книги / Потенциальная теория неустановившихся сверхзвуковых течений

при котором линейный гиперболический элемент изме­ няется согласно соотношению

где (/ii, /ig. ^з) есть набор действительных положительных коэффициентов, определяющих метрику (см. Курант и Гиль­ берт [^’ ], т. 2, стр. 433). Мы можем найти преобразованный вид гиперболического лапласиана (AV)i при соблюдении условия (3.8.2), путем сравнения с преобразованием Ляме (см. Уиттекер иВатсон I®"’ ], стр. 401) обычного лапласиа­ на. -В преобразованном виде гиперболический лапласиан примет вид

=CssrJ

Преобразования, определяемые соотношениями (3.8.1—3), представляют интерес главным образом в связи с реше­ нием гиперболического уравнения Гельмгольца (3.9,2) мето­ дом разделения переменных. Классическое (эллиптическое) уравнение Гельмгольца допускает разделение переменных лишь в одиннадцати системах координат (см. Робертсон [2« ] и Эйзеихарт [^^l). Однако Хейс в 1957 году указал, что благодаря анизотропности оператора Д' (в отличие от изо­ тропности классического лапласиана) в гиперболическом случае каждая из этих одиннадцати систем координат

в какой-либо заданной части пространства может иметь один, два или три аналога. (При этом, правда, может ока­ заться необходимым переход из одной системы координат в другую при пересечении характеристической поверхно­ сти, такой как конус Маха, проходящий через начало коор­ динат.)

Исследование, проведенное в направлении, указанном Хейсом, показало, что гиперболическое уравнение Гельм­ гольца должно допускать разделение переменных в двад­ цати четырех системах координат ^), при этом каждая группа родственных систем, необходимая для того, чтобы покрыть все пространство, считается за одну систему координат.

Говоря о том, что гиперболическое волновое уравнение разделяется лишь в двадцати четырех системах координат, следует пояснить, что речь идет только о преобразовании геометрических пространственных переменных {х, у, г). В противном случае, вследствие инвариантности уравнения (3.4.4) к взаимным заменам t' с у, или z, можно было бы получить ряд новых систем, включающих i'. Более того, если (3.4.4) записать в виде

ТО К координатам Г , у, z применимы классические преобра­ зования волнового уравнения в евклидовом пространстве.

§ 3.9. Преобразование Фурье

Введем преобразование Фурье по аналогии с § 2.6:

однако его утверждение о том, что гиперболическое уравнение Гельм­ гольца допускает разделение переменных лишь в этих одиннадцати системах координат, было ошибочным.

где, как и раньше, х может быть комплексным, а путь инте­ грирования в плоскости X выбран соответствующим обра­ зом. Д алее мы везде будем пользоваться соответствующими заглавными буквами для обозначения преобразования Фурье.

Преобразуя гиперболическое волновое уравнение (3.4,4), получим уравнение

гольца, по аналогии с классическим уравнением Гельмголь­ ца. Уравнение (3.9.2) аналогично уравнению (2.6.2) с той лищь разницей, что в последнем вместо х стоит параметр А.= хМ, вследствие выбора в качестве характерного вре­ мени величины IjU, а не 1/а^. Характеристиками уравнения

k — приведенная частота и ш — истинная угловая частота.

Для того чтобы связать о и (р с рассмотренными в пре­ дыдущем разделе преобразованиями Фурье, выразим, пользуясь соотношением (3.4.IOb), t через /' и х' Тогда

Для того чтобы получить выражение экспоненциальной зависимости от времени — ехр (/я/'), приравняем коэффи­ циент при t' величине я

(3.10.5)

Затем введем видоизмененные амплитуды с помощью соотиощений

ничная задача определения Ф по заданным значениям V формулируется соотношениями (3.9.2—6). Зная решение этой задачи, комплексное значение амплитуды давления получим (см. 3.4.5 и 3.9.3) в виде

§ 3.11. Преобразование Лапласа

Если начало системы координат {х, у, г) или {х\ у, г) расположено в наиболее передней точке плоскости кры­ ла S , то, очевидно, при х < .0 возмущения отсутствуют вследствие того, что скорость движения превышает скорость звука. В соответствии с этим мы можем поставить условие

от X , для произвольной формы крыла в плане 5 не пред­ ставляется возможным записать в явном виде граничные условия для функции Ф*”. В отдельных же частных случаях, таких, как, скажем, прямоугольное крыло (глава 7), это может быть сделано. Даже в тех случах, когда не удается выразить в явном виде смешанные граничные условия для Ф*, использование преобразования Лапласа может ока­ заться целесообразным в качестве промежуточного шага в анализе конкретных задач.

ГЛАВА 4

СВЕДЕНИЕ К ЗАДАЧЕ О СТАЦИОНАРНОМ ТЕЧЕНИИ

§ 4.1 .. Введение

Существует ряд способов, с помощью которых гранич­ ная задача, связанная с нестационарным обтеканием крыла заданной формы в плане сверхзвуковым потоком, может быть сведена к одной или ряду эквивалентных стационар­ ных задач. Для некоторых крыльев, таких как прямоуголь­ ное (§ 7 .3 и последующие), такой путь дает существенные преимущества, но во многих случаях общая задача о ста­ ционарном обтекании ничуть не проще соответствующей нестационарной задачи, и поэтому существующая возмож­ ность свести задачу к стационарной не имеет особого прак­ тического значения.

§ 4.2. Метод Магнарадзе

Как показал Магнарадзе (см. работу Галина [70]), если ¥ (дс', у, г) есть решение уравнения установившегося тече­

где в выражении (4.2.ЗЬ) функция Ф предполагается непре­ рывно стремящейся к нулю с приближением к передней границе зоны влияния крыла (эта граница лежит в области х' > 0 ) . Магиарадзе получил выражения (4.2.3), сравнивая решения, представленные в виде рядов Фурье, но они могут быть получены и с помощью преобразования Лапласа ^), которое, одновременно, дает возможность связать между собой граничные условия для 'Г с граничными условиями для Ф (см. Майлс 1^"®]).

Поскольку для крыльев простой формы в плане общее решение может быть получено в явном виде (глава 6), основной проблемой, для которой преобразование Магнарадзе дает существенные результаты, является задача о прямоугольном крыле (ср. § 7.4). Эта же идея может быть обобщена путем введения недекартовой системы коорди­ нат, как это было сделано Стюартсоном [-'®] для гиперболаческих координат (гиперболический аналог сферической полярной системы координат).

§ 4.3. Метод Гарднера

Иной метод был предложен Гарднером [’П, который свел задачу о нестационарном обтекании к двум стационарным задачам. Этот метод, в принципе, применим к крыльям со сверхзвуковыми кромками ‘) произвольной формы, а также к крыльям C дозвуковыми не взаимодействующими кром­ ками, составленными из отрезков прямой. Однако практи­ ческое применение этого метода ограничивается случаем

выразить в явном виде, если уравнение боковой кромки содержит X Это означает, что на плоскости ^ = O будет существовать область, где величина X останется неизвест­ ной. Естественно, в тех случаях, когда граничная задача, связанная с крылом не прямоугольной формы, может быть представлена в виде, эквивалентном случаю прямоуголь­ ного крыла (см. главу 8), описанный метод применим и к случаям крыльев другой формы в плане. Так, Гарднер высказал предположение, что метод может быть обобщен на случай любого крыла, к которому, в стационарной за­ даче, применим метод Эварда (см. § 7.3) и при условии, что все дозвуковые кромки образованы ломаными прямыми линиями. Однако применение метода к крыльям с числом углов в плане более четырех приводит к чрезмерно громозд­ ким вычислениям, и даже для этой формы метод не сулит очевидных преимуществ перед другими.

Гарднером p -j был предложен аналогичный метод и для конических тел. Mo область применимости его весьма ограггичена и практического развития и прилолсений он не получил (см. также Жермен и Бадёр [’®J).j

§4.4. Метод разложения по частоте

Втех случаях, когда характер движения крыла изме­ няется медленно (например, гармонические колебания низ­ кой частоты), целесообразно пытаться рещать задачу методом преобразования Фурье, представляя рещение в виде разло- л<ения в ряд по параметру частоты х. Рассмотрим вначале крыло, задние кромки которого полностью сверхзвуковые,

апотому в граничные условия параметр х явно не входит. Тогда подлежащая решению граничная задача формули­ руется системой соотношений (3.9.2, 4 и 6), а именно:

Граничное условие (3.9.5) здесь молшо не учитывать, поскольку течение в следе не влияет на обтекание самого крыла, вследствие предположения о том, что задние кром­ к и — сверхзвуковые.