книги / Потенциальная теория неустановившихся сверхзвуковых течений

Другая форма уравнения Бернулли может быть полу­ чена, если ввести в рассмотрение скорость звука а, опреде­ ляемую соотношением

(Ы .7 )

Вычислив эту производную из уравнения (1.1.2) и со­ поставив полученное выражение с уравнением (1.1.6), получим

Подставив (1.1.5) в (1.1.1) и исключив Q с помощью (1.1.2), (1.1.7) H (1.1.8), получим дифференциальное уравнение для потенциала (р, которое может быть представлено в виде

где q при выполнении дифференцирования в уравнении (1.1.9а) должно быть постоянным ^).

Остается определить граничные условия, при которых нужно интегрировать уравнение (1.1.9), и рассмотреть приближения, справедливые при этих граничных усло­ виях. Обычно в классической (т. е. акустической) теории малых возмущений (Релей §244) удерживаются лишь члены первого порядка относительно ср, так как возмущения предполагаются настолько малыми, что членами второго порядка малости относительно (р и его производных можно пренебречь. При таких допущениях уравнения (1.1.9) и (1. 1.6) могут быть приближенно представлены в виде

' Представление уравнения для потенциала в форме (1 .1.9а) было подсказано автору Герриком (I. Е. Garrick).

Следует подчеркнуть, что уравнения (1.1.10) и (1.1.11) составлены для системы координат, неподвижной в прост­ ранстве, и входящие в них частные производные по вре­ мени, вообще говоря, не инвариантны к преобразова­ ниям пространственных координат, зависящим от времени. В частности, в системе координат, движущейся в направле­ нии отрицательной оси х с постоянной скоростью V, урав­ нения (1,1.10) и (1.1.11) будут иметь вид [ср. с (1.1.9а)]:

где D/Dt означает операцию полного ди(])ф(0ренцирования по времени в линейном приближении. Уравнения (1.1.12) и (1.1.13) представляют собой обычные линеаризованные уравнения, описывающие возмущения, вносимые в поток нестационарным движением тонкого крыла. Они могут так­ же быть интерпретированы как уравнения малых возмуще­ ний в произвольном равномерном потоке, движущемся со скоростью и вдоль положительной оси х в неподвижной системе координат.

Истинный порядок приближения, имеющий место при переходе от уравнений (1.1.6) и (1.1.9) к уравнениям (1.1.10) и (1.1.11) или (1.1.12) и (1.1.13), может быть уста­ новлен а posteriori^) в каждом конкретном случае. В зада-

оснований, на недостаточную математическую строгость. Но у этого вопроса есть две стороны. Как бы важно 1ш<было сохранение высо­

кого уровня в чисто математических исследованиях, физик в ряде случаев поступит лучше, довольствуясь аргументами, которые с его точки зрения являются достаточными и убедительными. В его пред­ ставлении, воспитанном на иных идеях, действия чистого матема­ тика могут оказаться не более, а менее наглядными н убедитель­ ными. Кроме того, во многих случаях трудно настаивать на более высоком математическом уровне изложения, так как это займет неоправданно много места». Релей, Предисловие ко 2-му изда-

чах акустики, как правило, такое приближение оказывается вполне удовлетворительным. C другой стороны, в аэродина­ мических задачах вследствие их разнообразия целесооб­ разно установить получающуюся степень приближения а priori. В этой связи мы начнем исследование с рассмотре­ ния обтекания тонких почти плоских крыльев. В главе 12 аналогичный анализ будет проведен применительно к тон­ ким почти цилиндрическим телам.

§ 1.2. Плоские тела

Рассмотрим замкнутую поверхность, движущуюся со скоростью и в направлении отрицательной оси х и задан­ ную в перемещающейся вместе с ней декартовой системе координат {х, у, г) уравнением

= 0 (1); /i — двузначная (соответствующая верхней и нижней сторонам поверхности) непрерывная (но не обязательно ди(^еренцируемая) функция безразмерных координат (jc//) и (i///) и однозначная функция безразмерного времени (UtIl). Безразмерный параметр б является мерой вертикаль­ ной (т. е. вдоль оси z) протяженности границ (включая сме­ щения, связанные как сдвижением, так и с толщиной тела). Введем также безразмерный параметр а — меру поперечной

пню «Теории звука».] Но не следует забывать о том, что и нелинейная •краевая задача формулируется на основе определенных упрощающих допущений, могущих исключить некоторые особенности задачи, существенные при отыскании решения, являющегося наилучшнм приближением к физической реальности. Так, до сих пор (к моменту написания этой работы) не получил удовлетворительного разрешения

удлинению (ниже для обозначения относительного удлине­

В этом случае благодаря предположению о малости б можно искать линеаризованное решение нелинейных уравнений течения, разлагая ф в ряд по степеням б и сохраняя лишь первый член этого разложения. При этом мы, вообще говоря, должны будем предположить, что не только функция Л, но также и ее первые и вторые производные по безразмер­ ным координатам имеют порядок 0 (1 ). Однако совершенно очевидно, что в окрестности кромок поверхности (т. е. гео­ метрического места точек однозначности функции h) произ­ водные не удовлетворяют этому предположению. В част­ ности, если благодаря (1.2.2а) и предположению о равно­ мерной сходимости разложения ф в ряд по степеням г гра­ ничные условия на поверхности снесены на плоскость 2 = 0, то кривизна поверхности на кромке неявно предпола­ гается бесконечной (так называемая острая кромка); с дру­ гой стороны, если передняя кромка тупая, то в реальном потоке здесь будет иметь место критическая точка (или линия, состоящая из таких точек), в окрестности которой несправедливо допущение о малости возмущений.

Следствием таких локальных нарушений принятых допущений явятся неравномерная сходимость упомянутого выше разложения по б в окрестности кромок и возможное появление особенностей на самих кромках (если острой является задняя кромка, то особенность может быть устране­ на C помощью условия. Кутта—Л<уковского, см. ниже). Важность этих особенностей отмечал Релей который указывал, что они в общем случае препятствуют построению решения новой краевой задачи путем дифференцирования известных решений. Следовательно, для того, чтобы сделать единственным решение данной краевой задачи, кроме обыч­ ных граничных условий может оказаться необходимым уста­ новить характер особенности на кромке. В теории крыла это обычно можно сделать, исходя из физических соображений, но то, что это не всегда столь очевидно, можно усмотреть на примере классической задачи электромагнитной дифрак-

1“®Ч разработали метод устранения особенности с помощью локального преобразования координат, при этом прибли­ женное решение дает равномерную аппроксимацию в окре­ стности кромки. Приложение этого метода к конкретным задачам может 01сазаться весьма сложным, не совсем ясны и пределы его применимости, но очевидно,’ что этот ме­ тод позволяет, в принципе, преодолеть один из основных

C линеаризацией, используя метод анализа, впервые приме­ ненный к двумерной задаче теории крыла в работе Лина, Райсснсра и Цзяна 1^*®] и обобщенный Майлсом

на пространственный случай. Следует подчеркнуть, что эти ограничения вытекают из условий непосредственно вблизи тела и отнюдь не обеспечивают справедливость лине­ аризованного решения на больших от него расстояниях, где нелинейные эффекты могут стать существенными (Уайт­ мен т , [®о®]).

Введем сначала безразмерные координаты

(1.2.3а)

(1.2.3Ь)

ч = й ’

(1.2.3с)

^ Wt

(1.2.3)

и безразмерный потенциал скоростей ф, связанный с ф сле­ дующим соотношением:

Безразмерные параметры р, А и е определяются граничными условиями и требованием, чтобы т и ф в окрестности тела имели порядок 0(1) относительно б. Параметр р определяет протяженность этой окрестности по вертикали, k характе­ ризует скорость происходящих физических изменений

(в случае простых гармонических колебаний это так назы­ ваемая приведенная частота) и е — это малый, по опреде­ лению, параметр возмущений.

Точное граничное условие, выражающее требование, чтобы у тела поток двигался по касательной к его поверх­ ности, исходя из (1.2. 1), имеет-вид

Это выражение можно упростить, вспоминая, что, по п|ю; положению, е4)| мало по сравнению с единицей, а е/а** долл^но быть малым по сравнению с главными члсна.ми в квадратных скобках. Последнее заключение можно прове­ рить а posteriori подстановкой (см., например, (1.2.24)), а также получить из рассмотрения правой части вырал<еиия

(1.2.6) , которая должна быть порядка 0 (1). Если е/а- не мало, мы получим, что бр./а®= О (1), а это, в свою очередь, приводит к заключению, что \i/a > 1 (так как а > б, согласно ( 1.2.2Ь)), т. е. поперечные размеры рассматриваемой (существенной) окрестности тела малы по сравнению с вертикальными, а это несовместимо с предположением о том, что тело плос­ кое. Таким образом, требование, чтобы обе части уравнения (1.2.6) были одного порядка, приводит к двум возможным соотношениям между величинами б, р. и е, зависящим от

невозмущгнного потока, как это имеет место в случае верти­

должен быть заменен дополнительным параметром, допускающим случай А > 1.

Если мы подставим теперь безразмерные обозначения (1.2.3) и (1.2.4) в нелинейные уравнения (1.1.8) и (1.1.9) ^), потребуем, чтобы возмущения давления (а следовательно, и разность между а и а„) были малы“) и пренебрежем всеми членами, которые определенно малы по сравнению с чле­ нами, сохраненными нами, мы получим уравнение для потен­ циала в следующих двух, зависящих от выбора р, в выраже­ нии (1.2.7) видах:

% = (М ’ь+Са) % + + 4 С 4 г | ) ц т 1 . (1 -2.8а)

Имеются семь различных возможностей, соответствую­ щих следующим сочетаниям порядков величин:

займет в данной монографии). Прежде всего условие |Cj |= 1 дает нам соотношение

которое определяет величину возмущения. Далее, из тре­ бования, чтобы Cl было малым, вытекает ограничение

В общем случае уравнение (1.2.26) содержит три параметра: А, M и о, и его нельзя представить в виде, где сохранялось бы менее чем три комбинации этих параметров, если не выполнено условие < 1. В последнем же случае будет

иметь место известный параметр подобия j М“ — 1 P^=Or.

Аналогичным образом можно проанализировать и осталь­ ные случаи. Окончательные результаты такого анализа представлены в таблице 1. Установлено, что к нелинейному уравнению для потенциала скоростей в окрестности тела приводит лишь случай А , и что достаточным условием линей­ ности уравнения потенциала, описывающего малые возму­ щения среды в этой окрестности, является выполнение одно­ го (или более) из следующих неравенств:

Наконец, достаточными условиями ®) малости как возмуще­ ний скорости, так и давления будут следующие:

б C l , М б « 1 , А: б«1 и АМб < 1 . (1.2.32)

1) Отметим, что

2) Следует подчеркнуть, что все эти ус.човия могут н не быть необходимыми. Так, неявно предполагалось, что параметр возмуще­ ния в имеет равномерную (относительно к) нижнюю границу, тогда как в некоторых нестационарных задачах кг может быть, при боль­ ших к, порядка О (1). '

Отметим, что эти условия являются достаточными лишь поскольку нами не рассматриваются или обходятся особен­ ности на кромках (ср. с рассуждениями на стр. 14 и 15).

При выполнении условий (1.2.31) и (1.2.32) справедливы линеаризованные уравнения для потенциала скоростей

и для давлений в форме (1.1.12) и (1.1.13) соответственно,

аграничные условия на крыле приближенно могут быть представлены в виде

где 2ц, означает координату z поверхности крыла. Более простые уравнения можно получить лишь при более жест­ ких ограничениях, таких как в случаях но урав­ нения (1.1.12), (1.1.13) и (1.2.33) охватывают все указанные

симметричную (по отношению к плоскости z = 0) компо­ ненты и представление их в виде ^)

жение потенциала, что возможно благодаря линейности как граничных условий, так и дифференциального уравнения.

1) Одновременно параметр б, характеризующий толщину, также

нестационарное движение крыла является полностью антисимме­

достаточным для линеаризации дифференциального уравнения потен­ циала ф<в>, тогда как уравиеине для можно линеаризовать.