξ) −αM (ξ))v f N( f ) ,

f =1

структурные функции

f =1

198

рассчитываются через приведенные поля вероятностей ωf (ξ) и учи-

тывают особенности случайного распределения поврежденностей включений и адгезионных слоев в объеме композита.

Отметим, что для оценки вероятности разрушения pa адгезионного слоя включения, например, по критерию достижения радиальными напряжениями своих предельных значений, необходимо выразить поля компонент радиальных напряжений σ4rrξ (ξ) в неповрежденной

области υ(4) этого слоя (в поврежденной области υ(3) имеем σrr = 0 ) через поля σ(ξ) , ε(ξ) аналогично выражениям (3.189)–(3.192). Рас-

смотрим необходимые преобразования, например, для однонаправленного волокнистого композита.

Так как при ξ υ(4) имеем равенства

σrr (ξ) = ω3 (ξ)σ3rrξ (ξ) + (1 − ω3 (ξ))σ4rrξ (ξ) , σφφ (ξ) = ω3 (ξ)σ3φφξ (ξ) + (1 − ω3 (ξ))σφφ4ξ (ξ) ,

εrr (ξ) = ω3 (ξ)ε3rrξ (ξ) + (1 − ω3 (ξ))ε4rrξ (ξ) ,

εφφ (ξ) = ω3 (ξ)ε3φφξ (ξ) +(1 − ω3 (ξ))εφφ4ξ (ξ) ,

из совместного решения которых с учетом обобщенного закона Гука для 3-й и 4-й фаз возможно выразить искомое поле радиальных напряжений σ4rrξ (ξ) в неповрежденной области υ(4) адгезионного слоя

волокон через компоненты осредненных полей напряжений σrr (ξ) ,

199

a = σrr (ξ) − σ (ξ) −(2c66(3) (εrr (ξ)) − ε (ξ))

2ω4 (ξ) c66( 4) −c66(3)

с использованием матричных обозначений c( f ) [66] и учетом изотропии

упругих свойств c11 = k12 +G12 , c12 = k12 −G12 , где k12 и G12 – объемный модуль плоской деформации имодуль сдвига.

Численный расчет. Рассмотрим частный случай, когда в плоскости r1Or2 граница между 1-й и 2-й фазами волокна – это окруж-

ность радиуса r(1) и значение коэффициента q = r(1) r( 2) – величина постоянная для всех волокон композита, где r( 2) – радиус внешней

границы поперечного сечения соответствующего волокна. Размер минимальной гарантированной прослойки между волокнами в случайной структуре приравняем к удвоенной толщине адгезионного слоя величиной 0,1 r( 2) . Пусть все волокна композита полые C(1) = 0

и упругие свойства неповрежденной зоны адгезионного слоя волокна равны, например, упругим свойствам матрицы C(4) = CM , в повреж-

денной – C(3) = 0 . Упругие характеристики изотропных тензоров CM

иC(2) композита: модуль Юнга для матрицы ЭДТ-10 равен 2,91 ГПа

икоэффициент Пуассона 0,36, для органоволокна 125 ГПа и 0,30.

200