книги / Потенциальная теория неустановившихся сверхзвуковых течений

Следует иметь в виду, что нельзя менять порядок опера­ ции Л (которая содержит дифференцирование по х) и инте­ грирования по X и у, за исключением того случая, когда

подъинтегральное выражение и его первая производная по X обращаются в нуль при подстановке обоих пределов. Кроме того, нельзя при дифс|)еренцировании по х рассмат­ ривать тригонометрическую переменную arccos (у/Ь) как не зависящую от х (см. 9.1.11).

В частном случае, когда v не зависит от у, и ф<®>

имеет вид

подставляя (9.8.19) в формулу (9.8.21), получим

1J 4=(д()»(л:)-

ln (x -5)6‘ (5)o(i)d|+ 1 1 1 -е -«

не является более эллиптическим (как это было для <pj®’)i за исключением того случая, когда Ло 0.

Если Р® < А (так что задача относится к случаю из таблицы 1), использование разложений (9.8.15—19) стано­ вится нецелесообразным, и вместо (9.8.15) напишем

C той же степенью приближения можно в операторе Л по­ ложить M = 1. Тогда вместо выражения (9.8.18) будем

S 9.8]

4? О " '^ - ' 0

а‘“ = 0 ( п # 1 и л и З ) 1 ) . (9.8.28с)

Полученное приближенное решение непригодно, если функция b^v и две ее первые производные по х не являются непрерывными. (Если мы интересуемся только интегралом от давления по хорде, а не самим давлением, выражение для которого включает производную ф,., то можно не Tj)e- бовать непрерывности второй производной.) Это ослож­ нение связано C тем обстоятельством (см. Майлс [-°®1), что интегральное уравнение для преобразования сингулярно при определенных значениях s, что и приводит к возникно­ вению сингулярных решений, соответствующих возмуще­ ниям от кромок (линиям Маха), исходящим из точек раз­ рыва непрерывности. Это явление иллюстрируется резуль­

В рассматриваемой здесь задаче соответствующие члены имеют порядок ехр(—С6), где C — положительная константа. Как отмечалось в § 9.7, хотя эти члены в прин­ ципе пренебрежимы по сравнению с членами порядка 6", на практике они оказываются доминирующими в значитель­ ной части области аппроксимации решения. За исключе­ нием частного случая прямоугольного крыла (глава 11), обобщение полученных результатов с тем, чтобы они учиты­ вали и эти члены, является довольно сложным делом, так как придется ввести дополнительные члены в разложение ядра gi, для того чтобы с необходимой степенью точности

где 6 — полуугол при вершине крыла, а т — параметр, характеризующий э(1к1зективное удлинение и являющийся тангенсом полуугла при вершине в координатах {х , у), а именно

Мы будем называть треугольное крыло широким или узким в зависимости от того, превышает параметр т единицу или меньше ее. Эти два случая, показанные на рис. 10.1, соот­ ветствуют передним кромкам, лежащим вне или внутри конуса Маха, вершина которого совпадает с носком крыла.

'Р и с . 1 0 . 1 . а) Т р е у г о л ь н о е к р ы л о в ф и з и ч е с к и х к о о р д и н а т а х ; б ) ш и р о к о е

( т > 1) т р е у г о л ь н о е к р ы л о в п р е о б ­ р а з о в а н н ы х к о о р д и н а т а х ; в) у з к о е (т < I ) т р е у г о л ь н о е к р ы л о в . п р е о б ­

р а з о в а н н ы х к о о р д и н а т а х .

Широкое треугольное крыло, относящееся к крыльям простой формы в плане, может рассматриваться методами главы 6, в особенности § 6.4, и получение решения соответ­ ствующей задачи не составляет трудностей (§ 10.2).

Граничная задача о стационарном обтекании плоского узкого треугольного крыла решается методом теории кони­ ческих течений и приводит к сравнительно простому резуль­ тату (см. выражение (10.5.16)). Этот метод можно обоб­ щить 1), используя однородные решения более высокого по­ рядка, на случай более общего закона распределения скоса потока (т. е. местного угла атаки), однако сложность реше­ ния быстро возрастает с повышением порядка однородности (см. выражение (10.5.17) для случая линейно изменяюще­ гося скоса потока).

Нестационарные задачи отличаются от соответст­ вующих стационарных задач не только тем, что в диф­ ференциальном уравнении, которому должен удовлетворять потенциал, появляется дополнительный член или х^Ф, если рассмотрение задачи ведется в системе коорди­ нат х', у, 2, О -

там х', t' (см. соотношения (3.4.9) и (3.10.6)). Вследствие этого шансы на получение простого точного (в рамках линей­ ной теории) решения нестационарной задачи о треугольном крыле, по-видимому, невелики. Столь пессимистическое предположение основывается на том, что структура точногб решения в гиперболических конических координатах доволь­ но сложна (§ 10.3), и что сложность результатов, получен­ ных путем разложения решения в ряд по степеням частоты (§ 10.5), быстро возрастает с частотой.

§ 10.2. Крыло простой формы в плане

Широкое треугольное крыло более или менее детально исследовалось в работах ряда авторов ^), которые, в основ­ ном, использовали метод, изложенный в § 6.4. Рассмотрим здесь частный случай, когда

( 10.2. 2)

где n и P либо оба четные, либо оба нечетные целые числа. Другой возможный случай, когда /г + р — нечетное число, часто, в конкретных задачах, может быть исключен из рас­ смотрения, исходя из соображений симметрии, если функ­ ции V Vi f удается разложить в ряд по степеням у. Однако в задачах флаттера могут иметь место разрывные функции распределения, такие, как |р|, и к ним соображения сим­ метрии непосредственно неприменимы. В принципе же обоб­

в выражение (6.4.3), получим следующий интеграл от потен­

Разлагая подынтегральное выражение в интеграле по по формуле бинома и замечая, что интегралы от нечетных степеней sin 0 обращаются в нуль, получим

■Фпр =

ip или I(P -I)

Для дальнейшего упрощения выражения (10.2.4) необхо­ димо сделать некоторые специальные предположения о характере зависимости от времени.