книги / Механика деформирования и разрушения горных пород

где a = 2sin р/(1 —sin р);

К0 = 1/ [ос(1 —m pJ] [2mp\ipC1/Kp — ainppa — 2Kcos p/sin р].

Упругая область. В упругой области материал скелета деформируется по закону Гука. Запишем уравнения теории упругости для пористой среды, используя значения средних r fJ напряжений

Сучетом зависимостей (4.59), (4.66) компоненты напряжений

вскелете равны

Учитывая напряжения (4.65), уравнение (4.68) запишем в виде

( \ - т е)(2 + а.)[ро + К0)(г01а)°-Ко] -

—amppa + 2Kcos р/( 1—sin р) +

+ трцрКе/{Крце){рь- р а)( 1 + 2/а + In ( r j a ) ) / / ( ^ Кр)In {rja) -

- In (гJ b)] =(1 - m e)pl - \ i eme(pb- p a)\nr0j [\ieKe/(\ieKp)ln {rja)~

-ln (r0/6)]. (4.69)

Упругопластическое распределение напряжений при нерав­ нокомпонентном поле напряжений в нетронутом массиве. В общем случае распределение напряжений в нетронутом массиве будет отличаться от гидростатического. Горизонтальная составля­ ющая напряжений при действии гравитационных сил обычно меньше вертикальной. Однако в зоне действия тектонических сил горизонтальная составляющая может превосходить вер­ тикальную.

Обобщим приведенное выше решение задачи на случай неравнокомпонентных напряжений в нетронутом массиве. Поста­ новка задачи состоит в следующем. В массиве пород сооружается выработка или производится бурение скважины круглого сечения радиуса г = а. Массив пород предполагается упругим и изотроп­ ным, в котором под давлением находится газ. Под действием напряжения и давления газа около контура выработки или скважины образуется область предельных деформаций.

Напряженное состояние рассматривается в плоскости, пер­ пендикулярной к оси выработки или скважины. Тогда задача сводится к исследованию напряженного состояния в газона­ сыщенной бесконечной плоскости с отверстием. При этом граничные условия на контуре скважины имеют вид (4.55) и (4.57).

На бесконечности для газонасыщенной плоскости они

ляющей напряжений и коэффициента бокового распора в не­ тронутом массиве.

Как и выше, в первом приближении характеристики пласта т, К, |1 в упругой и пластической областях принимаются постоянными.

Газовая фаза. Изменение давления вокруг выработки или скважины, как и выше, характеризуется зависимостью (4.59).

Компоненты напряжений в скелете в пластической области

где A i =(2 + a)(p0 +A’oJ/a®;

=[2ATcosp —2mppasin p)/[(l —mp)(l —sin p)] —/£0(a+2) —

-m y C i/[ ( 1— mp)Kp~\(2+ a)/a;

Dx = 2mp\xpCxl\(\ —Я1Р)ЛТР];

A 2 = v.{p0 + K0)la«;

B2 = — K0<x — ctmp/(\ —mp)pa + 2Kcos p/(l —mp){\ —sin p)— —w p|ipC1/(l —mp)Kp\

Ф*(г), T*(z) — функции комплексного переменного, .через ко­ торые выражаются компоненты напряжений в упругой области.

Для их определения имеем граничные условия (4.71) на неизвестном контуре L и условия на бесконечности (4.70). Отобразим контур L области предельных деформаций на единичный круг у, с помощью функции

Тогда получим

4Re<D(ф)= Bi + A t[to(ф)со (ф) ] 0 / 2 + ZMn (ю(ф)ш(ф)/а,); (4.73) 2[Ф'(ф)/оУ(ф)юф + \1>(ф)] = Л2 [со (ф)]в / 2 “ 1 [со (ф)]а / 2 + ,+

+ 52 со(ф)/со(ф).

Решение граничной задачи (4.73) при условиях на бес­ конечности (4.70) построено [32]. Область пластических дефор­ маций имеет формулу эллипса:

где коэффициенты с0 и сх находятся из соотношений:

(1 +A.)/?i = A I C Q -\T B i +2Z)ilnc0;

Приведенное решение имеет смысл, если область предельных деформаций полностью охватывает контур выработки, для чего необходимо выполнение условия с0—с, ^ 1.

Используя зависимости (4.59), (4.62) и (4.63), распределение давления газа р в пластической и упругой зонах можно записать в следующем виде:

Запишем зависимости для определения дебита скважины. При упругопластическом деформировании массива пород значе­

совпадающая с решением для дебита при упругом дефор­ мировании пород.

Пример. Найдем размер зоны предельных деформаций вокруг вертикальной

Расчет по формуле (4.69) показывает, что радиус зоны предельных деформаццй вокруг скважины без учета и с учетом ослабляющего влияния давления газа составляет го = 2,04я и /*о = 4,0д. Таким образом, в результате ослабляющего давления газа радиус зоны предельных деформаций увеличива­ ется в 1,96 раза.

Оценим изменение дебита газа в скважине для проведенных выше горно-геологических и горно-технических условий заложения скважины. Расчет по формулам (4.78) и (4.79) показывает, что наличие предельных деформаций радиуса зоны г0—\а увеличивает дебит газа в Qp= \£6Q e.

Приведенные методы расчета могут быть использованы для прогнозирования напряженно-деформированного состояния массива вокруг выработок и скважин, а также обоснования технологических решений при добыче газа и нефти и решения проблем гидрогеологии.

5. УПРУГОПЛАСТИЧЕСКОЕ РАСПРЕДЕЛЕНИЕ НАПРЯЖЕНИЙ ВОКРУГ ВЫРАБОТКИ С УЧЕТОМ АНИЗОТРОПИИ ПРОЧНОСТНЫХ

5.1.ПРОЧНОСТЬ АНИЗОТРОПНЫХ ГОРНЫХ ПОРОД

Горные породы в зависимости от горно-геол<ргических условий залегания, характера расположения и числа трещин, слоистости, наличия различного рода включений и ряда других факторов проявляют свойства упругой и пластической анизот­ ропии.

Наиболее существенным фактором, влияющим на прочност-

ьые и деформационные характеристики массива и процесс его деформирования, является трещиноватость горных пород.

По характеру происхождения различают естественную и ис­ кусственную трещиноватость. Естественная трещиноватость связана с особенностями образования пород, а искусственная формируется вследствие принятой технологии добычи полезных ископаемых и сооружения выработок, процесса деформирования массива и влияния внешней среды.

Естественная трещиноватость, в зависимости от ориентации трещин, может быть упорядоченной или хаотичной. Наличие трещин в массиве приводит к его ослаблению й снижению прочностных и деформационных характеристик. Прочностные характеристики породы в массиве будут значительно меньше, чем в куске.

Другим фактором, существенно влияющим на прочностные и деформационные свойства массива, является слоистость. Обычно различают микрослоистость, т. е. слоистость в преде­ лах одной литологической разности, и макрослоистость,

образующуюся вследствие наличия в массиве различных ли­ тологических разностей.

Микрослоистость и упорядоченная естественная трещино­ ватость приводят к появлению у породы анизотропии меха­ нических свойств.

Испытания образцов горных пород при одноосном сжатии на нагрузку, направленную перпендикулярно и параллельно слоисто­ сти, показывают, что прочность их в этих направлениях различна. Так, в табл. 5.1 приведены [16] экспериментальные данные по определению прочностных и деформационных характеристик пород при одноосном сжатии и растяжении их перпендикулярно и параллельно слоистости. Для испытаний использовались породы рудных месторождений различной степени устойчивости, которые охватывали все основные типы пород. Испытания выполнены для устойчивых пород, средней устойчивости, неустойчивых и группы весьма неустойчивых пород.

Анализ этих данных показывает, что пределы прочности на одноосное сжатие перпендикулярно и параллельно сло­ истости зависят от типа пород. Коэффициент анизотропии, равный отношению предела прочности на сжатие перпен­ дикулярно слоистости к пределу прочности параллельно сло­

Анизотропия горных пород сказывается также на величине статического модуля упругости, полученного при испытаниях пород параллельно и перпендикулярно слоистости. На дина­ мический модуль упругости влияние слоистости сказалось только для группы устойчивых пород. Значения коэффициента Пуассона оказались независимыми от слоистости пород.

Предельные свойства пластически анизотропных пород и материалов в настоящее время изучены недостаточно, имеются только отдельные предложения по выбору тех или других условий пластичности.

Условие пластичности анизотропной среды И. И. Гольден-

где Il = Cijo ij; /2 = Сд аа |-/-ал/— линейная и квадратичная формы

предложено наряду с обычным условием предельного состояния вводить специальное условие, учитывающее их слоистость.

Основываясь на приведенных выше экспериментальных данных, а также анализе исследований, перейдем к выбору условий пластичности при пластическом деформировании ани­ зотропных горных пород. Анализ экспериментальных данных показывает, что предел прочности на сжатие а сж зависит от направления слоистости пород по отношению к действующей нагрузке

горных пород на анизотропные среды, учитывая, что предел

На основе большого числа экспериментальных исследований для описания предельного состояния горных пород в работе [32] предложено экспоненциальное условие пластичности, ко­ торое можно обобщить на анизотропные среды следующим

При практических расчетах получило распространение усло­ вие пластичности Кулона в форме наклонной линейной оги­ бающей кругов главных .наибольших напряжений. С учетом связи (5.3) обобщим это условие на анизотропные среды,

Для некоторых горных пород может быть использована также горизонтальная огибающая кругов напряжений, уравне­ ние которой для анизотропных сред имеет вид

При расчете пластического деформирования пород вокруг выработок, сооружаемых в массивах с различными пределами на сжатие параллельно и перпендикулярно слоистости, не­ обходимо учитывать угол между действующими главными

напряжениями и направлением слоистости. Для учета этого фактора в работе [16] предлагается использовать паспорт прочности выработки, с помощью которого учитывается на­ правление действия главных напряжений и расположение пределов прочности пород в зависимости от их слоистости.

Для аппроксимации сцепления пород около контура вы­ работки, сооружаемой в слоистом массиве, используем зави­ симость

и прочности (по Н. Ф. Ренжиглову) некоторых горных пород Восточного Донбасса приведены в табл. 5.2.

Анализ данных (см. табл. 5.2) показывает, что закономер­ ности распределения пределов прочности для угольных ме­ сторождений являются такими же, как для рудных.

5.2. УРАВНЕНИЯ ПЛОСКОЙ ДЕФОРМАЦИИ ПЛАСТИЧЕСКИ АНИЗОТРОПНЫХ ГОРНЫХ ПОРОД

При исследовании процессов деформирования горных пород и сплошных тел большое распространение получила задача о плоской деформации. Теория плоской деформации является одним из наиболее разработанных разделов теории пластич­ ности горных пород и сплошных тел.

Рассмотрим уравнения пластического деформирования среды при плоской деформации с учетом пластической анизотропии горных пород. Для плоской деформации условие предельного , состояния и два уравнения равновесия образуют замкнутую

систему, содержащую три неизвестных.

Рассмотрим вначале систему при экспоненциальном условии (5.4) предельного состояния. При плоском деформированном

характеризующий анизотропию в условии предельного состо­ яния; (р — угол между первым главным напряжением и осью Ох.

Подставив соотношения (5.13) в уравнения равновесия, получим ^

K(D' + B' cos2(pdcjôx + KB' sin2фдс/ду+[К' (D+

+В cos 2ф) — 2KB sin 2ф] 8ф/дх + В(2К cos 2ф +

+К' sin 2ф5ф /ôjn= Л';

КВ' sin2<pdc/dx+K(D' — B' cos 2ф) дс/ду + В (2К cos 2ф +

+ К' $1п2фЗф/5л' + [5 (2ATsin 2ф —К' со$2ф +

в связи (5.17) больше нуля, то система уравнений (5.16) является гиперболической. В дальнейшем будем предполагать,

проведено исследование системы уравнений теории предельного равновесия.

Перейдем к рассмотрению системы уравнений теории преде­ льного равновесия анизотропной среды при условии пластич­

* > = с т ± [ а sin р + X (ф )C O S р] сов2ф;

СУу J

(5.19)

Тду = [о sin р+ К (ф) cos р] sin 2ф,

где ст= 1/2 (а* + а у).

Внося выражение (5.19) в уравнения равновесия, получим систему

Ü\ = da/dx+a2dcyldy + a3d(p/dx + a4.ô(p/dy — 0;

=dG/ôx + b28cy/dy + b2d(pldx+b^d(pldy = 0,