книги / Потенциальная теория неустановившихся сверхзвуковых течений

улучшается, если выделить это предельное значение записав

1 OO

c„„ = m -'d r + 2 ( - f 5 [ l ^ ^ i * ^ - v ] 7 „ ( v ) / „ ( v ) 4 ^ .

О

(9.4.20)

Результат (9.4.15) представляет собой систему уравнений для определения коэффициентов В принципе эта система бесконечна, но приближенно ее можно заменить конечной системой и решать как таковую. Система (9.4.15) может быть еще решена и методом итераций, полагая

предполагает, что детерминант левой части системы (9.4.15) не обращается в нуль при действительных К. Нули детерми­ нанта соответствуют полюсам функции F^(K), рассмотренной нами в предыдущем разделе, где мы заключили, что полюса эти — комплексные.

Некоторая модификация формулы (9.4.21), которая имеет определенные преимущества (см. ниже, рассуждения, сопро­

Значения действительной и мнимой частей этого выражения приведены на рис. 9.3 и, как видим, демонстрируют неожи­ данно хорошее совпадение с точным решением (9.3.16).

.Ниже (см. (9.6.1 Ib)) будет показано, что столь хорошее сов­ падение является следствием вариационного принципа, связанного с функцией %.

Вместо того чтобы методом итераций искать коэффи­ циенты Фурье разложения решения в ряд, интегральное уравнение (9.4.7) можно решать непосредственно, записав

ной задачи, рассмотренной в § 9.2, при распределении скоса

для наших целей обладал бы рядом преимуществ, поскольку он не требует итераций, однако отсутствие достаточно пол­ ных таблиц функций Матье Ne„ снижает практическую цен*

приближенно представлена путем разложения функции Ханкеля в выражении (9.4.8) в виде

(9.4.25) Подставляя это выражение в формулу (9.4.17), получим

') Это утверждение относится ко времени, предшествовавшему появлению весьма обширных расчетных данных Маэельского Однако мы продолжаем считать методы этого раздела и § 9.6 и.меющнмн ряд преимуществ во многих практических приложениях.

за исключением случая m = п = 1, в котором эта формула имеет вид

Соответствующие выражения для a„^ получим подстановкой коэффициентов (9.4.26) в итерационную формулу (9.4.22). Тогда

(Заметим, что представление этого результата в форме Л+БХ® более соответствует характеру аппроксимации, и дает некоторые преимущества в конкретных приложениях.) Соответствующие этому приближению значения действи­ тельной и мнимой частей интеграла по размаху х (ср> C (9.4.23)) представлены на рис. 9.3. Видно, что это прибли­ жение хорошо совпадает с более точным решением (9.3.16) при Я меньших примерно 0,6.

§ 9.5. Решение уравнения Гельмгольца методом Кирхгофа

Другой подход к решению граничной задачи, сформули­ рованной в § 9.1, от которого можно ждать хорошего совпа­ дения результатов с точным решением при очень больших частотах, (Я 1), дает нам метод Кирхгофа (см. Борн, [®‘‘]). В этом методе граничное условие (9.1.6), требующее обра­ щения ф в нуль при л = О, 111 > 1, заменяется приближен­ ным условием, согласно которому в нуль должна обращаться производная фт). а не сам потенциал. Соответствующее

решение уравнения (9.1.9) дается выра^кением

ЧТО можно проверить, дифференцируя его по i] и применяя интегральную теорему Фурье (ср. с (9.4.9)).

Соответствующее этому решению приближенное выражение для интеграла по размаху, х. при о = 1 имеет вид

XK = 2Х-' [ (яХ)-' + Г. (2Х) - J У, (ч) йч] +

О

2А,

+ 21Х -*[Л (2Х )-$У „(ч)<1ч] (9.5.3)

О

Значение действительной и мнимой частей этого выражения приведены на рис. 9.3, из которого видно, что аппроксима­ ция Кирхгофа применима при относительно больших зна­ чениях X (А. > 2 ,4 ). Однако можно было бы показать, что более простое приближенное решение, которое дает теория поршня (см. § 1.4 и выражение (9.1.13)), адэкватно полу­ ченному.

Приближение Кирхгофа может также послужить отправ­ ным и при построении точного решения, если к выражению (9.5.1) добавить еще одну часть, в которой интервал инте­ грирования по I ' будет уже |^'| > 1, а функция о (5')» т. е. скос потока вне крыла, — неизвестна. Если затем приравнять.ф нулю при т| = 0 и (|) > 1, то получим интеграль­ ное уравнение для определения функции v(l) при |||>1. Однако такой метод решения задачи не имеет каких-либо

Пользуясь обычными методами вариационного исчисления, можно показать, что выражение (9.6.5) стационарно по отно­ шению к первым независимым вариациям функций и в окрестности точного, решения интегрального уравнения

(9.6.3). Кроме того, оно инвариантно к преобразованиям масштаба какф,,^ так и ф,^. Таким образом, формула (9.6.5)

является удобным средством приближенного определения функций Xm,I-

Если в формулу (9.6.5) подставить разложение типа (9.4.13) и потребовать, чтобы полученное выражение было стационарно по отношению к вариациям каждого из коэф­ фициентов разложения, мы получим систему совместны.х уравнений типа (9.4.15) для определения этих коэффициен­ тов. Предложенный путь является наиболее последователь­ ным применением вариационного метода решения, однако в. таком виде он не имеет заметных практических преиму­ ществ перед непосредственным решением интегрального уравнения. Эти преимущества вариационного принципа проявляются- в том случае, если мы введем относительно простые приближения для потенциала. Рассмотрим разло­

сравнивая выражения (9.6.6,7) и (9.6.1,2), получим

Теперь, подставляя соотношения (9.6.9,10) в (9.6.5), получим

пJt

который получится, если в выражении (9.6.11&) положить т = п = 1, толадествен интегралу, yxte полученному нами ранее в виде (9.4.23), и его значения приведены на рис. 9.3, а, Ь. Вариационный принцип позволяет оценить и порядок приблилсения, даваемого выражением (9.4.22) (в сравнении с (9.4.21)). Это приближение с точностью до членов порядка X® (ср. с (9.4.26)) долл^но совпадать с точ­ ным решением в силу вариационного принципа (Левин я Швингер 1^*®1).

§ 9.7. Переходное движение

Ранее полученные результаты, как правило, не могут быть использованы непосредственно в задаче о переходном движении вследствие сложности отыскания обратных пре­ образований Фурье. Последние, в принципе, можно пред­

ставить в виде разложения по убывающим и возрастающим степеням т, разлагая результаты, полученные в предыдущих разделах, соответственно по возрастающим и убывающим степеням X, но вообще практически имеет значение лишь первый из этих процессов^). Однако для малых значений г решение граничной задачи можно выразить через возму­ щения, вносимые кромками крыла, и через их последова­ тельные отражения от этих кромок. Метод Шварцшильда ( ] , разработанный им применительно к гармонической задаче дифракции, C большим успехом применим к задаче переход­

(в предположении, что рассматриваемое возмущение воз­ никло в момент T = 0), на протяжении которого две кромки не взаимодействуют друг с другом. При исследовании обте­

(9.7.1—4), идентична задаче об установившемся обтекании кромки прямоугольного крыла, если в этой последней пере­