книги / Потенциальная теория неустановившихся сверхзвуковых течений

Пусть функция V задана уравнением (10.4.10). Тогда, согласно (4.5.1), для потенциала имеем

в фигурных скобках после точки с запятой. Разлагая выра­ жение (10.6.1) в ряд и пренебрегая членами порядка Л" (в соответствии с тем приближением, в котором получено

Ф = аФ'“’ + 1^а [рФ '"’ -л:оФ «»+ ^ "(Р Ф »’ - ;с Ф ‘"»)]- (Ю .6.4)

Потенциалы Ф‘®’ и Ф‘” для узкого треугольного крыла

мданы выражениями (10.5.16) и (10.5.17) соответственно. Подстановка их в (10.6.4) дает

представляют собой квазистационарное приближение к реше­

пределение подъемной силы по хорде крыла

| ^ = Ч й + ‘'0 —XiIg 6

( 1 0 .6 .8)

Подставляя потенциал (10.6.5) в формулу (10.6.8) и интегри­ руя, получим

Если величину (dLldx) вычислить для широкого тре­ угольного крыла, воспользовавшись результатами § 10.2, то вместо выражения (10.6.9а) мы получим

Заметим, что этот результат непосредственно следует и из выражения (10.6.9а), если при т > 1 функции ^ и fj в нем положить постоянными и равными единице.

Коэффициенты подъемной силы и продольного момента (ср. C (10.4.11а) и (10.4.12а)), соответствующие выражениям (10.6.9), примут вид

Как и в плоском случае (§ 5.3), и в случае прямоуголь­ ного крыла, здесь квазистационарный коэффициент демп­ фирующего момента CMQ отрицателен при всех значениях M

и XQ, тогда как дополнительный член молсет иметь как

тот, так и другой знак. Уравнение границы устойчивости получится (в случае колебаний с одной степенью свободы),

Рис. 10.5. Границы устойчивости треугольного крыла относительно низкочастотных продольных колебаний, см. (I0 .6 .I6 ).

показаны на рис. 10.5 (пунктирные линии соответствуют случаю т > 1) и их можно сравнить с рис. 5.2 и 7.7.

В плоскости М) область возможной неустойчивости при любых положениях оси получится, если потребовать, чтобы оба значения х^, являющиеся решениями уравнения

Этот результат показан графически на рис. 10.6. Полученные выше результаты теряют смысл при около­

Этот же результат был получен также Мэнглером [“ =], использовавшим совершенно иной метод, (См, также работу ^ьелте_1®“].)

Величина суммы (10.6.19) достигает минимума при

Очевидно, неустойчивость может возникнуть лишь при довольно больших удлинениях, например сумма Сщ-\- -\-С . > о при б > 30° и А: = 0,1.

10.7. Нагрузки при вертикальном порыве ветра

При вычислении нагрузок на широкое треугольное крыло, входящее в резко ограниченный (ступенчатый) порыв ветра, можно воспользоваться результатами § 10.2 (Стрэнг Майлс 1^®®], 1^®®]). При исследовании лее ана­ логичной задачи для узкого треугольного крыла мы вынуж­ дены вновь прибегнуть к приближенной теории обтекания крыла малого удлинения.

Рассмотрим сначала широкое треугольное крыло, для которого интеграл от потенциала по размаху задан выраже­

оо

(10.7.2)

После дифференцирования и интегрирования по частям, для распределения подъемной силы вдоль хорды крыла получим следующее выражение:

оо

Соответствующий коэф(|)ицие11Т подъемной силы будет

Соответствующие результаты для широкого треуголь­ ного крыла, испытывающего внезапное изменение угла атаки (t» = a l (0), были получены в работах Стрэнга [®'®]

ния, к которому применимы результаты § 9.7. Поскольку возмущения в некотором сечении по хорде крыла х возни­

(i|j) отличается от интеграла х из § 9.7 лишь множителем 6®, мы имеем

Коэ(|х})ицнент подъемной силы, соответствующий выра*

Рис. 10.7. Нарастание коэффициента подъемной силы, отне­ сенного к своему значению в установившемся движении, для треугольного крыла, входящего в однородный ступенчатый порыв ветра: а) широкое треугольное крыло ( т > 1); б) узкое треугольное крыло (ш <С1).

жению (10.7.5), имеет вид

ных значениях аргумента. Если М/ < 1, то часть интеграла, связанная с операцией дифференцирования по х, (д!дх), тождественно обращается в нуль, а часть, содержащая {didt), может быть проинтегрирована по частям, откуда, если аргумент функции %принять за переменную интегри­ рования, получим

C,.= 12atg6(M tga)(M y] (I+ Mt?g6)< (М 'О )-

слагаемые, и выражение для коэффициента подъемной силы имеет вид

C , = 4 a t g a { ( . - ^ ) X ( ^ ) +

Первое представляет собой время, измеренное в длинах хорд, а второе — соответствующий параметр подобия. Раз­ делим (10.7.7) на стационарное значение коэффициента

t (T)Jft

(1 + ШТ)»

(10.7.10b)

Интегралы в формулах (10.7.10) могут быть взяты чис­ ленно, если использовать значения функции х с рис. 9.6. Результаты вычислений приведены на рис. 10.7,6 для зна­ чений т = 0; 0,1 и 0,5 и их можно сравнить с данными рис. 7.9 и зависимостью (2/я)х на рис. 9.6 (эта последняя зависимость описывает также и характеристики прямоуголь­ ного крыла малого! удлинения, см. § 11.4). Соответствую­ щее исследование характеристик треугольных крыльев ма­ лого удлинения, испытывающих внезапное изменение угла атаки, проведено в работе Ломэкса и др. которые использовали несколько иной подход к этой задаче. Зада­ ча о входев синусоидальный порыв ветра рассматривалась Дришлером