книги / Потенциальная теория неустановившихся сверхзвуковых течений

вида y*-4i (как на дозвуковых передних кромках в линей­

вместе с соответствующим ей потенциалом ф‘“’ (см. ниже (8.3.8)). Поскольку и ф‘” и ф”.’ удовлетворяют уравнению (8.2.2), ему должна удовлетворять и функция ф'-’. Диффе­ ренцируя выражение (8.3.5) по z и полагая Z = О, получим

лять в явном виде, удовлетворяет условиям (8.2.5) и (8.3.2,3)

вместе с соответствующим ей потенциалом удовлетворяет системе соотношений (8.2.2,3,5) и (8.3.2,3), т. е. является

ция ф‘-’, как это и должно быть на дозвуковой задней кромке (условие Кутта — Жуковского). Потенциал ф^®’ в то же время не должен обращаться в нуль в районе, указан­ ном в соотношении (8.3.2), вследствие наличия следа (пелены).

Зная функцию ф, соответствующий ей потенциал полу­ чим интегрированием выражения (8.3.1) в виде

Ф (л *, t/*, Z, Г ) =

b

(8.3.8)

Если мы интересуемся давлением, то указанное инте­ грирование проводить не нужно, так как давление может быть получено непосредственно из функции ф.

Г Л А В А 9

МЕТОДЫ ТЕОРИИ КРЫЛА МАЛОГО УДЛИНЕНИЯ

§ 9.1. Введение

Различные приближенные методы решения граничной задачи о крыле, основанные на предположении, что удли­ нение крыла очень мало, уже рассматривались нами в § 1.3 и были резюмированы в таблице 1 (случаи B^). Основной характерной чертой этих приближенных методов было предположение, что поток в любом поперечном сечении можно рассматривать как двумерный. Последнее предполо­ жение в свою очередь приводило к тому, что продольная координата входила в граничные условия лишь в качестве параметра, а следовательно дифференциальное уравнение, которому, должен удовлетворять потенциал, превращалось в уравнение Лапласа или волновое уравнение в двумерном пространстве. Полученная в результате граничная задача является классической и существует целый ряд разнообраз­ ных методов ее решения.

В этой главе мы рассмотрим применение теории крыла

быть в некоторой степени ослаблено). В качестве характер­ ной длины, которую в § 3.2 мы обозначали через /, можно принять максимальную хорду крыла с, измеренную от вер­ шины крыла {х = 0) до его задней кромки {х = 1). Из того, что крыло, по предположению, симметрично, его передние

рассматривается вследствие ограничения (9.1.2), наложен­ ного на форму задней кромки крыла.

Если не ограничиваться рассмотрением форм в плане типа, показанного на рис. 9.1, а, то поперечные сечения, пересекающие задние кромки, должны, вообще говоря, включать вихревую пелену (области Vl?'), где должно выпол­ няться граничное условие (3.3.7). Но тогда течение уже

Рис. 9 .2. Возможные формы задних кромок и метод их эквива­ лентного видоизменения.

не может далее приближенно рассматриваться как двумер­ ное, поскольку интегрирование названного граничного условия по X связывает потенциал в любой точке следа W C потенциалом в соответствующей точке задней кромки, лежа­ щей впереди по потоку ^). Так, на рис. 9.2 а, б потенциал

в точке P J зависит от значения потенциала в точке P^. Если задняя кромка рассматриваемого крыла сверхзвуко­ вая, то мы приходим к парадоксу, поскольку ранее мы уже установили, что область не оказывает влияния на значе­ ние потенциала па крыле, если только задняя кромка послед­ него не имеет дозвуковых участков. Однако в рамках теории крыла малого удлинения сверхзвуковая задняя кромка

эквивалентна прямой (перпендикулярной к л) задней кромке. Иными словами, подсчитанный по этой теории эффект от вихревой пелены крыла, в случае сверхзвуковой задней кромки, будет порядка тех членов, которыми мы вначале преиебре1\'1и, а следовательно, и этим эффектом в рамках сделанных допущений мы также должны пренебречь. В практических приложениях теории крыла малого удли­ нения эта трудность может быть обойдена путем замены действительной формы крыла в плане, имеющей сверхзву­ ковые скошенные задние кромки, таким крылом, у которого область следа, расположенная впереди точек исходного К1)ыла, лежащих ниже всех других по потоку, заменена фиктивной поверхностью крыла (см. рис. 9.2 в, г, где гра­ ницы фиктивных поверхностей указаны пунктиром).

Для того чтобы нормировать двумерную граничную задачу, вытекающую из теории крыла малого удлинения,

Параметры отнесения остаются теми же, что и в § 3.2, только величину Ь следует рассматривать уже как функцию от Xt а поскольку х является теперь лишь параметром, то геометрически задача сведется к задаче, показанной на рис. 9.1, б. Если теперь введем новый потенциал ф, свя­ занный C Cpсоотношением

ТО граничные условия (3.3.6,8) примут вид

а уравнение Лапласаа и волновое уравнение; в двумерном пространстве запишут/тся следующним образом:

Если имеет место гармоническая зависимость от времени ( § 3.10), единственным изменением (за исключением интер­ претации потенциала -ф как комплексной амплитуды или,

что эквивалентно, замене его на ф) будет изменение в урав­ нении (9.1.8),, которое перейдет в уравнение Гель.мгольца

и Я » 1 соответственно.

В дальнейшем следует помнить, что операция ди()х}1еренцирования по х не остается инвариантной к преобразова­ нию (9.1.3). Поэтому перепад давления (3.3.5) преобразуется

При гармонической зависимости от времени выражение

Теперь мы приступим к рассмотрению возможных методоврешения граничной задачи, формулируемой уравнениями (9.1.7,8,9) C граничными условиями (9.1.5,6). Здесь не будет рассмотрен приближенный метод, именуемый теорией поршня (поскольку, строго говоря, он находится вне рамок теории крыла малого удлинения), однако полезно привести весьма простое решение, которое дает этот метод;

§9.2. Решение уравнения Лапласа

Вэтом разделе будет рассмотрена граничная задача, формулируемая соотношениями (9.1.5—7), что соответ­

ствует случаям и B.j таблицы 1. Это классическая задача теории потенциала н существует ряд методов ее решения. Из них мы рассмотрим метод конформных отображений (А), и метод, основанный на введении эллиптических коорди­ нат (В). Выбор их обусловлен тем, что в дальнейшем оба метода будут использованы нами в случаях соответственно пространственного тела и высокой частоты колебаний (см. главу 12, § 9.3 и 9.7 и главу 11), В дополнение к этому будет получено и решено соответствующее задаче интегральное уравнение (С), так как этот метод может быть распростра­ нен как на случай высоких частот колебаний крыла малого удлинения (§ 9.4), так и на случай крыла квазималого удли­ нения (§ 9.8).

в комплексной плоскости Ci с помощью преобразования Жуковского

В полярных координатах

=(9.2.2)

граничные условия (9.1.5) и (9.1.6) примут вид

Решение уравнения Лапласа, удовлетворяющее усло­ виям (9.2.3,4), после разделения переменных получим в сле­ дующем виде:

Теперь, подставляя выражение (9.2.11) в граничное усло­ вие (9.2.3), составим интегральное уравнение для to. Резуль­

Интегрируя по частям, с учет9м требования, чтобы to (± 1) равнялось нулю, и выполняя указанные операции, получим