книги / Механика деформирования и разрушения горных пород

Перейдем теперь к нахождению коэффициентов 1п и 1р. Система для их определения при горизонтальных пластических элементах ((3 = 0), записанная в матричном виде, выглядит так

ные по формуле (3.41) через значения коэффициентов К1’ (/=1, 2).

где К\ — вязкость разрушения.

Выразим из условия (3.47) значение т касательного на­

Связь (3.48) позволяет наити наибольшее касательное на­ пряжение в зависимости от напряжения s2, вязкости разрушения К\, коэффициентов ц, А., т|, являющихся функциями длины трещины 21, и вида функции а п.

где Ru — размер упруго-пластического элемента, принятый в модели; Л,— реальный размер зерна.

Однако вследствие высокой степени неоднородности горных пород непосредственное экспериментальное определение К']3 за­ труднено, поэтому К\ подбирается исходя из соотношения (3.48) при 52= 0 таким образом, чтобы при одноосном сжатии пределы прочности реальной породы и модели совпадали.

В виде примера приведем построение модели неоднородной горной породы применительно к экспериментальным данным для гранита и невыбросоопасного песчаника. Деформационные характеристики материала среды для этих пород приняты соответственно следующими: £=0,55 • 105 МПа и v= 0,17; £=0,3 • 105 МПа и v= 0,12. Отношение длины трещины к длине структурного элемента в обоих случаях составляло 1:44, а Р= 0.

В качестве структурного элемента среды принят прямо­ угольник с соотношением сторон 2,35:1 для гранита и 2,9:1 для песчаника.

Сопоставление расчетных и экспериментальных значений Аа1= ст1 —ст2 в зависимости от et для различных а 2 приведено на рис. 3.26. Анализ приведенных данных показывает, что математическая модель неоднородной породы удовлетворитель­ но описывает деформационное разупрочнение горных пород.

3.7. СИСТЕМА УРАВНЕНИЙ ПЛАСТИЧЕСКОГО ДЕФОРМИРОВАНИЯ ПРИ РАЗУПРОЧНЕНИИ В УСЛОВИЯХ ПЛОСКОЙ ДЕФОРМАЦИИ

При решении различных прикладных задач горной геомеха­ ники значительное распространение получила задача о плоской деформации.

Вработе [32] приведены различные зависимости для аппроксимации экспериментальных данных между напряже­ ниями и деформациями при упрочнении горных пород, разупрочнении и в области остаточной прочности. Эти зависимости представлены набором нелинейных и кусочно­ линейных функций.

Вкачестве простейшей связи между напряжениями и дефор­ мациями при разупрочнении горных пород может быть принята линейная зависимость

дуль спада; т = / (а) — условие предельного состояния на грани­ це раздела упругой и пластически разупрочняющейся области.

Рассмотрим систему уравнений пластического деформирова­ ния при разупрочнении в условиях плоской деформации.

Компоненты напряжений ах, ау, тху в этой области должны удовлетворять условию предельного состояния с разупрочне­ нием (3.59) и уравнениям равновесия.

Результаты экспериментальных данных за деформированием пород показывают, что при разупрочнении их в запредельной области имеет место (см. рис. 3.5, 3.8) пластическая дилатансия. При исследовании системы ограничимся случаем линейной дилатансии, уравнение которой для плоской деформации записывается следующим образом: ._____________

ди/дх + dv/dy = А ^/(du/dx —dv/ôy)2 + (du/dy+ dv/dx)2 + Ai, (3.60)

где и, v— компоненты перемещений; A, A i— постоянные. Для замыкания системы необходимо к уравнениям присо­

единить еще одно соотношение. Для этого используем рас­ пространенное в теории пластичности условие соосности деви-

жительным направлением оси Ох и направлением максималь­ ного главного напряжения а 4.

Компоненты напряжений (3.62) удовлетворяют условию

и условия коаксиальности (3.61) тензоров напряжений и дефор­ маций, которое может быть записано так:

Рассмотрим частный случай приведенной выше системы уравнений. Условие пластичности разупрочняющейся среды примем в виде

где К — пластическая постоянная.

Заметим, что условие (3.65) представляет собой условие пластичности Мизеса, обобщенное на разупрочнящуюся среду.

На первом этапе исследования системы дилатансию пород не будем учитывать, считая, что имеет место условие несжима­

Соотношения (3.66) тождественно удовлетворяют условию (3.65). Используя соотношения (3.66) уравнения равновесия, условие соосности (3.64) и условие несжимаемости, запишем замкнутую систему дифференциальных уравнений относительно неизвестных ст, и, v:

Система уравнений (3.67) является системой второго поряд­ ка. Можно показать, используя условие неопределенности вторых производных, что система (3.67) является эллиптической.

Заметим, что условие предельного состояния (3.65) для разупрочняющейся среды имеет такой же вид, как условие предельного состояния для вязко-пластической среды:

с увеличением скорости у предельное напряжение (3.68) воз­ растает, а для пластически разупрочняющейся (3.65) с ростом

с пластическим разупрочнением можно использовать аналогич­ ные результаты, полученные для вязко-пластических сред. Так, система дифференциальных уравнений установившихся движе­ ний вязко-пластической среды при плоской деформации имеет

3.8. ДЕФОРМАЦИОННОЕ РАЗУПРОЧНЕНИЕ ЛЕНТОЧНЫХ ЦЕЛИКОВ

При проектировании целиков геометрические размеры их выбираются таким образом, чтобы фактическая нагрузка на целик не превышала его несущую способность в течение всего периода его работы.

При практических расчетах нужно обеспечить необходимый запас, поскольку в реальных условиях вследствие действия случайных факторов средние значения входящих величин могут отличаться от фактических. Для этих целей в расчет вводится коэффициент запаса, значения которого изменяются от 1,2 до 1,9.

С ростом глубины разработки увеличиваются размеры целиков, что, в конечном итоге, приводит к падению коэф­ фициента извлечения полезного ископаемого из недр. При этом наиболее значительное влияние оказывают размеры целиков на коэффициент извлечения полезных ископаемых при камерных системах разработки, применяемых на калийных месторождениях.

Для увеличения коэффициента извлечения полезных ископа­ емых перспективным является использование податливых це­ ликов, деформирующихся за пределом прочности. При этом может быть снижен коэффициент запаса, а размеры целиков должны быть определены таким образом, чтобы была обес­ печена достаточная несущая их способность и безопасность ведения горных работ.

В настоящее время методы расчета целиков в достаточной степени разработаны [40] при упругом и упруго-пластическом режимах их деформирования. Попытки учета запредельных свойств при расчете целиков были предприняты в работах [5, 19]. При этом вводился ряд допущений, в частности, предполагалось, что в запредельное состояние сразу полностью переходит любое вертикальное сечение или весь целик. Диа­ граммы напряжение—деформация для образцов и целиков приняты идентичными.

Исследовалось упруго-пластическое деформирование лен­ точных целиков с учетом их разупрочнения. Анализ напряжен- но-деформировг юго состояния производился с помощью вариационных методов и численных экспериментов на ЭВМ.

Вариационные методы решения задач теории предельного состояния с разупрочнением. Вариационный подход к решению задач механики, горных пород в настоящее время получил значительное распространение. В ряде работ с помощью метода конечных элементов рассматриваются решения нелиней­ ных задач механики сплошной среды. Известно, что для применяемости вариационных методов необходимо выполнение условий существования экстремума функционалов.

На ниспадающих участках зависимости интенсивность ка­ сательных напряжений Т — интенсивность деформаций сдвига Г —вопрос'о существовании экстремумов функционалов остает­

Заметим, что критерий (3.71) может быть обобщен на объемные задачи. При этом структура критерия сохраняется, следует только заменить значения площадей S, и S2 на соответствующие значения объемов Vx и V2.

Из выражения (3.71) следует, что минимум функционала существует до тех пор пока зона разупрочнения мала. Даль­

о наличии физической неустойчивости системы при данном сочетании нагрузок и параметров, характеризующих прочност­ ные и деформационные свойства системы.

Таким образом, условие существования решения уравнений (3.70) прц разупрочнении среды связано с наличием физической устойчивости системы. С нарушением этого условия наблюда­ ется рост зон разупрочнения, что приводит к физической неустойчивости системы.

При исследовании напряженно-деформационного состояния целиков примем кусочно-линейную аппроксимацию зависимо­

нагрузок. При проектировании целиков значительное распространение получила известная схема расчета Турнера — Шевякова [40].

Тогда геометрические размеры целиков определяются на основе заданной нагрузки и прочностных характеристик матери­

учитывающие взаимодействие целиков с вмещающими поро­ дами. Среди них в первую очередь следует отметить работы А. К. Черникова [40]. в которых рассматривается взаимодейст-