книги / Потенциальная теория неустановившихся сверхзвуковых течений

более простую форму, = у), которую мы имели выше. При таком уравнении отраженной линии Маха не удается использовать теорему свертывания, с помощью

задачи в виде интегрального уравнения Винера — Хопфа. Численный метод, основанный на теории конических тече­ ний, был дан в работе Экыома [Ч. Частный случай, когда заданный скос потока не зависит от г/, исследовался также

полностью законченное исследование задачи дано в работе Галина [’®], который воспользовался разложением в ряд Фурье в методе Магнарадзе (§4 .2). (См. также работу Стыоартсона [^’®]).

§ 7.5. Прямоугольное крыло конечного размаха

Решение для потенциала в окрестности угла прямо­ угольного крыла можно обобщить на целое прямо­ угольное крыло в том случае, когда отсутствует взаимодей­ ствие боковых, кромок. Рассмотрим крыло, изображенное на рис. 7.5 в системе координат {х\ у). Любая точка зоны I лежит впереди линий Маха, проходящих через передние угловые точки, а следовательно, здесь не сказывается влияние боковых кромок. Точки зоны I I лежат ниже по потоку от линии Маха, проходящей через левую угловую точку, но выше такой же линии, проходящей через правую угловую точку, а следовательно, на них оказывает влияние лишь левая боковая кромка. Точки зоны Г Г, наоборот, подвержены воздействию лишь правой боковой кромки. Наконец, точки зоны I I I лежат ниже по потоку от обеих указанных линий Маха и, таким образом, захвачены влия­ нием обеих боковых кромок, действующих, однако, незави­ симо, при соблюдении условия с ' < 2 6 . Таким образом, результаты, полученные для изолированного угла, позво-

Если же р я ,< 1 , потенциал в области, расположенной ниже по потоку от одной из рассмотренных линий Маха, после ее отражения от противоположной боковой кромки

Рис. 7.5. Прямоугольное крыло отно­

сительного удлинения Я, = 26/с; пока­ заны области влияния; только передней кромки (У), одной нз боковых кромок (/у H УУ')н обеих боковых кромок (У/У).

уже не может быть определен суперпозицией решений для случая изолированной кромки, поскольку сами эти кромки

мененным в работе Гана [®*] к случаю стационарного обтекания. Иначе решение нестационарной задачи для'этого

ченные таким способом результаты могут оказаться слиш­ ком громоздкими для того, чтобы найти себе практическое применение, поэтому более целесообразным здесь будет, по-видимому, непосредственное решение задачи (7.1.1—3)

вэллиптических цилиндрических координатах (см. главу 11).

Вприложениях окончательных результатов внимание обычно сосредоточивается на интегралах от потенциала

по размаху, взятых с соответствующим весом. Кроме того, из соображений симметрии (функцию v, а следовательно, и ф всегда можно представить в виде двух компонент — симметричной и антисимметричной относительно у = Ь) можно рассматривать интегрирование не от О,до 2Ь, а от О до Ь. В задачах флаттера и устойчивости обычно можно принять, что распределение скоса имеет вид

в соответствии с общепринятой практикой представления отклонений крыла в форме полинома. Исходя из этого, рассмотрим интеграл с весом следующего вида:

О

(х') = б-*"-"'! ^ (6 - уГФ^ {х\ у , о+ )dy, (7.5.2)

где Ф„ — потенциал, соответствующий распределению ско­

а оставшийся интеграл может быть представлен в аналогич­

показана на рис, 7.6, а. Чтобы упростить пределы, введем

где (7.5.8а) вычислялся как интеграл типа СоЕшна (см.

о^l=l

,в простейшем случае, п = О, представляет интерес

В частном случае гармонических колебаний, преобра­ зуя выражение (7.5.12) к физическим переменным с помощью соотношений (3.10.6,7) и х = рх' и вводя соответствующую

ъ

Фо(^> y ,0 + )d y =

о

л*

= $g<,.(*-5)».(6)<'5. (7.5.13)

есть эффективное удлинение крыла.

Полученные выше результаты справедливы для крыла конечного размаха с эффективным удлинением, большим единицы, при условии, что т и п либо оба четные, либо оба нечетные. В работах Майлса ^) эти результаты были использованы для расчета сил и моментов, действую­ щих на жесткое крыло при продольных движениях и дви­ жении крена.

Из (7.5.14) видно, что чем меньше приведенная частота колебаний k, тем большее значение приобретает влияние удлинения крыла, поскольку первый и второй члены в фигур­ ных скобках выражения (7.5.14) с ростом k убывают соответственно как и В пределе, при очень малых k, пренебрегая в выражениях (7.5.13) и (7.5.14) членами по­ рядка kr, получим

Этот результат можно получить также из соответствуЕощего решения для случая стационарного обтекания, исполь­ зуя преобразования, рассмотренные в §4 .5 .

Майлсом [!” ] H Берманом [^®]. Обширные расчеты были проведены

для де(|)ормнруемых крыльев Брандстаттером и Моршки (®*J.

§7.6. Продольное демпфирование

Вкачестве примера, показывающего основные проявлен ния конечности удлинения крыла, рассмотрим демпфирую­ щий момент при продольных колебаниях с амплитудой а

(ср, § 5.3), так что

рования по х и интегрирования по размаху (у) несуществен­ на, безразмерная подъемная сила полосы, занимающей половину размаха (протяженностью, равной Ь), согласно

.по углу атаки для двумерного крыла (профиля). Подста­ новка зависимости (7.6.1) в выражение (7.6.3) и вычисление

дают нам следующие выражения Для вращательных произ­ водных (ср. §5.3):

^Afg= — Ao { [ 12+ ( " 2 “ “ 2А

Границу области устойчивос:ти относительно продоль­ ных колебаний с одной степенью свободы определим из

уравнения {СMq + C Mi) = О, которое сведется к следующему

бр*( 2 А - 1 ) X q = S (2р*- 1 ) Л - 2 ( р 2 _ 1 ) ±

± Y W + ^ / (З Л - 2 ) 2 - р 2 (6 Л 2 _ 2 ) . (7.6.7)

Области устойчивости для крыльев с удлинениями, рав­ ными Я,= 2, Я, = 4 и Л =оо, показаны на рис. 7.7.

В плоскости (к, М) граница области возможной неустой­ чивости, при любых положениях оси, получится, если

Рис. 7.7. Границы устойчивости прямоугольного крыла относительно .низкочастотных продольных колебаний [см. уравнение 7.6.7)]«

потребовать, чтобы два значения Xq, определяемые уравне­ нием (7.6.7),-сливались. Соответствующие значения удли­ нения определятся из уравнения

•Этот результат показан в виде верхней ветви (Л > 1) на рис. 7.8. Соответствующие результаты для Л < 1 (§11.3) !Представлены нижней ветвью. Видно, что неустойчивость

аппроксимация по А ухудшается с.при($лиженйем числа M

В ТО время как обратным преобразованием от потенциала стационарного обтекания (7.3.6) будет выражение

Этот последний результат мы назовем квазистационарным, поскольку он получен в предположении, что потенциал в любой момент времени t' задается выражением для потен­ циала стационарного обтекания, в которое подставлено мгновенное значение скоса потока в этот момент времени. Таким образом, здесь пренебрегается всякого рода запазды­ ванием во времени. (Ср. этот результат с приводимым ниже выражением (7.7.7), в котором эффекты запаздывания учтены при обратном переходе к физическим координатам.)

Рассмотрим сначала обратное преобразование выраже­ ния (7.4.7). Учитывая соотношения

Если для получения обратного преобразования выраже­ ния (7.4.6) воспользоваться соотношениями (7.7.3) и затем результат проинтегрировать по частям, потенциал будет