книги / Потенциальная теория неустановившихся сверхзвуковых течений

ТО же самое было сделано для случая сверхзвуковых и транс­

звуковых (только при M < 0) скоростей. Случай трансзву­

ковых скоростей (М < 0) рассматривался в работе Бара­ нова [Ч. Случай звуковой скорости (М = 1) рассматри­

вался Румье (замедленное движение профиля, M < 0)

и Био [*Ч (ускоренное движение профиля, M > 0). Однако в работе Био не учтено влияние начальных условий, поэтому его результаты следует рассматривать как неполные. (См. также работы Кабаниа [^®],

Более подробный анализ общей задачи дан в работе Майлса 1-*®].

Г Л А В А 6

КРЫ ЛЬЯ ПРОСТОЙ ФОРМЫ в ПЛАНЕ

§ 6.1. Введение

Для определенного класса форм в плане граничная задача о крыле оказывается довольно простой. Класс этот определяется требованием, чтобы составляющая скорости потока, перпендикулярная к кромке крыла, оставалась повсюду сверхзвуковой. В координатах {х, у) это ограниче­ ние можно записать в виде (см. рис. 3.1)

ни одна точка области R не попадает в зону влияния поверх­ ности крыла S, а следовательно, все возмущения в области R тождественно равны нулю. Аналогично для задней кромки это ограничение означает, что ни одна точка несущей поверх­ ности 5 не попадает в зону влияния вихревой пелены W. Вследствие сказанного в областях 7? и S производная ср^ может рассматриваться как известная функция, а значения ее в области W для определения потенциала ф на крыле S не нужны (рис. 6.1). Тем не менее, определив потенциал ф в области 5 , мы затем можем найти и его значения в области W.

Типичными примерами крыльев простой формы в плане являются двумерный профиль и треугольное крыло,

идентична той, которую формулирует система соотноше­

(6.2.8)

Областью интегрирования является часть поверхности крыла S', отсекаемая гиперболой, которая является линией пересечения поверхности S' с обратным конусом Маха, имеющим своей вершиной точку (х', у, z). Если положить Z = О, то границами зоны интегрирования будут передняя кромка крыла и линии Маха ^ = у ± {х' — I)» как это показано на рис. 6.1.

в ряде случаев удобно условиться считать, что потен­ циал Ф дается конечной частью интеграла (6.2.7) в смы­ сле Адамара; то же самое мрл<но сделать и в отношении выражения (5.4.2). В то время как интеграл может быть пре­ образован обычными методами (например, тригонометри­ ческой подстановкой, см. (5.4.2,3)), условие Адамара позво­ ляет дифференцировать под знаком интеграла; если отказаться от условия, то такое дифференцирование де­ лает интеграл несобственным (в обычном смысле). (См. так­

Вернемся к более общей задаче, когда v есть произвольно заданная функция {х, у, t). Наиболее прямым подходом к ее решению является применение обратного преобразования Фурье к выражению (6.27) с учетом соотношения (см. Кэмп­ белл и Фостер [®“], стр. 619)

где через б обозначена дельта-функция Дирака. Применяя

ласти для интеграла (6.2.7) и показана на рис. 6.1 в слу­ чае, когда Z = O-)-. Однако при фиксированном т влияние оказывают лишь точки, лежащие на участке гиперболы

i' — X ± R' = О, расположенном в указанной выше облас­ ти интегрирования. Более того, если, пользуясь (3.4.1), перейти к неподвижной декартовой системе координат {X, Т), заменить в выражении (6.3.2) (i, т) на (|', t'), а через (I, х) обозначить н о в ы е фиктивные переменные в непод­ вижной системе координат, то геометрическим местом точек, в которых аргумент б-функции обращается в нуль, будет

которая является линией пересечения сферической волны

Сингулярное свойство б-функции позволяет исключить одно из трех интегрирований в выражении (6.3.2); практи­ чески предпочтительно интегрирование по х или т]. Выпол­

этой главе). Область интегрирования при Z = O остается той же, что показана на рис. 6.1, хотя функция v' в некотором

где у'р и уSозначают координаты соответственно левой и пра­ вой передних кромок, выраженные в функции х', а f{y) — вес вдоль размаха крыла. Одним из важнейших свойств функции ф является возможность изменения порядка опе­ раций дифференцирования по х' и интегрирования по у

(которые необходимо выполнить при вычислении интеграла от распределения давления по размаху крыла). Эта возмож­ ность обусловлена тем, что потенциал ф обращается в нуль

Vp (t)

Здесь область интегрирования по координатам (у, т]) пока­ зана на рис. 6.2 (из самого определения крыльев простой формы в плане следуют некоторые неравенства, связанные C формой границ, типа уа (JC') > д?' и т . п.). Сплошнвте линии

на рис. 6.2 показывают геометрические места точек, в кото­ рых аргумент б-функции обращается в нуль. Помня, что путь интегрирования по у (при т] = const) всегда пересекает обе такие линии, проведем это интегрированиё, вводявме­ сто T тригонометрическую переменную (ср. (6.3.2—6)); в итоге получим:

\J /[т] + ( л : ' - sin0] X

°Vp(6)

Последнее выражение приобретает особенно простой вид, если вес f{y) является линейной функцией типа

Тогда вследствие нечетности зависимости от 0 аргумента функции f член с sin 0 не влияет на величину интеграла (6.4.3) и в качестве аргумента / можно оставить. а + 6 т ] . Меняя порядок интегрирования по | и "п и заменяя в окон­ чательной записи т] на у, получим

(5.4.3), видим, что теория полоски (т. е, предположение, что распределение давления по хорде в данном сечении крыла такое же, как и на двумерном профиле той же хорды) справедлива для расчета подъемной силы и момента крена, создаваемых в данном сечении крыла по размаху, в случае, если у этого крыла простой формы в плане задняя кромка перпендикулярна к направлению полета.