книги / Потенциальная теория неустановившихся сверхзвуковых течений
..pdfи а — угол атаки^). Поскольку, из соображений симметрии (см. ниже (13.2.6) и (13.2.10)), члены порядка ае не влияют на величину нестационарной составляющей поперечной нагрузки (перепада давлений или местной удельной подъем ной силы), то в дальнейшем их можно не рассматривать явно. Точная формулировка граничного условия па верхней и нижней поверхностях крыла, заданных уравнением (13.2.4) , имеет вид (ср. с (1.2.5)):
Фг = (1 + Ф.-с) |
+ Фи4*’ |
|
(2 = |
2(±>(л*, г/, 0 ). |
(13.2.5) |
Для того чтобы удовлетворить граничному условию (13.2.5) C точностью до членов второго порядка малости, разобьем потенциал ф на составляющие, соответствующие отдельным членам уравнения (13.2.4)
•^ = Ьф{ х, г/, |2 1)±еф(д;, t/, lz|, 0 ± ^^(а) (z ^ 0).
(13.2.6)
Подставляя выражения (13.2.4,6) в граничное условие (13.2.5) , разлагая в ряд производные потенциала в окрест
ности |
Z = O-I-H приравнивая члены порядка 0(e), получим |
|
Фг = |
+ б [ ^ A + ФуК + |
— |
|
- ф » h - ^ ..г g ] + 0 {a , 6*) |
(2 = 0 + ). (13.2.7) |
Заметим, что если ограничиваться вторым приближением для ф, при записи граничного условия (13.2.7) достаточно линейного (или первого) приближения для ф.
Чтобы получить дифференциальное уравнение для ф во втором приближении, заменим правой части урав нения (13.2.1) его первым приближением фхх. подставим ф из (13.2.6) и приравняем члены порядка е. Окончательны" результат запишется в следующем виде:
V 4 - ' b r = M « + {(-V -l)iS T 4 > T + 2VjS-Viti) +
+ 0(а, 6^). |
(13.2.8) |
Есл|{ сечение крыла изогнуто, величина а |
должна |
зависеть от х, поскольку она представляет антисимметричную часть
распределения угла наклона к вектору скорости, однако эта зави симость не влияет на ход дальнейших рассуждений, касающихся оценки порядков величин.
Нестационарная составляющая удельной подъемной силы (при е = 1 ) определится соотношением
= |
(13.2.9) |
После подстановки в это соотношение выражений (13.2.2,6) получим
/е= 4 {M '4T + 6[V^5-Vil)—^T'tT +
+ M'4^^Tz/H-'»l>Tzgr)]b=o+ + 0(62, а®, £2, ае). (13.2.10)
Заметим, что выражения (13.2.7) и (13.2.10) подразуме вают существование разложения функции ф в окрестности Z = 0. В действительности же такое разложение может и не существовать па передней кромке крыла и на характе ристиках, проходящих через эту кромку и поэтому здесь следует проявить осторожность. Ван-Дейк I®®’ ], [®®®1 пред ложил способ, заключающийся в том, что форма и дви жение передней кромки предполагаются сглаженными (если нужно, искусственно), так что компоненты возмущен ных скоростей обращаются там в нуль:
gx = K-\-M~^hi = 0 на передней кромке. (13.2.11)
Это ограничение, которое примем и мы, снимается лишь в окончательном результате, когда вводятся явные выраже
ния для функций g |
и h. При выполнении условия (13.2.11) |
||
в выражении (13.2.10) фт: и |
можно заменить на М”^^тт |
||
и |
соответственно, исходя из граничных условий |
||
в первом приближении. Тогда получим |
|||
Zg = 4 {М"^фт + 6 |
-Vt]) — |
+ |
|
+ М-2(Л^тт + ^гЛтт)]Ь=о+ + 0(б2, а®, е^, ае). (13.2.12)
Кроме граничного условия, на крыле необходимо поста |
||
вить условие, что решение описывает возмущение, уходя |
||
щее от |
крыла, а также однородные условия в областях |
|
R и W. Из соображений симметрии в области R остается |
||
прежнее условие q> = 0, а в области W должно обращаться |
||
в нуль |
выражение (13.2.12). |
Двумерная задача, рассмот |
ренная |
в следующем разделе, |
особенно проста, вследствие |
того, XITO |
граничное условие в области R сводится просто |
к условию |
ф = о при д: < о, а условие в области W вообще |
можно не рассматривать. Общая формулировка задачи для трехмерного крыла будет значительно более сложной, однако по крайней мере в случае прямоугольного крыла решение такой задачи, по-видимому, можно получить, поль зуясь методом, аналогичным развитому в работе Лесли применительно к соответствующей стационарной задаче.
§ 13.3. Медленные колебания профиля
Задача о колебаниях профиля в сверхзвуковом потоке рассматривалась во втором приближении Джонсом 1‘”'],
Джонсом и Скэном |
Уилли |
Ван-Дейком I-®’ ], |
[^8], 1*8®J, Мартином |
и.Гербером Р '*], |
и, в частном |
случае колебаний клина относительно вершины, Карье I®®]. Метод, которым пользовались Уилли, Ван-Дейк и Мартин
иГербер, в основном аналогичен изложенному в предыду щем разделе (заметим, однако, что работа Уилли содержит серьезные ошибки, а потому его окончательные результаты неверны). Этот метод представляется нам более наглядпы.м
илегче допускающим обобщение, чем метод Джонса, а пото му мы и будем здесь следовать ему. Работа Карье, в которой более точно исследовано влияние толщины профиля, пред ставляет интерес в первую очередь с точки зрения установ ления практической точности теории второго приближения.
Для упрощения последующих выкладок примем, что профиль совершает простые гармонические колебания низ кой частоты
h{x, |
(13.3.1) |
Уже такая постановка задачи позволяет решить ряд прин ципиальных вопросов (распространение на случай, когда k не мало, см. Ван-Дейк-1®®®]). В соответствии с выражением (13.3.1) запишем ф в виде
ф = X (jc, z) exp [ikU {t — МР"“дс)1. |
(13.3.2) |
При принятой нами гармонической зависимости от времени переход от ф к х, по существу, аналогичен преобразованию Лоренца — Фурье из § 3.10.
Подставляя функцию (13.3.2) в уравнение (13.2.8) и используя выражение для производной (д/дТ) (из (13.2.3)),
после того как е и б вновь включены в функции h и % (илиф ),^ и ф соответственно, получим уравнение второго приближения
= |
t e l ) . |
|
|
(13.3 |
.3) |
A = P-^ft |
(13.3 |
.4) |
|
(13.3.5) |
|
Граничное условие, которому должна удовлетворять функ ция X. определится в результате подстановки выражения (13.3.2) в соотношение (13.2.7) и имеет вид
е i/Гмгд: |
J |
|
Xz |
|
|
+ [(X., - Г Ш Ь ) gx - Xzzg] |
(Z=O + ). |
(13.3.6) |
Следует отметить, что пока еще ни в дифференциальном уравнении (13.3.3), ни в граничных условиях (13.3.6) никак не использовано допущение о малости k.
Если теперь пренебречь членами порядка в уравне нии (13.3.3), а также членами второго порядка малости в его правой части, то решение в первом приближении, пред
ставляющее собой возмущение, уходящее от профиля (при Z > 0), будет иметь вид
X = + I (A: - P Z) + 0 ( 6 E , F ) , |
(13.3.7) |
где согласно условию, которое вытекает из (13.3.6), если' там сохранить лишь члены первого порядка малости.
(X) = - i 1ЛЧЮ + ikh. H)] BiSMH d| =
= - p - i { ( l + iW x )^ ( A :) -
X
Аналогично решение стационарной задачи в первом приближении имеет вид (если в выражении (13.3.8) поло-
жеть к равным нулю и подставить g вместо Л, помня, что
B(O) = O)
Ф= - Ш х -f^z), |
(13.3.9) |
Если теперь решения (13.3.7) и (13.3.9) подставим в правую часть уравнения (13.3.3) и снова пренебрежем членами порядка Л*, то получим
|
P*2Cxx-Xz2 = 2p A (jc -p 2) + |
0(/e*. б^е), |
(13.3.10) |
где |
|
|
|
Л (;:) = |
^ - tfe) [g' (X ) [F[ (х) - |
ikF , (х)]}. |
(13.3.11) |
Общее решение уравнения (13.3.10), представляющее возмущение, удаляющееся от профиля, имеет вид
|
x -fiz |
|
|
X = F { x - fiz ) + z |
I |
A (6)d|. |
(I3 .3 .I2 ) |
Чтобы определить функцию F, используем граничное усло |
|||
вие (13.3.6) для производной |
|
|
|
|
X |
|
|
X. 1 -0+ = - P f ' W |
+ j |
Л ® d|. |
(13.3.13) |
Подставляя решения (13.3.7,9) в члены второго порядка малости правой части граничного условия (13.3.6) и прирав нивая результат выражению (13.3.13), с учетом условия сглаживания (13.2.11) получим
|
X |
F '{x ) = F [(x) + M T ‘N h g ' F [ + ik [ л ) * г '+ |
\ g 'A 'd i ] } - |
о |
|
+ P 'V [2(\ + m ^ x )ii' + ik ii-im F h \ i]. |
(13.3.14) |
При вычислении давления (см. ни>ке) функция F (в противо положность F') умножается на Л, так что мы можем пренеб
речь членами порядка О(k) при интегрировании выражения (13.3.14), откуда
f W = - p - ‘A | J-(g ft)' +
+ ( 2 - W H M /P ) * ^ g'a)h'((,)di+0(k). (13 .3 .15 )
Распределение подъемной силы теперь можно получить подстановкой выражений (13.3.2) и (13.3.9) в формулу (13.2.12), замечая, что согласно (13.3.12) %= F(x) при Z = 0^-; таким образом, получим:
I= 4 [F' - ikF] g ”h { h " + 2ikh') g ) . (13.3.16)
Подставляя (13.3.14,15) в (13.3.16), будем иметь (см. Майлс
[21.,]) |
|
|
[ р ~ ^ + |
[Ъ' i-ikh -iP '^ kh lo'j + |
|
F |
|
|
+ f/e ''2 -м * |
2ikW\^ ( N - I ) |
(13.3.17) |
|
F |
|
Наконец, ограничение |
гладкости (13.2.11) |
молшо снять |
и считать, что выражение (13.3.17) справедливо и в случае функцийg и h более общего вида (хотя аппроксимация может быть не равномерной вблизи передней кромки).
В |
частном случае продольных колебаний относительно |
|
точки |
X = X Q мы имеем |
|
|
A = O(Xo-JC). |
(13.3.18) |
Подставив эту зависимость в выражение |
(13.3.17), получим |
- 4iAp-^ (2М“ (Л^ - 1) g + (2 - M |
* ) xg'}. (13.3.19) |
Полный демпфирующий момент, соответствующий распре делению (13.3.19), можно получить, следуя процедуре, определенной соотношениями (5.3.5) и следующими. Если принять, что ^ (I) = O, т. е. контур профиля замкнутый,
получим |
|
C « , + C „ i= - р - ‘ [ 1 + (1 -2л :,)= + 2р-2 ( а: . - | |
) ] - |
_ ^ p 2 M » - l ) M ^ - ( 5 M ! z d ) ] ^ ,,,. |
(,3 .3 .20) |
Таким образом, геометрия профиля вошла в окончатель ный результат лишь через среднюю ординату профиля (половину площади сечения) и первый момент его сечения l(xg)cp есть половина момента сечения относительно носика профиля).
Ван-Дейк [*®®] вычислил границу устойчивости параболи ческого (образованного двумя дугами парабол, которые в данном приближении можно считать окружностями) про филя C относительной толщиной 4,5% , для которого функ ция g(x) имеет вид
^(JC) = 26x (I-JC) |
(6 = 0,045). |
(13.3.21) |
Граница устойчивости получается приравниванием нулю (13.3.20) и ее вид показан на рис. 5.2. Ван-Дейк указал таклсе, что и площадь и ее первый момент у ромбовидного профиля в точности равны трем четвертям соответствующих величин для рассмотренного двояковыпуклого профиля. Таким образом, результаты, приведенные на рис. 5.2, спра ведливы и для ромбовидного профиля C относительной тол щиной, равной 6% .
Нелинейное влияние стационарного значения угла атаки на нестационарные возмущения потока рассматривалось Сиуэллом [2®^], однако полученные им результаты вызывают некоторые сомнения ^).
§ 13.4. Гиперзвуковой метод Лайтхилла
Результаты двух |
предыдущих разделов, полученные |
в предположении, что |
Мб мало, не пригодны при больших |
числах М, т. е. при гиперзвуковых скоростях потока. Одна ко при этих скоростях можно получить относительно
1) Этот эффект при колебаниях относительно носка может быть легко исследован с помощью решения Ван-Дейка [®®®1-
Простое приближенное нелинейное решение (см. Лайтхилл 1^*“]).
При M > 1 скачки уплотнения и волны разрежения образуют малые углы с направлением невозмущеиного потока (осью х). Следовательно, в таком потоке градиенты в направлении, поперечном к направлению полета, вели ки по сравнению с градиентами по направлению, параллель ному полету. Кроме того, поскольку компоненты скорости, параллельные волнам, не претерпевают в них изменений, то поперечные компоненты возмущения скорости должны быть велнки по сравнению с осевой. На основании этих фак тов Хейс [®“] предложил приближенную модель движения, согласно которой каждый плоский слой жидкости, перво начально перпендикулярный направлению невозмущеиного потока, сохраняет спою форму при движении вниз по пото ку, а движение жидкости внутри самого слоя происходит по законам одномерных неустановившихся течений. Таким образом, задача об обтекании крыла, совершающего любое заданное движение по нормали к своей поверхности, может быть сведена к исследованию одномерного движения поршня в невозмущенном газе. Ошибка такого приближения имеет порядок в сравнении с единицей.
Общее исследование последней задачи также является делом отнюдь не простым (см. Релей [^*"]; Курант и Фрид рихе ['**], глава 3) ^). Однако если возмущения, создаваемые поршнем, рассматривать как простые волны, для которых давление на поршень зависит только от мгновенной скорос ти W (которая здесь не безразмерна), то задача относитель
но упрощается и давление определяется |
соотношением |
i = [ l + T ( V - » ( t ) |
0 3 .4 .1 ) |
где Po и AQ ~ давление и скорость звука в невозмущенном потоке. Результат (13.4.1) точен для течения расши рения, наличие же скачка уплотнения (а следовательно и нарушение изэнтропичности потока) делают это выраже ние в случае течения сжатия лишь приближенным. Лайтхилл, однако, показал, что если |«у/До |< 1. то кубическая аппроксимация, образованная первыми четырьмя членами
1) См. |
также Л. И. |
С е д о в , |
Методы подобия и размерности |
в механике, |
Гостехиздат, |
М.—Л ., |
1951. (Прим, ред.) |
разложения в ряд выражения (13.4.1) и имеющая вид
C точностью до 6% совпадает как с выражением (13.4.1), так и C точным решением для случая скачка уплотнения максимальной возможной интенсивности. Вследствие этого Лайтхилл предложил использовать приближенное выраже ние (13.4.2) в практических задачах ^).
Нормальная составляющая скорости (за положитель ное направление которой принято направление от поверх ности) на верхней и нижней поверхностях симметричного тонкого профиля, имеющего распределение толщины 2g{x) и угол атаки а, приближенно задается соотношением
T а Т о ], |
(13.4.3) |
где V есть нестационарная компонента безразмерного скоса потока (здесь приняты обозначения предыдущих глав). Подставляя выражение (13.4.3) в (13.4.2) и вычисляя пере пад давлений на крыле, получим
■= [2 у + у(у + 1)МёГх |
I У(У+1) |
М (а + |
о)-Ь |
+ |
6 |
(13.4.4) |
|
|
|
|
|
Если теперь этот перепад |
давлений |
отнести не |
к ро». |
а к скоростному напору невозмущенного потока, и сохра нить лишь члены, линейные относительно v, получим сле дующее выражение ^):
t,UV2
|
|
|
+ ( ^ |
) |
М” loc' + g a } |
о. |
(13.4.5) |
||
1) |
В |
работе Лэндала |
рзо] |
дано |
выражение, |
существенно более |
|||
точное, |
чем |
выражение (13.4.2); им, по-видимому, |
можно пользо |
||||||
ваться |
при |
исследованиях |
флаттера |
до чисел |
M = |
1,5. |
См. также |
||
работу Моргана, Раньяна и Хакеля [^гз]. |
|
|
|
||||||
®) |
Следует отметить, |
что |
линеаризированное |
выражение от |
|||||
(13.4,5), |
а именно |
|
|
|
|
|
|
||
/ = -^
M
совпадает с результатом теории поршня (см. § 1.4 и (9.1.13)).
Заметим, что ограничение Joy/aol < 1. установленное для (13.4.3), накладывает на (13.4.5) ограничение вида
М[б + | а И -(1 + А ;)б ,]< 1, |
(13.4.6) |
где — амплитуда нестационарного движения. Это огра ничение является аналогом ограничений линеаризованной теории Мб, Щ 6 < 1 (см. (1.2.32)).
Для того чтобы сравнить приближенное решение для случая гиперзвуковых скоростей (13.4.5) со вторым при ближением, полученным в предыдущем разделе, разложим выражение (13.3.17) в ряд по отрицательным степеням чис ла М. В результате получим выражение
' = ж { ч |
- С 4 ^ |
) м г , . + о ( - ^ ) } . . |
(13.4.7) |
которое C точностью до |
членов О (М^) совпадает |
с (13.4.5) |
|
в соответствии с |
приближением Хейса. |
|
|