книги / Потенциальная теория неустановившихся сверхзвуковых течений

представить в несколько иной форме:

Наиболее поразительным физическим явлением, кото­ рое может быть предсказано с помощью приведенных выше результатов, является возможность неустойчивости про­ дольных колебаний с одной степенью свободы.

Возможно, что теоретические методы, основанные па предположении, что жидкость идеальна, не пригодны для надежного исследования этого вопроса. В то же время уста­ новлено, что сам по себе учет нелинейных эффектов, при

в обнаруженной тенденции (см. главу 13).

Продольные колебания относительно оси х = XQ описы­

рассмотреть случай, когда k мало, так как при малых часто­ тах отрицательное демпфирование проявляется особенно сильно.

Подставив (5.3.3) в (5.2.11) и сохраняя лишь члены поряд­ ка Л, получим

Первые два члена в квадратных скобках являются квазистационарными, а третий есть добавок за счет иестационарHOCTH обтекания, определяемый интегральным членом в выражении (5.2.11). (Соответствующие данные при до­

Здесь в качестве характерной длины выбрана хорда крыла. Для того чтобы выделить статический момент (Сма), квазистационарное продольное демпфирование (Смд) и добавок, связанный C эффектом иестационарности (Сдл1), напишем

Здесь члены в квадратных скобках следуют в том же поряд­ ке, что и соответствующие им члены в выражении (5.3.4). Подставляя (5.3.4) в (5.3.5) и сравнивая полученный резуль­ тат C (5.3.6), найдем, что

Анализируя выражения (5.3.8) и (5.3.9), видим,что коэф­ фициент квазистационарного демпфирования Смд есть вели­ чина определенно отрицательная, тогда как добавочный член C ui положителен при расположении оси впереди линии 2/3 хорды. Таким образом, при достаточно больших P"' демпфирование может быть отрицательным.

Граница устойчивости получится, если приравнять

Р и с . 5 . 2 . О б л а с т ь в о з м о ж н о й н е у с т о й ч и в о с т и п р б д о л ь н ы х

ДЛЯ ромбовидного профиля C относительной толщиной, равной 6% (которые одновременно справедливы и для двояковыпуклого профиля, образованного дугами окруж­ ности, C относительной толщиной, равной 4,5% ). Расхожде­ ние в результатах Ван-Дейка и вычисленных по уравнению (5.3.10) показывает величину влияния нелинейных эффектов. Заметим, что уравнение (5.3.10) не имеет

Возможность потери устойчивости движения относи­ тельно колебаний с одной степенью свободы, в форме ли флаттера крыла, или продольных колебаний самолета в целом, весьма существенна с практической точки зрения, однако результаты, основанные на двумерной теории, могут привести к неправильным выводам, так как в указан­ ном диапазоне чисел М(1 < M < 1,58) для аэродинамических характеристик крыла весьма существен концевой эффект (см. §7 .5 и рис. 7.7 и 7.8).

Более того, представляется, что полученные выше результаты могут оказаться неверными даже в применении к двумерному крыловому профилю. Так, в экспериментах Братта и Чинпека Бивеиа и Холдера [^®], проведенных C двояковыпуклым профилем, имевшим относительную тол­ щину 7,5% , было получено положительное демпфирование продольных колебаний при различных положениях оси в диапазоне чисел M от 1,2 до 1,5. О подробностях характера течения в диапазоне трансзвуковых скоростей см. работу Чиннека, Холдера и Берри [*Ч.

§ 5Л . Случай произвольной зависимости от времени

Решение двумерной задачи, в случае, когда v является произвольной функцией времени t, можно получить, приме­ няя обратное преобразование Фурье к (5.2.8). Поскольку (см. Кемпбелл и Фостер [®®], 914, 5)

i 5 J,{?cK‘)e*-‘-d-A=±i.x'‘-f-Pu,x'-\f\), (5.4,1)

ТО, применяя теорему свертывания (там же, стр. 202), получим

Что касается пределов интегрирования по т, здесь следует заметить, что т = -|- оо соответствует — со истинного вре­ мени, тогда как в функции v' значение t, соответствующее настоящему моменту времени, равно — М(д:' — I) (см. (3.4.9)). Графически эти пределы показаны на рис. 5.3.

Распределение давления, соответствующее выражению (5.4.5), дается соотношением (3.3.5) и имеет вид:

где второй член является нестационарной поправкой к квазистационарному результату (/ = a^v).

Отметим, что скос потока у(|, т) в любой точке | вызывает иестацнонарное возмущение в точке {х, t) лишь в ограничен­ ном диапазоне значений т:

страняющеес^Г вниз по потоку в виде сферического волно­

фронт достигает других точек с координатой по хорде, равной X , но расположенных вправо или влево по размаху крыла от сечения у — const. За тот же самый промежуток времени волновые фронты, несущие возмущения, возник­ шие в точках C той же координатой по хорде, что и точка (1о> 1/)» но C иными координатами по размаху, также достиг­ нут точки {х, у). Если ^ > T-f-dVI — 1)“^(д: — 1о)» все точки исходного волнового фронта лежат ниже по потоку, чем точки C координатой х и возмущение, -возникшее в точке do, у) в момент времени т, уже не может оказывать далее влияния ни на одну из точек с координатой по хорде, рав­ ной X . Эти выводы иллюстрирует рис. 5.5, на котором пока­ заны три типичных положения волновых фронтов. (См. так­ же работу Стрэнга f®’®].)

Другим подходом к рассматриваемой задаче можно вос­ пользоваться, если переписать дифференциальное уравне­

где 1(/) — функция Хевисайда. Подставляя это выражение

где Ci^— коэ(1)фициент подъемной силы профиля в устано­ вившемся потоке,

Выполняя интегрирование в выражении (5.5.2), получим

C тем обстоятельством, что разрыв в величине скоса потока

Р и с . 5 . 6 . П л о с к и й п р о (])и л ь , в х о д я щ и й в о д н о р о д ­ н ы й с т у п е н ч а т ы й п о р ы в в е т р а .

влияет лишь на те точки, которые лежат на расстоянии от фронта порыва {х = MOТочки, лежащие вниз по потоку от Jf = (М + 1) t, не подвержены влиянию порыва, а на точки, лежащие выше по потоку от л: = (М — 1) О не влияет разрыв в величине скоса потока (см. рис. 5.5). Коэффициент подъемной силы, вызванный с порывом,

определяется выражением

Подставляя в него соотношения (5,5.4), получи

Эти результаты представлены на рис. 5.7 и сравниваются там C соответствующими результатами для несжимаемой жидкости (см. Сирс и Карман [2®®]).

Р и с . 5 . 7 . Н а р а с т а н и е п о д ъ е м н о й

с и л ы п л о с к о г о п р о ф и л я , в х о д я щ е г о

в о д н о р о д н ы й с т у п е н ч а т ы й п о р ы в в е т р а , в ф у н к ц и и Mt — и с т и н н о г о в р е м е н и , о т н е с е н н о г о к l/v, / — д л и *

н а х о р д ы .

Очень близкая по типу задача об определении характера нарастания подъемной силы при внезапном изменении угла атаки может быть исследована аналогичным способом^)'.

§5.6. Колеблющийся профиль

ваэродинамической трубе

Если рассмотренный в § 5.2 колеблющийся профиль поместить в аэродинамическую трубу с плоской (двумер-

НОЙ) рабочей частью, стенками которой являются плоскости

Здесь переход от изображения к оригиналу может быть осу­ ществлен либо путем разложения гиперболических функ­ ций по экспонентам, либо, используя полюса функ­ ции csch (Xzj). В первом случае функция влияния (5.2.9) (см. Майлс 1-^']) имеет вид

=X

Численные расчеты демпфирования продольных коле­ баний, проведенные на основе этих результатов аналогично тому, как это было сделано в § 5.3, показали, что динами­ ческая неустойчивость здесь может иметь место при всех