книги / Потенциальная теория неустановившихся сверхзвуковых течений

CM ■= Г - ( ^ - X o ^ - i k i l - x D -

^ i k { \ - X o Y - \ - k ^ ( ^ y - j X o + ^ x l ' ^ ] X

который, по существу, является приведенной частотой, отнесенной не к хорде, а к размаху крыла.

Действительная часть выражения (10.4.14) представляет собой производную коэффициента подъемной силы по углу

атаки, деленную на предельное значение , получен­

ное Джонсом по теории крыла очень малого удлинения при k==0. Значения этой величины при M X = I и Jto=l/2 построены на рис. 10.2 в функции параметра k, где они срав­ ниваются C соответствующими приближенными значениями, полученными в работах Мербта и Лэндела 1^®®], поль­ зовавшихся методом, изложенным в § 9.3, а также с первым

приближением (которое дает точное решение при MX = O), выраженным зависимостью (10.4.1 Ib). Из приведенного сравнения видно, что приближеннью результаты (10.4.11,12)

применимы лишь до значений AMX порядка единицы, при

подставляя соответствующие выражения для функции х W в формулу

(9.1.13), дает следующие выражения для аэродинамических коэффициентов;

произведение МХ невелико, то по порядку отброшенных

появятся интегралы от синуса и косинуса. Мы рассмотрим лишь относящийся к околозвуковым скоростям обтекания результат (9.8.28) в связи с расчетом демпфирования про­ дольных колебаний (§ 10.6).

§ 10.5. Разложение по степеням частоты

Общая постановка граничной задачи о крыле с разложе­ нием решения в ряд по степеням параметра частоты х рас­ сматривалась в § 4.4. Существуют по крайней мере три воз­ можных подхода к задаче; непосредственное разложение

ний, и, наконец, разложение соответствующего дайной граничной задаче интегрального уравнения. Примеры таких

что если скос потока (а) на поверхности треугольного крыла задан в координатах (дг, у) полиномом степени п, то соответ­

и т. д. Значения же самой функции ф‘'‘* на крыле (где произ­

Однако этот метод, по крайней мере в виде, использо­ ванном Хипшем, недостаточно строг. Так производная фГ на конусе Маха не подчинена никаким граничным условиям, а следовательно, нет никакой уверенности,что соотношение (10.5.1) дает нам правильное решение граничной задачи. К тому же, каковы бы ни были причины, обнаружилось, что результаты Хипша расходятся с результатами, получен­ ными другими методами (в частности, методом § 10.2 в предельном случае т = 1), а потому за отсутствием более полных обоснований справедливости метода решение Хипша следует считать неудовлетворительным.

причем интегрирование ведется лишь по той части области S, где R имеет действительные значения. Иначе, можно еще проинтегрировать соотношение (10.5.3) по г, выполнить

Разлагая выражение (10.5.5) в степенной ряд по

исравнивая результат с выражением (4.4.30), получим

о+ )а | ^ л . (10.5.8а)

= 0. (10.5.8Ь)

Заметим, что интеграл (10.5.8) конечен всегда, за исключе­

и дает скос потока в виде полинома степени п. После под­ становки соотношения (10.5.9) в интегральное уравнение

ш

Последний интеграл можно упростить, если ввести замену переменной

xF„(C )d ^ 5 (chtt,-chw )'**2sh2(p -i) udu. (10.5.12)

о

Область интегрирования в выражении (10.5.12) показана на рис. 10.3, б. Заметим, что Mgp {Ф,»} есть однородный по­ лином степени п-\-2р переменных {х', у).

Заканчивая формулирование задачи, остановимся на методе решения интегрального уравнения (см. (4.4.28,29)j

его один раз по частям (по переменной и) и отбросим беско­ нечную часть. После подстановки результата в уравнение (10.5.13) получим

- (я + 2 )

—I r Л . (S) dC X

п(1-^2)

Wl

X ^ (ch — сЬи)”*^ Ch и du. (10.5.14)

Решение уравнения (10.5.14), в предположении, что V — полином степени п, можно представить в форме

однако позже 1®®°] обобщили свои результаты на случай деформаций крыла более общего вида. Кэннингхэм I"*®] рассмотрел применение метода к крыльям со стреловидными

ла, так и самой функции Ф **, и последовательного решения получающейся системы уравнений. Однако его решение сложнее, чем решения Уоткинса или Лэнса, а потому здесь не приводится.

§ 10.6. Продольное демпфирование

Результаты предыдущего раздела свидетельствуют о том, что расчет аэродинамических сил, действующих на треуголь­ ное крыло, сильно усложняется в случае высоких частот или деформаций сложного вида, существенно отклоняющих движение деформированного крыла от движения жесткого

и будет сейчас использован нами для расчета продольного демпфирования(Майлс 1^’ М).