книги / Механика деформирования и разрушения горных пород

где:

ах= 1+sin р cos2(p; a2 = sin p sin2(p;

a3= —2a sin p sin2cp + AT' (cp) cos p cos2(p —2K (<p)cos p sin 2cp; a^ = K' (q>) cos p $т2ф + 2/£(ф) cosp cos 2ф + 2ст sin p со$2ф; bi =sinp зш2ф; b2 = 1—sin p сов2ф;

b3 = 2a sin p со8 2ф + Л7 (ф) cos p зт2ф + 2Л^(ф) cos p со8 2ф; 64= 2а sin р вт2ф —К' (ф) cos р сов2ф +2ЛГ(ф) cos р 8т2ф.

Можно показать, что уравнения характеристик системы

Перейдем теперь к рассмотрению системы уравнений теории предельного состояния среды для плоской деформации при условии пластичности Мизеса:

Система уравнений равновесия в этом случае записывается в форме (5.20), где следует принять угол внутреннего трения р= 0.

Уравнения характеристик в этом случае записываются так

d y _ 2 K sin 2ф —К' cos 2ф + у/4К 2 + (К')2

Для этой системы можно получить соотношения, обобща­ ющие интегралы Генки

Аналогичным образом могут быть рассмотрены системы уравнений теории предельного равновесия для осесимметричной задачи при условиях пластичности (5.18) и (5.22).

5.3. ВЛИЯНИЕ АНИЗОТРОПИИ ПРОЧНОСТНЫХ СВОЙСТВ ГОРНЫХ ПОРОД НА ОБЛАСТЬ ПЛАСТИЧЕСКИХ ДЕФОРМАЦИЙ ВОКРУГ ВЫРАБОТКИ КРУГЛОГО ПОПЕРЕЧНОГО СЕЧЕНИЯ

Выявим влияние анизотропии прочностных свойств горных пород на форму и размеры области пластических деформаций и упругопластическое распределение напряжений вокруг выработки.

Для исследования огра. и-.имея выработкой круглого сече­ ния, сооружаемой на глубине Н от земной поверхности в пластически анизотропном массиве/

Предположим, что около контура выработки образуется область пластических деформаций, которая полностью его охватывает. Решение задачи выполним в плоской постановке, анализируя поле напряжений в плоскости, перпендикулярной к оси выработки. Тогда задача сводится к исследованию напряженного состояния в бесконечной плоскости С отверстием, по контуру которого заданы граничные условия а г=/?; тг0 = О.

Будем предполагать, что пластическая анизотропия пород характеризуется сцеплением, которое описывается зависимо­ стью (5.8).

Рассмотрим вначале случай, когда породы в пластической зоне удовлетворяют условию пластичности Кулона — Мора, которое в данном случае имеет вид:

(a0- a r)2 + 4T,e = sin2 р [a 0 + a r+ 2A:ctgp(l +5 cos20)]2, (5.24)

где К и 8 определяются соотношениями (5.10); 0— угловая координата.

Решение задачи будем искать в виде разложения по малому параметру 5:

а г= £ 5па<”>; ст§= £ 5па£°;

нии; r = R/r°\ R — радиальная координата; г£0)— радиус области пластических деформаций в нулевом приближении.

Подставляя эти значения напряжений в условие (5.24) и сравнивая коэффициенты при одинаковых степенях 8, получа­ ем условия пластичности в нулевом и первом приближениях:

сте0)= (1 + sin р)/(1 —sin р)<т‘0)+ 2ATcos р/( 1 —sin р);

(5.26)

су^*= (1-t-sin р)/(1 —sin pjaj1*—2tf cosp/(l —sin p)cos20.

Аналогичным образом могут быть записаны зависимости для второго приближения и последующих.

Перейдем к определению напряжений в нулевом приближе­ нии. Для этого, используя первое из соотношений (5.26) пластичности уравнения равновесия, условие отсутствия каса­ тельных напряжений т‘ е* = 0 в пластической области и условия на границе запишем

по формулам (5.29) из уравнения (5.30) и соотношения (5.31): CTo ,_,.a.2-i/(l _ sjn p){[Ci(4sinp —3)+ /С2] cos(/1lnr) +

+ [C2(4sin p —3) —/Ci] sin (/iln r)} cos 20 —К cos p cos 20; ^ 32) CTe1’ = (1+ sin p)/(l —sin p)a£1) + 2ATcos p/(l —sin p)cos20;

xJ-V = 2r*/2_1/(1 —sin p){(Ci sin p+ /C 2)x xcos(/i Inr)+(C2sinp —tCi)x

x sin (/1In r)} sin 20 + ATcos p sin 20,

где t = y/3 —4 sin 2 p; /1 =//(1 —sinp); Cj; C2 — произвольные постоянные.

Определяя произвольные постоянные из граничных условий (5.28) и подставляя их в соотношение (5.32), после преоб­ разования получаем

a ‘1) = A!'cosp(r/P)*/2 ' [cosx + (3—2sin р) (sinx)/0 x x cos 20 —K cos p cos 29;

Заметим, что построенное решение имеет смысл, если rs^ l . Аналогичным образом может быть построено второе при­ ближение и последующие.

Рассмотрим в приведенной выше постановке упругопла­ стическое распределение вокруг выработки круглого сечения, сооружаемой в массиве с плас+ической анизотропией, когда напряжения в пластической области удовлетворяют условию

ст^1) = a*1)+ 2ATcos20.

Аналогичным образом могут быть выписаны соотношения для последующих приближений.

Компоненты напряжений в пластической области в нулевом

Перейдем к определению напряжений в пластической об­ ласти в первом приближении. Используя соотношения (5.29), уравнения для нахождения функции напряжений Ф(х, 7)

Находя из этого уравнения функцию Ф(*, у), можно записать в первом приближении напряжения в пластической области:

ст‘1)= С 0+ 1 / г [ ( у/З Са—3 С 3) cos ( У з In г ) —( У 3 С 3+ 3 С4)

T ^,= 2 v/3/r[C 4co s(y 3 1 n r)-C 3 sin (УЗ In r)] sin20 + ^sin20,

где C0, C3, C4— произвольные постоянные.

С учетом граничных условий (5.28) компоненты напряжений (5.50) запишем:

CT<,, = tfP/r[cos(y31n(r/P)) + y b in (y 3 1 n (r/P )] cos 20- К cos 20;

Граничные условия на бесконечности и компоненты на­ пряжений в упругой области определяются зависимостями (5.37), (5.38) и (5.39), (5.43).

Из условий непрерывности напряжений в нулевом при­ ближении следует зависимость для нахождения радиуса зоны

Уравнение области пластических деформаций вокруг вы­ работки будем искать в виде (5.34). В первом приближении радиус rj1' находится из условий непрерывности для напряже­ ния а е при г= 1

Тогда радиус зоны пластических деформаций определяется зависимостью (5.45), которая имеет смысл при гя^1.

Следует отметить, что аналогичным образом может быть построено решение задачи во втором приближении.

Произведем расчеты и выполним анализ размеров зоны пластических деформаций вокруг выработки при пластически анизотропных горных породах.

Пример 1. Горная выработка сооружается на глубине #=1000 м от поверхности в массиве пород со следующими горно-геологическими и горно­

зависимостью (5.8), значение которого в боку выработки в 1,85 раза больше, чем в кровле.

Значения параметров К и 5, найденные по формулам (5.10), равны К = 4 МПа; 5 = 0,5.

Расчет по формулам (5.40) и (5.41) показывает, что уравнение области пластических деформаций (5.45) имеет вид

rs= 1,52( 1—0,25 cos 20).

Анализ результатов расчета (рис. 5.1) показывает, что вследствие пластичес­ кой анизотропии область пластических деформаций оказывается вытянутой в вертикальном направлении. Для пластически однородного массива область имеет форму круга радиусом г*"* =1,52, поскольку для расчета принят случай с коэффициентом бокового распора к в нетронутом массиве равным единице. Размер области пластических деформаций в кровле выработки составил

rs=l,90, а в боку 1,14. Таким образом, при коэффициенте анизотропии 6 = 0,5 область пластических деформаций в кровле выработки больше, чем в боку,

значению в боку составляет 1,35 раза.

Пример 2. Горная выработка расположена в пластически анизотропном массиве со следующими горно-техническими условиями: уЯ=25 МПа; Х=\; 6 = 0; К1 = 9,6 МПа; *„ = 6,4 МПа; р = 0.

В данном примере расчета пластические свойства массива пород описыва­ ются условием пластичности (5.46) Мизеса.

Расчет показал, что уравнение области пластичности вокруг выработки имеет вид

Для рассмотренных выше примеров расчета проведем оценку влияния угла падения массива пород на очертание

а горно-технические условия залегания выработок приняты такими, как в примерах № 1 и 2.

Результаты расчетов графически показаны на рис. 5.1. Из анализа расчетов видно, что падение пород приводит к по­ вороту большой оси области предельных деформаций на угол, равный углу падения.

Для выявления обоснованности предложенной модели среды и полученных при этом результатов обратимся к анализу

натурных наблюдений за деформированием массива пород вокруг выработок. В работе [41 ] приведены результаты инструментальных наблюдений за деформированием массива пород вокруг глубоких выработок в Донецком бассейне, полученные на замерных станциях с помощью глубинных замеров.

Наблюдения для разнообразных i ирно-геологических усло­ вий показали, что размер зоны предельных деформаций по отношению к контуру выработки изменяется от 1 до 12 м. Очертание области предельных деформаций в первую очередь зависит от угла падения пород. В выработках, проведенных в однотипных породах, наибольший размер зоны предельных деформаций вытянут в направлении, перпендикулярном сло­ истости. При этом в породах с пределом прочности на одноосное сжатие а„р = (32 —50 МПа) на глубинах 780— 1000 м для Донецкого бассейна размеры зоны предельных деформаций [13] достигают 7—9 м и распространяются в направлении, перпендикулярном слоистости.

Оценим с помощью предложенной модели размеры зоны предельных деформаций вокруг горной выработки применительно к горно-техническим

■K= o,.p(l-sinp)/(2cosp).

значение которого для данных горно-технических условий составляет К=9,3 МПа. С целью перехода от предела прочности образца к пределу прочности в массиве умножим сцепление на коэффициент структурного ослабления, приняв в качестве его АГС= 0 ,2 .

Расчет по формулам (5.40), (5.44) и (5.45) показывает, что область предельных деформаций имеет вид

,г5 = 2,09 (1-0,09 cos 20)

и натурных данных о размерах области предельных дефор­ маций вокруг выработки для условий Донецкого бассейна свидетельствует о согласии результатов в качественном от­ ношении. Сходимость в количественном отношении может быть достигнута путем углубления модели деформирования массива в части учета разрушения приконтурной области пород.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1.А. с. 785680 (СССР). Гидропривод к прессу для испытания образцов на прочность/А. Н. Ставрогин, Б. Г Тарасов, Е. Д. Певзнер.—Опубл. в Б. И. 1981, № 4.

2.А. с. 1024796 (СССР). Установка для изучения баланса энергии в системе

3.Алексеев А. Д., Недодаев Н. В. Предельное состояние горных пород.— Киев: Наукова думка, 1982.

4.Ардашев К. А., Матвеев Б. В., Карташов Ю. М. Показатели сопротив­ ления и разрыхления и механизм разрушения горных пород в условиях

(численные эксперименты на ЭВМ с использованием вариационных принципов).

к хрупкому разрушению по запредельным характеристикам деформирования.— Тр. ВНИМИ, сб. III, Горное давление и горные удары. Л.: 1979, с. 71—73.

9. Глушко В. Т., Виноградов В. В. Исследование условий перехода разруше­ ния горных пород вблизи выработок во внезапный выброс.— В кн.: Динамичес­

12. Екобори Т., Коносу СЕкобори А. Микро- и макроподходы в механике разрушения к описанию хрупкого разрушения и усталостного роста трещин. Новое в зарубежной науке. Механика № 20.— М.: Мир, 1980.

13.Карманский А. Т. Методика исследования горных пород при сложных напряженных состояниях с учетом газового фактора.— В кн.: Борьба с горными ударами.—Л.: ВНИМИ, 1981, с. 27—30.

14.Каталог планшетов механических характеристик гордых пород, опасных

состояния на запредельные характеристики удароопасных выбросоопасных горных пород.— В кн.: Региональные меры предотвращения горных ударов.— Л.: ВНИМИ, 1983, с. 35—39.

17.Нигматулин Р. И. Основы механики гетерогенных сред.— М.: Ннука, 1978.

18.Основы теории внезапных выбросов угля, породы и Газа. Сб.

статей/Ин-т горн, дела им. А. А. Скочинского.— М.: Недра, 197В.

19.Петухов И. М., Линьков А. М. Механика горных ударов ц выбросов. М.: Недра, 1983.

20.Проскуряков H. М. Внезапные выбросы породы и газа в калийных