книги / Потенциальная теория неустановившихся сверхзвуковых течений

Г Л А В А 11

ПРЯМОУГОЛЬНОЕ КРЫЛО МАЛОГО УДЛИНЕНИЯ

§11.1. Введение

Вэтой главе мы рассмотрим прямоугольное крыло,

эффективное удлинение которого (Л = = 2^Ь, см. (7.5.15)) меньше единицы ^), и тем самым дополним резуль­ таты главы 7, где рассматривались крылья с эс|хрективным удлинением, превышающим единицу. Как указывалось в §7 .5, две боковые кромки крыла всегда взаийодействуют при Л < 1. Хотя взаимодействие последовательных отра­ жений от кромок можно рассчитать по методу Шварцшильда (см. § 9.7), более удобным является метод, основан­ ный на введении эллиптических координат, за исключением начальных стадий переходных движений (ср. § 9.7 и § 11.4). Определенными достоинствами обладает и метод сведения к интегральному уравнению (§ 9.4), использованный Стыо-

в теории крыла малого удлинения (см. (9.1.3а, Ь)), поместив начало коор; инат в середине передней кромки крыла

(а не в угловой точке). Тогда соотношения (7.1.1—3) при­ мут вид

9 В принципе, результаты § 11,2 справедливы для крыльев про­ извольного удлинения, но их практическое применение ограничено значениями А. Пример из § 11.3 показывает, что выражение

(11.2.7) справедливо при А < I, а теория крыла малого удлинения— при А < 1 / 2 .

лишь более общим видом граничного условия на крыле. Но имеется и весьма важное отличие, состоящее в том, что система (11.1.1—3) является результатом преобразования Фурье по модифицированному времени i' и преобразова­ ния Лапласа по координате х', направленной по потоку, тогда как система (9.7.12— 14) получена преобразованием Лапласа по истинному времени г, а производными потен­ циала скоростей по координате JC пренебрегается. То обстоя­ тельство, что формально возможно исследовать задачу о прямоугольном крыле малого удлинения в рамках теории крыла очень малого удлинения, сохраняя, однако, про­ изводные по координате, направленной вдоль потока, является следствием постоянства величины Ь.

C другой стороны, следует подчеркнуть, что функция Ь, характеризующая размах прямоугольного крыла, имеет разрыв при А' = о и тем самым оказывается нарушенным условие (9.1.1), налагаемое в теории крыла малого удли­ нения.

§ 11.2. Решение задачи в эллиптических координатах Установив аналогию между задачами (11.1.1—3) и

и(9.7.12— 14), искомое решение у поверхности крыла можно получить модификацией выражений (9.7.15,16) или (9.3.2,3),

ионо будет иметь вид (см. Майлс 1^“®1)

a величины SQ ” заданы равенствами (9.7.25) и (9.7.27) соответственно ^).

§ 11.3. Производные устойчивости

Выражение (11.2.7)' можно использовать для расчета производных продольной устойчивости. Мы приведем здесь расчеты производной коэффициента подъемной силы по углу атаки (Майлс, [^“Ч) и границы области устойчивости при движении C одной степенью свободы ^).

Koa(Jxj)Hциепт подъемной силы прямоугольного крыла

вфизических координатах х, у имеет вид

1ь

+(И.3.1)

О- ь

где перепад давлений на крыле подставлен из соотношения (3.3.5), а производная потенциала по времени (р, сохранена для целей § 11.4. Поскольку потенциал ф на кромках обра­ щается в нуль, последовательность операций дис})ференцирования по X или ^ и интегрирования по у может быть изме­ нена, и выражение (11.3.1) примет вид

в работе Майлса [®®б], где членами порядка О (s®) в расчетах пренебрега.аось.

®) Выражения для остальных производных устойчивости были получены Майлсом [®®®]. Численные результаты см. в работе Вино­ града и Майлса [®®*], а для случая очень малых удлинений н пысо- Kiix частот— Мазельского [*®®J.

График этой величины, поделенной на значение для крыла бесконечного размаха Сх,о = 4Р"\ представлен на рис. 11.1,

Рис. 11.1. Производная коэффициента подъемной силы, вычисленная по формуле (11.3.7); для сравнения приведены значения, полученные по теории крыла малого удлинения.

где сравнивается с результатом теории крыла малого удли­

нения

Точное (в линейной постановке) выражение для производ­ ной коэффициента подъемной силы по углу атаки при Л >1/2 было получено Лагерстромом [“ ®] в виде

показал его важность при малых X.

Границы области устойчивости для случая движений C одной степенью свободы, представляющие собой, по-види­ мому, наиболее строгую проверку точности приближенного выражения (11.2.7), приведены на рис. 7.8 и рис. 11.2 (Виноград и Майлс 1®°®]). Сравнение с соответствующими результатами § 7.6 при А = 1 (см. точки, обозначенные кружками, на рис. 11.2) указывает на прекрасное совпаде­ ние обоих решений. Из этого можно заключить, что резуль­ таты, полученные в §11.2, дают необходимое развитие тео­ рии неустановившегося обтекания на случай прямоуголь­

нения. Более того, если к велико, а A = О (1), как при око­ лозвуковом обтекании, получающиеся результаты после преобразования к физическим координатам (Майлс [-“®]) очень сходны с (10.6.19—21) и, по-видимому, обеспечивают

§9.7 обеспечивает необходимую степень приближения. Расчетные данные, приведенные на рис. 11.2, указы­

вают, что относительно продольных колебаний с одной сте­ пенью свободы в случае прямоугольного крыла конечного

рассматривая треугольное крыло (§ 10.6). В этой связи

где / и T безразмерные времена из § 3.3 и § 9.1 соответствен­ но. При малых значениях аргумента (т — х/МЬ) производ­ ные по времени в дифференциальном уравнении велики по

сравнению с производными по координате в направлении потока. Поэтому последними можно пренебречь, так что оказывается применимой теория крыла малого удлинения (§ 9.7). При больших значениях аргумента (т — х/М6) можно воспользоваться обратными преобразованиями соот­ ношений, полученных в § 11.2, однако сами эти обратные преобразования весьма сложны. Для практических целей, видимо, достаточно воспользоваться теорией крыла малого

Выражение для коэффициента подъемной силы, соответ­ ствующее закону изменения скоса потока па крыле (11.4.1), получится, если в выражение (11.3.2) вместо % подставить

Если в выражении (11.4.3) выделить асимптотическое (по теории крыла малого удлинения) значение производной

коэффициента подъемной силы по углу атаки (^nb = у itX j , получим

Правая часть этого выражения представлена графи­ чески на рис. 9.6. Полезно сравнить этот результат с соот­ ветствующими данными для треугольного крыла малого удлинения (рис. 10.7,6).

Сравнивая результаты (11.4.4) и (7.8.8), заметим, что

Принципиальные различия между двумя этими резуль­ татами состоят в следующем: (а) коэффициент, вычислен­ ный по формуле (7.8.8), стремится к своему конечному зна­ чению монотонно, тогда как величина (11.4.4) приближается

отличие от предельного значения очень мало). Первое из отличий вызвано интерференцией боковых кромок при Л < 1, а второе является просто следствием использования приближенной теории крыла малого удлинения, поскольку (см. рис. 5.5 и относящиеся к нему рассуждения) предель­ ное значение коэффициента подъемной силы при всех зна­ чениях А должно достигаться к моменту времени ^= (М — 1)"^.

(т. е. рассматривается начальная стадия входа в порыв), выражение (11.4.4) тождественно выражению (7.8.8а).