Файловый архив студентов. Файловый архив студентов.
1264 вуза, 4629 предмета.
/ Регистрация
FAQ Обратная связь Вопросы и предложения
Добавил:
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Пермский национальный исследовательский политехнический университет
Предмет:
[НЕСОРТИРОВАННОЕ]
Файл:

книги / Потенциальная теория неустановившихся сверхзвуковых течений

..pdf
Скачиваний:
1
Добавлен:
12.11.2023
Размер:
7.57 Mб
Скачать
☆

впеременных {х, t) выражение (6.4.3) можно переписать

ввиде

X Ws (6) я

' К * - = IS p S ‘'б

5 ‘'л

^ / [ л + ( ^ ^ ) з ш в ] х

о

1/р(6)

- л

X ° [ s , у. (в-'*-®)

Результаты этого раздела будут применены в § 10.2 при исследовании треугольного крыла. Кроме того, они могут быть обобщены и использованы для анализа аэродинамики некоторых типов поверхностей управления (см. работы Майлса Определенные интегралы, встре­ чающиеся в применении выражения (6.4.6) к случаю гармо­ нического движения, затабулированы (см. Хакл 1^®-]).

§ 6.5. Стреловидная передняя кромка

Важным частным случаем крыла простой формы в плане является крыло с прямолинейной сверхзвуковой передней кромкой. В этом случае потенциал может быть получен непосредственно из выражения (6.27), хотя некоторые пре­ имущества дает использование, вначале, преобразования Лоренца (3.5.5) (см. ниже § 8.1 и работу Майлса [“*®]). Если в области интегрирования функция v равна констан­ те, как, например, в задаче о движении, внезапно начав­ шемся из состояния покоя, эффект угла стреловидности а учитывается просто умножением потенциала и числа Маха набегающего потока на cos а (см. Майлс 1^°'*]).

§ 6.6. Ускоренное движение крыла

Задача об ускорении симметричного (относительно плоскости Z = 0) крыла под нулевым углом атаки также может быть решена методами, построенными,для нестацио­ нарных задач обтекания крыльев простой формы в плане (см. Майлс [^^®]). В работе Гарднера иЛудлоффа I” ] бы­ ли приведены соответствующие расчеты для случая уско­ рения прямоугольного крыла с клиновидным профилем.

Г Л А В А 7

ПРЯМОУГОЛЬНОЕ КРЫЛО

§7.1. Введение

Вэтой главе мы рассмотрим граничную задачу, которая возникает при исследовании течения в области концов прямоугольного крыла (рис. 7.1). Оценив концевой эффект на одной стороне, мы легко сделаем то же самое для другой

\!/

psQ

Граничная задача для прямо­ угольного крыла.

стороны ИЗ соображений симметрии. После этого, чтобы полу­ чить, окончательный результат, останется лишь просумми­ ровать оба концевых эффекта (если только течения у концов крыла не взаимодействуют между собой; об этом см. ниже). Более того, с помощью преобразования Лоренца решение, полученное для прямоугольной кромки, может быть приме­ нено. к другим крыльям четырехугольной формы в плане

(глава 8).

 

 

Основная граничная

задача формулируется следующим

образом [ср. C формулировкой (6.2.1—3)]:

 

Ф^„ +

Ф «-А ,*Ф * = 0,

(7.1.1)

Ф?1г=о= - V * (t/ > 0),

(7.1.2)

Здесь крыло ограничено передней кромкой д:' =

О и боко­

вой кромкой у = О (рис. 7.1),

а функция Ф*

является

пре­

образованием Лапласа от

Ф по координате х\ Эта задача

 

 

 

 

 

идентична задаче о диф­

 

 

 

 

 

ракции

на

полуплос­

 

 

 

 

 

кости (рис. 7.2), точное

 

 

 

 

 

решение

которой впер­

 

 

 

_L_

вые было дано Зоммер-

 

 

 

фельдом

[““’ ]. Это

об­

 

 

 

 

 

Рис. 7 .2 . Граничная

задача

для

пря­

стоятельство

было

не­

моугольного крыла в полярных коор­

посредственно

исполь­

динатах, после

преобразования

Лап­

зовано

Стыоартсоном

 

ласа.

 

 

 

[” ®]

при

решении за­

 

 

 

 

 

дачи

о крыле.

Однако

этот подход

-не

является

единственным

и

возможен

ряд других путей. Вследствие различия целей, которые ставят перед собой решая задачу дифракции (где инте­ ресуются полем на расстоянии) и задачу о крыле (где опре­ делению подлежат значения потенциала на границе), трудно ожидать, что наилучшим в обоих случаях окажется один и тот же метод.Поэтомуздесь мы рассмотримте методы, кото­

рые, как

нам представляется,

ведут кратчайшим

путем

к решению поставленных

задач.

 

 

§ 7.2. Случай, когда

скос

потока не

зависит

 

 

от координаты по размаху крыла

 

Рассмотрим сначала простейший случай,

когда

задан­

ный скос потока v не зависит от координаты у.

по у,

Если

систему (7.1.1.—3) продис^еренцировать

то решение новой граничной задачи окажется возможным получить путем перехода к цилиндрическим полярным координатам (рис. 7.2) ивведением в рассмотрениеэлементарного решения

(D*=CQ-^he-'>^ZQs^<i>. (7.2.1)

Положив ^ = О и интегрируя с учетом граничного условия (7.1,3) при у = О, мы сможем определить постоянную С,

ИСХОДЯ ИЗ требования, чтобы на больших расстояниях от кромки решение совпадало с соответствующим двумер­ ным решением Icp. (5.2.6)], т. е.

И тФ * = Ф* =

Г 1 К * .

(7.2.2)

V->co

 

 

 

в результате для потенциала на крыле

получим два

выражения ^):

 

 

 

 

V

 

 

Ф* Iz=O = У *\

dT\,

(7.2.3а)

Ф* Iz=O =

erf

 

(7.2.3b)

Чтобы в выражении

(7.2.3)

перейти от

изображения

к оригиналу, воспользуемся тем обстоятельством, что в ста­

ционарном

случае (X = s) функция Грина

определяется

соотношениями

 

V

 

 

.5Г^|

(nsTi)-V2e-sTirfTi| = -| arcsin

(^ <•*').

 

= 1

(7.2.4)

Подставляя теперь в выражение (4.2.3а) в качестве функ­ ции ф выражение (7.2.4) и интегрируя по частям, после замены переменных S = ^sec^0, для обратного преобразова­ ния от ф*/Г* в решении (7.2.3а) получим

y) = J^{'KX')-

агссоз(1 / / * ) ^ 2

 

 

J

J,[% (x'^-y>sec>9)'h]d6(y,<x'),

(7.2.5а)

О

 

 

 

 

g '(x ':y )= J,(^ x ‘)

(у > х ').

(7.2.5Ь)

Наконец, применяя к решению (7.2.3) теорему свертывания.

Л'

(7.2.6)

1) Выражение (7 .2 .ЗЬ) может быть получено также и из решения задачи (7 .1 .1 — 3) в параболических цилиндрических координатах,

как это сделано,D,работах Лэмба

(^2®],

применительно к зада­

че ди(|)ракции. (См. также работу

Ротта

 

в формуле (7.2.5а) первый член соответствует теории, полоски (ср. C (5.2.7,8)), а второй и является поправкой, учитывающей концевой эффект.

§7.3. Задача стационарного обтекания

Прежде чем приступить к рассмотрению нестационар­ ной задачи, в случае, когда скос потока является произволь­

ной функцией XVi у (или х

и у), разберем соответствующую

 

 

 

 

задачу

о

стационарном

 

 

 

 

обтекании.

 

 

 

 

 

 

 

Общее

решение ста­

 

 

 

 

ционарной

задачи

было

 

 

 

 

дано

Эввардом

[®®1 (в

 

 

 

 

частном

случае,

когда

 

 

 

 

крыло является плоской

 

 

 

 

пластиной, решение впер­

 

 

 

 

вые было дано Бузема-

 

 

 

 

IiOM

 

использовавшим

 

 

 

 

коничность

течения).

 

 

 

 

Развитый

Эввардом ме­

 

 

 

 

тод явился мощным ору­

 

 

 

 

дием исследования обтег

 

 

 

 

кания

крыльев

самой

 

 

 

 

различной формы в пла^

 

 

 

 

не (см.

также

моногра-.

 

 

 

 

фию Уорда 1*®®1). Эввард

 

 

 

 

сделал также попытку f®’ ]

Рис. 7.3 . а) Область интегрирования

применить

свой

метод

к не<

 

шонарным зада­

в выражениях (7.3.1)

и (7.3.3) при

 

у < х '; б) область интегрирования

чам,

однако

!получен­

в выражении

(7.3.1)

при

у > х ' .

ные

им результаты не­

 

 

 

 

верны,

за

исключением

тех случаев,

когда

!йриведенная

частота

(или

скорость

изменения во времени) настолько мала, что членами поряд­ ка X* можно пренебречь. В этом последнем случае преобра­ зования, рассмотренные в- § 4.5, делают результаты Эвварда

пригодными к использованию ^). Стьюарт и Ли

задались

целью

показать,

что пршщщ ^^ивалентньис

плащфей

1)

Пределы

применимости этих рёзудь.та.трв были указаны

Эввардом в' его

более

поз)^ней работе [ьв].

 

Эвварда (см. ниже) применим непосредственно к решению

нестационарных

задач.

Однако как их доказательство

 

так и примеры применения к конкретным задачам

(Стьюарт и Ли

Ли

неверны (см. работы Майл­

са

Стьюарта и Ли [-’ “]). Чен [^®] не вполне последова­

тельно использовал метод Эвварда для получения прибли­ женных решений. См. также работу Стьюартсона

Рассмотрим прямоугольное крыло, простирающееся до бесконечности в одном квадранте (рис. 7.3,а). Потенциал

на верхней поверхности плоскости

крыла

Z = O связан со

скосом при Z = O соотношением (6.2.7),

в котором

х поло­

жено равным

нулю:

 

 

 

 

 

у-К-'с'-а

 

 

 

 

4>\z-

 

(g .

Л )

 

(7.3.1)

 

 

 

 

Если у >

х', выражение (7.3.1)

сразу

дает

решение

задачи, поскольку функция в этом случае известна повсю­ ду в области интегрирования (рис. 7.3,6). Если же 0 < (/ < л:', то нижний предел интегрирования по т] равен наибольшей из двух величин: — I (слева от которой о' обращается в нуль)

и y — (x' — ‘i),

а полная область интегрирования есть

сумма трех

областей S j + Sa + Sg, показанных на

рис. 7.3, а. Поскольку функция v в области Sg не известна,

формула

(7.3.1) не дает нам явного решения задачи при

у < х ' и,

следовательно, сначала необходимо определить v,

воспользовавшись условием, что потенциал ф в области Sg должен обращаться в нуль.

C целью упрощения преобразований выражения (7.3! 1), введём, в, несколько иных обозначениях характеристические координаты (см.. § 3.7), записав

=D C p - q.(A:',</.0 + )= ? ( .v ,P )

v'{x', y) = v{x, у).

(7.3.2a, b, с)

Теперь,

воспользовавшись соотношениями

(3.7.2)

и (3.7.4),

для якобиана и гиперболического

радиуса,

соответственно, выражение (7.3.1)

мы сможем представить

в виде двух уравнений:

 

 

-

1

г f(x,

r\)dr\

’Р

Jt

\

(7.3.3а)

 

fix ,

Tl) =

[

(7.3.3b)

 

 

- V 2 { x - i )

Оба выражения (7.3.3а и Ь) имеют вид интегральных уравнений Абеля (Уиттекер и Ватсон стр. 229). Обра­ щая первое из них, (7.3.3а), по формуле Абеля, получим

„ - -

д C 'fix, у) dy

 

(7.3.4)

Из граничного условия, устанавливающего равенство <р нулю в области R,. следует, что при у < х ф = 0, откуда

C помощью равенства (7.3.4) получаем, что / = O при т) < х. Таким образом, нижний пред^ интегрирования в выраже­

нии (7.3.3а) может быть заменен на х и мы будем иметь

Ф{х, у) = ‘

(7.3.5)

I V y-r\

■

Областью интегрирования в выражений

(7.3.5) является

одна лишь область Si, которую Эввард называет эквива­ лентной площадью. Таким образом, исходя из условия, что Ф = 0 в области R, мы установили, что влияния областей 5-2 и Sg на величину потенциала взаимно уничтожаются

(гасят

друг

друга).

 

 

 

Переходя в выражении (7.3.5) к исходной системе коор­

динат,

получим

(*'-1)4-1/

 

 

 

 

 

у' (I.

 

Ф (х■,.(/, 0 +

) = ^ - 5

jj

= . (7.3.6)

 

Этот

результат справедлив для всех положительных

значений у.

 

 

 

 

§7.4. Преобразование Фурье в задаче

онестационарном обтекании

Если в дифференциальном уравнении (7.1.1) ч приравнять нулю, так что параметр Xбудет просто равняться s, мы полу­ чим квазистационарную граничную задачу, т. е. поток в любой момент времени можно приближенно рассматри­ вать как стационарный. Решение этой упрощенной задачи

может

быть

получено заменой функции v в выражении

(7.3.6)

 

на V (которая все еще зависит от х) с последующим

взятием

от

этого

выражения преобразования

Лапласа

^1^0 = ^

\

dx' \

Cll

(7.4.1)

 

 

 

 

1(.v'-6)-iy

 

Здесь

индекс «О» означает квазистациойарное приближение

к рещению исходной задачи. Теперь, меняя в этом выраже­

нии местами порядок интегрирования по jc' и | (так, что

пределы интегрирования по I будут простираться теперь

от Одо 00, а по х' соответственно от | до со)

и вводя замену

переменной 1 =

—

убедимся,

что получившийся инте­

грал по I есть не что иное, как

преобразование Лапласа

от функции V (I,

Ii). Следовательно, можно

написать:

ф :

 

1+V

у*(д,

(7.4.2)

 

 

 

I с - 1/ 1

Отсюда, если только в экспоненте (а не в функции V*, кото­ рая задана соотношением (7.1.2) как функция s и </) параметр s заменить на X, непосредственно следует решение исходной граничной задачи (7.1.1—3), которое имеет вид

(7.4.3)

ПIt-Wl ^ * '—(// —Л)2

Для того чтобы получить обратное преобразование выра­ жения (7.4.3), следует проделать следующее: выполнить интегрирование по C по частям, учитывая, что предел внут­ реннего интеграла, при стремлении ^K нулю, равен nV* {s, у); воспользовавшись формулой (5.2.7), получить обратные

преобразования

от функций (s“ + x “)-V 2 и (s2+ x 2)-V 2x

 

X ex p

[ — (s® +

U

и применить теорему

свертывания

к их произведениям на функцию V*. В результате этих

преобразований получим (см. Майлс Р®®1 и

 

 

 

X'

(х'-|)

 

 

 

Ф =

+

\

JA y -V ix'

 

 

 

 

 

Ь-1-V

. . /7 4 4\

 

 

 

<иг — \ ^ Л)

 

 

 

. / p H p r i i P ' '

'

где Фз есть составляющая потенциала, которая получается

по теории

полоски

из (5.2.8) ^):

 

 

 

 

 

X'

 

 

 

 

 

Ф .=

\

 

y )d l.

 

(7.4.5)

 

 

О

 

 

 

 

Вводя

замену

переменной

^ = (j(:'-.-g )co s6,

полу­

чим другую форму потенциала Ф

 

 

 

 

я /2

х'

 

 

 

ф = ф ^ - ± j CfG^

y o [ x ( j c ' - | ) s i n e ] d | x

 

 

 

(x '-l) cos 0+ 1/

V(I. r\)dr\

 

 

 

 

ь А

 

 

(7.4.6)

 

 

a , /(^:'-S)*COS2e_(j/—Tl)2

 

 

|(x'-E)cose-u I ' \

b/

. I/

 

Можно получить еще и потенциала, введя в (7.4.6) подстановку "Ц= У ( х ' — I) иметь

третью форму выражения для еще одну тригонометрическую cos 0 cos В результат.е будем

я/2 X'

Ф = Ф , - - 5 - $ <i0 U o [ х ( х : ' - Е ) S in e j d l X

О

О

 

2 arcsln V v / (* -t) COS 0

 

[

V[l, у

1) COS Qcos ф]с1ф,

_______________^

 

(7.4.7)

1) Результат (7.4.4) напоминает преобразование Магнарадзе из § 4.2, однако решение (4.2;3) здесь непосредственно неприменимо и Требует предварительного преобразования граничного условия (7.1.2).

где аresin в верхнем пределе должен быть заменен на если его аргумент превзойдет единицу. В случае, когда V не зависит от у, интегрирование по ф может быть выполнено в явном виде, и тогда выражение (7.4.7) сведется

к ранее полученному нами результату (7.2.5) и (7.2.6).

j]=(x'~i)cose~j,

;шу-(х'-^)со80

\,1!=(х'-^)созв*1/

б)

Рис. 7.4 . а) Область интегрирования (| ,TJ)

в выаражении (7.4.6)

при О <

<

д:' cos 0;

б) область интегрирования (S, т])

в'выраже­

нии (7.4.6) при

Jt' COS 0 < у

<

х '.

Выражение (7.4.6) можнолнтерпретировать как обобще­ ние метода эквивалентных площадей Эвварда, поскольку область интегрирования ограничена псевдохарактеристи-

ческими линиями

т) =

1/ ±

(лг'— &) cos0 и отраженной от

боковой

кромки

линией

т) = i/—•(лс'— g) cos 0, которая

задается

уравнением

t) = (л:' — |) cos0 — t/ (рис. 7.4).

К сожалению, эта интерпретация не может быть распростра­ нена на крылья со скошенными, или криволинейными кром­ ками, так как, в общем случае, уравнение отраженной линии Маха будет иметь вид n\= f(x', х' — \ —у), а не

Соседние файлы в папке книги
Помощь Обратная связь Вопросы и предложения Пользовательское соглашение Политика конфиденциальности