книги / Потенциальная теория неустановившихся сверхзвуковых течений

и использования следующего интегрального соотношения

Этим путем можно показать, что коэффициенты а,^в разло* жении (9.2.17) имеют вид (9.2.6).

§9.3. Решение уравнения Гельмгольца

вэллиптических координатах

Задача, формулируемая соотношениями (9.1.5,6,9), а именно двумерное уравнение Гельмгольца с заданными граничными условиями на обеих сторонах разреза т) = О ± ,

|||<1, эквивалентна задаче дифракции на ленте. Эта последняя была впервые рассмотрена Релеем который воспользовался методом {релеевское рассеяние), нашедшим впоследствии свое применение в аэродинамических задачах (Уорд 1^®^]) под названием теории обтекания тонких удли­ ненных тел. (Метод Уорда, в свою очередь, был использован Майлсом [*^®1 в задачах дифракции). Зигер еще в 1908 г.[®“®1 дал решение этой задачи в эллиптических цилиндрических координатах, однако численные результаты были получены лишь тридцать лет спустя (Морзе и Рубинштейн I®®**]). Метод сведения задачи дифракции к интегральному уравне­ нию использовался как для получения приближенного (Майлс [^'®1), так и точного (Майлс Р®°]) ее решений. В этом и следующем разделах будет рассмотрено применение последних двух методов. В эллиптических цилиндриче­ ских координатах (9.2.8) уравнение (9.1.9) примет вид

(Магнус и Оберхеттингер [^^], стр. 157)

граничное же условие на крыле (р = 0) будет задано соотношением (9.2.9). Разделяя переменные, найдем, что решением уравнения (9.3.1), удовлетворяющим условию (9,2.9) и ведущим себя как расходящаяся волна, будет

Матье, аналогами которых в полярных координатах будут функции /У п ’ (^ г) и sin (/10). Здесь используются обозначения, принятые в монографии Маклеклэна [“ ’ ] для функций' Матье; в частности, нормализация этих функций проведена

При вычислении интегралов (9.3.3), a также интегралов от фо, удобно представить фупкцшо se,j в виде разложения в ряд Фурье (Маклеклэн, 2.17)

где Cn — постоянные коэффициенты, значения которых нам здесь не потребуются. Подставляя разложение (9.3.8) в выражение (9.3.6) и упрощая результат с помощью рекур­ рентных формул и соотношений для определителей Вронско­

f .„..(>•) = ( i ( - г Bflii" (я) {(2г + 1 ) + -^^^ X

1)Разложение ())ункций Ne^?i42. Данное в работе Мербта и Ландала [^^“), содержит небольшую ошибку.

2)После номера моногра(}жн Ватсона в скобках указан номер соответствующего раздела.

( ^ ) {2 i-)4r+i)KT(4) X

- 2 / „ , ( | я , ) я " ; ( 4 x ) ] } - ' 2 ( - ) Ч г + i j B S r t o ) -

Сходимость рядов является, в общем, удовлетворительной для значений Я, меньших 8. Можно ожидать, что функции

При больших значениях Я сходимость ряда (9.3.5) можно улучшить, выделив из него предельное значение фо[приЯ-?-оо, которое равно

Тогда выражение (9.3.5) можно переписать в следующей форме:

Фо (cos v) = (1Я)'1 V(cos v) + '2 [а,^Fn (Я) - 6,J se,^ (v, 9).

в качестве примера численного расчета, иллюстрирую­ щего полученные выше результаты, мы. найдем здесь иите-

Р и с . 9 . 3 . а) Д е й с т в и т е л ь н а я ч а с т ь и н т е г р а л а п о р а з м а х у X , н о р м и ­ р о в а н н а я п о т о ч н о м у з н а ч е н и ю п р и Я = 0 ; б ) м н и м а я ч а с т ь и н т е ­ г р а л а п о р а з м а х у X i н о р м и р о в а н н а я п о т о ч н о м у з н а ч е н и ю п р и Я -+.сзо

грал от потенциала по размаху крыла в важном частном случае, когда величина v постоянна по размаху. (Не умень­ шая общности, можно принять, что P = 1, а затем конем*

To, что выражение (9.4.1) удовлетворяет уравнению (9.1.9), следует из равенства

Поскольку множитель в подъинтегральмом выражении не обращается в нуль в окрестности Ii = O-I- только если стремится к I (т. е. i? —^0), то выражение (9.4.1), при нахож­ дении интересующего нас предела, эквивалентно выраже­ нию (9.2.11). Как и в (9.2.11), пределы интегрирования по

которое является интегральным уравнением для фо с ядром (9.4.6)

Для удобства расчетов из выражений (9.4.5) и (9.4.6) удобно выделить сингулярные части (как это было сделано

Иначе уравнение (9.4.5) можно получить из выражения

оо‘ 1

которое, очевидно, является решением уравнения (9.1.9), обращающимся, в силу интегральной теоремы Фурье, в 1|'о при TJ = О H- 1). Условие конечности решения при т) = со требует, *1Тобы действительная часть радикала была неот­ рицательна. Если же действительная часть обращается

Рис. 9.4. а) Комплексная плоскость v при 1т(Я) < О, показаны

разрезы ]^v®—Х,®(см. (9.4.10)); б) путь интегрирования в выражении (9.4.11) при 1т(Я) = о— .

В нуль, то из условия радиации следует, что аргумент равен я/2. Следовательно, разрезы, выходящие из v = ± Я, должны быть линиями, на которых действительная часть радикала обращается в нуль и при переходе через которые она меняет знак. Налагая эти условия в предположении, что X имеет небольшую отрицательную мнимую часть (кото­ рую затем мы устремим к нулю), найдем, что разрезы должны быть отрезками равнобочной гиперболы:

то знак перед решением и под радпкалрм р (9.4-Э) следует изменить.

где Om определено соотношением (9.2.6), а

я я

о IiО ®■" ^

X sin(/i0')sin0'dO 'd0. (9.4.16)

Очевидно, что с„,„ = Если в выражении (9.4.16) выделить сингулярную часть

функции g или просто подставить ряд (9.4.13) в выражение

Интегрированием по частям интегралы по 0 выражаются

В пределе, когда А,= 0, выражение (9.4.19) сводится к про­ стому c„j„ = /n'^6rt (см. Ватсон 13.41 (7) и 13.42(1)), P соответствии с формулой (9.4.17). Сходимость интеграла