книги / Потенциальная теория неустановившихся сверхзвуковых течений

получим

где через S обозначена проекция крыла на плоскость 2 = 0. Теперь следует установить граничные условия в осталь­ ной части плоскости z = 0. Вообще говоря, необходимо

делать различие между вихревой пеленой, ограниченной задней кромкой области 5 , и двумя линиями, сходящими C концов крыла, параллельными направлению полета и про­

Всимметричной задаче мы непосредственно обратимся

кфизическому условию непрерывности вертикальной составляющей скорости (антисимметричной относительно

плоскости Z = O), из которого следует,

являются смешанными (в отличие от антисимметричной задачи, см. ниже).

Симметричные граничные условия в нестационарном потоке реализуются на практике в случае, когда в нежест­ ком крыле возникают симметричные, изменяющиеся во времени деформации поверхностей, или когда мы рас­ сматриваем задачу о coпpotивлeиии, связанном с ускоре­ нием в направлении движения. Метод решения будет анало­ гичен изложенному в § 6.2 этой книги, однако первая из названных задач, видимо, не представляет практиче­ ского интереса, тогда как во второйобычно достаточно рассматривать течение в каждый момент времени так же, как если бы мгновенная скорость полета была постоянной (т. е. предполагая, что изменение скорости полета при прохож­ дении пути протяженностью в одну хорду мало в сравнении C мгновенной скоростью полета; ср. с § 1.5). Мы подробно рассмотрим лишь движения, поперечные к направлению полета и идентичные на верхней и на нижней поверхностях крыла. Таким движениям будут соответствовать антисим­

чается непрерывной при z = 0, и необходимо найти другие граничные условия. Мы можем поставить условие, что в области R непрерывны тангенциальные составляющие скорости, откуда получим

C другой стороны, касательные скорости могут иметь разрыв при переходе через вихревую пелену, и мы обязаны потребовать, чтобы давления здесь оставались непрерыв­ ными. Воспользовавшись соотношением (1.1.13), получим

(1.2.38)

§ 1.3. крылья малого удлинения

Граничную задачу для крыла можно существенно упро­ стить, если удлинение крыла достаточно мало, чтобы считать

Сначала рассмотрим ограничения, связанные со случаем At (см. (1.2.20)). В дополнение к ограничениям, налагаемым

Уравнение для давления (1.1.13) остается тем же. Ограничениям (1.3.1) можно удовлетворить различными

путями. Так, если |M — 1 1и ^ достаточно малы, то требует­ ся лишь, чтобы величина а была малой по сравнению

е й 3 (а не C единицей), а течение является мазистацштар' ным, трансзвуковым. C другой стороны, если а < 1, M и могут иметь средние значения и тем не менее продолжать удовлетворять условиям (1.3.1). Следует также напомнить, что для того, чтобы задача оставалась плоской (см. ниже), условие а > б должно выполняться даже если а < 1.

Сведение уравнения для потенциала к двумерному урав­ нению Лапласа, в котором координата, направленная по потоку (л:), и время (i) входят лишь как параметры, позво­ ляет применить такой мощный аппарат, каким является конформное отображение, и существенно расширить диапа­ зон форм крыла в плане, которые могут быть исследованы. Граничные условия остаются теми же, что и в § 1.2, только геометрическая форма границ сводится к одной или несколь­ ким прямым линиям в плоскости 2 = 0.

Аппроксимация, называемая нами крылом малого удли­ нения, вначале была получена Джонсом 1^°®] из рассмотре­ ния изменения количества движения воздуха, сообщаемого ему поперечным сечением крыла, взятым вдоль его размаха, подобно тому, как это было сделано Мунком [^^’1 в его рабо­ те об обтекании корпуса дирижабля. Тот же метод приме-

Отсюда в дополнение к ограничениям (1.2.32) получим соот­ ветствующие условия:

В обоих случаях уравнение для потенциала сводится к виду

Это двумерное волновое уравнение, в котором направлен­ ная по потоку координата (jc) является лишь параметром.

Из предыдущего очевидно, что если оба условия — <т<1 и М(У < 1 — удовлетворяются, то уравнение (1.3.8) справед­ ливо при любых А, хотя при A = O (I) оно и сводится к урав­ нению (1.3.2). При больших А, естественно, остаются усло­ вия А6 < 1 и АМб < 1, однако если величина Аб равномерно ограничена (ср. примечание на стр. 19), то эти условия обычно не являются слишком стесняющими.

В заключение заметим, что теория крыла малого удли­ нения может быть использована в качестве отправной точки при построении решений, имеющих вид разложения по степеням а, как это было сделано в посвященной стационар­ ным течениям работе Адамса и Сирса [“Ч, которая легко обобщается на нестационарный случай (§9 .8).

Дальнейшее развитие методов теории крыла малого удлинения будет рассмотрено в главе 9.

§ 1.4. Теория поршня

Если предположить, что произведение Ш а в случае В\ достаточно велико, то в дифференциальном уравнении для потенциала член с может быть опущен, и тогда мы полу­

чим новый частный случай В", когда

Это приближение можно назвать (линеаризованной) теорией поршня, поскольку возмущенное давление в точке на поверхности тела, где скорость, направленная вдоль внешней нормали, равна v, определяется соотношением (ср. C уравнением (9.1.13))

т. е. в соответствии с классическим результатом для давле­ ния на поршне в одномерном движении, или, что эквива­ лентно, C соотношением между давлением и скоростью

плоской звуковой волне.

Первое применение теории поршня к задачам о крыле, видимо, принадлежит Хислету и Ломэксу [^*-], а возмож­ ность ее использования в задачах флаттера широко исследо­

к гиперзвуковым задачам. Этот последний метод будет рас­

о поперечных по отношению к равномерному установивше­ муся полету возмущениях.

Ко второй категории задач о нестационарных течениях, которую мы рассмотрим здесь лишь очень бегло, относятся задачи о движении с ускорением, направленным вдоль тра­

к трансзвуковой параметр

Переходя к изложению второй и третьей глав, отметим, что безразмерное время в ускоренном полете удобнее опре­ делять как чем как Ut/l, где U является величиной, зависящей от времени. Кроме того, зависимость U от време­ ни неудобна при переходе в уравнениях движения к системе координат, движущейся вместе с телом. Так, в частности, потенциал скоростей ускоренного полета удовлетворяет уравнению (3.2.2) и не удовлетворяет (3.3.3).

ПРЕОБРАЗОВАНИЕ УРАВНЕНИЙ ДОЗВУКОВОГО

ОБТЕКАНИЯ КРЫЛА

§2.1. Введение

Вэтой главе мы рассмотрим различные преобразования линеаризованного уравнения для потенциала дозвукового

потока, обтекающего тонкое крыло. Результаты, многие из которых следуют непосредственно из классической теории волнового уравнения, представляют интерес в первую оче­ редь при сравнении с аналогичными преобразованиями для случая сверхзвуковых скоростей.

§ 2.2. Введение безразмерных параметров

Чтобы сделать безразмерными наши обозначения, отне­ сем все длины, скорости и давления к следующим характер­

ным величинам: I — длина, till — время и у “ ско­

ростной напор.

Величину I можно выбрать произвольно, но в большин­ стве случаев в качестве I выбирается величина хорды или размаха крыла. U, как и в главе 1, — скорость полета.

Характерным временем в этой системе является время, потребное крылу для прохождения пути, равного характер­ ной длине, но C не меньшим основанием в. качестве характер­ ного времени можно принять величину //По* т. е. время рас­