книги / Потенциальная теория неустановившихся сверхзвуковых течений
..pdfГЛАВА 12
ТОНКИЕ ПРОСТРАНСТВЕННЫЕ ТЕЛА
§12.1. Введение
Вэтой главе мы рассмотрим нестационарное движение тонких пространственных (не плоских) тел. Для того чтобы правильно линеаризовать уравнения движения, обратимся сначала к анализу порядка входящих в них величин, ана логично тому, как мы делали это в § 1.2.
Пусть ф есть потенциал возмущений скорости (по отно шению к скорости невозмущенного потока V), а (л;, у, г, t) — физические {не безразмерные) координаты из § 1.1. Требуется
найти линейную аппроксимацию уравнений для потенциала и давления ((1.1.9) и (1.1.6)) в окрестности тонкого заост ренного тела C произвольным законом распределения пло щади поперечных сечений. Если теперь C (лс) — контур, огра ничивающий сечение рассматриваемого тела плоскостью, перпендикулярной оси х, на расстоянии х от начала коор динат, п — внешняя нормаль и s — координата, измеряе мая по касательной в каждой точке контура С, то гранич ное условие для потенциала ср можно представить в виде.
<Pn\c = fJt + (^ + (Px)n^ |
(п=п(х, S, t)). (12.1.1) |
Главное отличие плоского тела от пространственного (как мы их здесь определяем) состоит в количестве измере ний, по которым тело должно быть тонким, а именно, одно для плоского тела и два для пространственного. В зада чах о плоских телах потенциал ср и его производную ф, можно было разложить в ряд Маклорена в окрестности Z = О, и таким образом снести граничные условия на плос кость Z = O (даже если при этом ф и ф, становились разрыв ными при Z = O). Решение же пространственной задачи
обычно содержит особенность внутри обтекаемого тела, что не позволяет разложить это решение в ряд Маклорена около оси X . А это приводит к тому, что граничные условия при ходится задавать на действительной поверхности обтекае мого тела, и поэтому исчезает возможность деления гранич ной задачи на симметричную и антисимметричную (как в соотношениях (1.2.34)), хотя, вооб1це говоря, соображе ния симметрии в некоторых частных задачах могут быть использованы. Однако, если тело совершает движение, амплитуда которого мала по сравнению с его поперечными размерами, возмущения потока, вызванные этим движе нием, можно рассматривать как малые возмущения тече ния, связанного с обтеканием самого тела, а соответствую щие граничные условия задавать на поверхности тела в его среднем, или «равновесном» положении. Таким образом, целесообразно рассматривать два типа движений тела: 1) когда амплитуда не обязательно мала в сравнении с попе речными размерами тела и 2) когда амплитуда значительно меньше этих размеров.
Пусть Ь — большая из следующих двух величин: мак симального поперечного размера тела и максимальной амплитуды его поперечного движения, деленная на длину самого тела, пусть, далее, б^— значительно меньшая вели чина (6j < б), характеризующая малые амплитуды. Введем
теперь |
безразмерные координаты |
VQ и Vj, |
подчиненные |
|
следующему соотношению: |
|
|
|
|
п(х, s. |
0 = 6 / v , ( i , |
“ ) + |
6 A . ( i . |
f ) |
|
|
|
|
(12.1.2) |
Если предположить, что |
и Vj, а также их первые и вто |
|||
рые производные по безразмерным аргументам, являются величинами порядка единицы, то разрывы непрерывности типа тех, которые возникают в плоской задаче, не появятся,
и а priori |
можно утверждать, |
что «окрестность тела»^) оп |
||||
ределяется условиями I/, |
Z — 0(6/). Следовательно, по ана |
|||||
логии |
C соотношениями |
(1.2.3) |
и (1.2.4), можно |
написать |
||
S |
- |
г - Ч ± }1 |
T- |
™ |
(12Л.З) |
|
/ , t , -= |
, t |
- |
||||
См. рассуждения после формулы (1.2.4).
Таким образом, если |
пренебречь производной |
по сравне |
нию C и , из условия |
(12.1.1) получим |
|
'f'' UvcH-^v. = ( - г ) ('’«5+ |
+ ( V ) (’’■S + |
|
(12.1.5) |
На основании предположения, что 6j <С б, это граничное условие (12.1.5) можно снести на поверхность v„^).
Параметр е теперь определится, исходя из требования, чтобы обе части выражения 12.1.5 (правая и левая) были одного порядка. Приняв, что производные VQ^, vot, vi^ и vi-r являются величинами одного порядка, видим, что в правой части выражения (12.1.5) доминируют члены с VQ, откуда вытекают следующие возможные случаи (см. (1.2.7))
А: |
k = 0{\), |
е = б*; |
(12.1.6а) |
В,-. |
f e > l , |
Б = |
(12.1.6Ь) |
C другой стороны, существует еще и вариант, когда VQ соответствует установившемуся обтеканию (а потому vot = 0) и А > 1,
В,: |
б = о ( а д . |
= |
(12.1.6с) |
Требование, чтобы компоненты возмущений скорости, полученные дифференцированием потенциала (12.1.4), были малы по сравнению с U, содержит в себе условие (е/б) < 1, из которого в случаях (12.1.6а, Ь, с) вытекают условия б, A:6,^6i<Cl соответственно. Для того чтобы иссле довать ограничения, которые накладываются требованием,
*) Принятое ограничение, требующее, чтобы поперечная кривизна тела в любом сечении была величиной порядка О (1/6/), может
быть ослаблено в том случае, когда контур поперечного сечения |
имеет |
||
вогнутости с внешней стороны. Более того, это ограничение |
будет |
||
вообще'З нарушено в случае обтекания |
оперенного тела |
(§ |
12.5). |
при этом будут справедливы замечания, |
сделанные на стр. |
И . |
|
чтобы возмущения давления были малы, подставив потен циал (12.1.4) в уравнение Бернулли (1.1.6), получим
P -P o = - уМ" [ е (Il)H-Aitx) + 2 у |
(12.1.7) |
Po |
|
где черточкой сверху обозначается комплексно-сопряжен ная величина. При этом предполагалось, что |р —Pol Ро» однако это предположение само по себе не является осно
ванием для того, чтобы пренебречь членом 2(e/6)^tt4^; (сохранение которого необходимо в случаях А и Bj). Требо вание малости величины (12.1.7) влечет за собой следующие условия для трех рассмотренных случаев Мб, ЛМб,
AM(66i)‘^^ < 1 соответственно.
Возвращаясь к дифференциальному уравнению (1.1.9) после подстановки в него соотношений (12.1.3,4) и пренеб регая всеми безусловно малыми членами (в предположении, что малы возмущения скорости и давления), получим
( 12. 1.8)
В случаях Л и B i правая часть уравнения (12.1.8) мала,
вотличие от случая Bi, где это не обязательно. Возвращаясь к физическим (не безразмерным) коорди
натам, резюмируем приведенные выше рассуждения в таб лице 2, которую следует сравнить с аналогичной табли цей 1 (см. главу 1). Заметим, что введение дополнительного движения C относительной амплитудой б,, если [не считать того, что оно позволяет снести граничные условия на неко торую приближенную поверхность, имеет существенное зна чение лишь в случае Bi, где благодаря ему потенциал может удовлетворять волновому уравнению, несмотря на требова ние малости возмущения давления (в отличие от случая Bj, где это требование влечет за собой условие АМб < 1, следовательно, потенциал удовлетворяет уравнению Лапласа).
При последующем рассмотрении обтекания тонких тел мы будем всегда предполагать, что их форма такова, что влиянием следа можно пренебречь, и единственными локаль ными граничными условиями являются условия, заданные на поверхности тела. Граничные условия на бесконечности
рассматривались в § 1.2, и здесь мы отметим лишь, что вдали от тела, вообще говоря, нельзя в дифференциальном урав нении, которому удовлетворяет потенциал ср, пренебрегать производными по X (хотя это допустимо в случае Л > 1, так как тогда производные по времени доминируют над про изводными по х).
§ 12.2. Теория тонкого тела
Рассмотрим теперь более подробно постановку задачи
Для тонких пространственных тел в случаях >1 и |
табли |
цы 2, следуя оригинальной работе Уорда |
Подлежа |
щая решению задача относится, по существу, |
к задачам |
об обтекании тел несжимаемой жидкостью, поэтому в каче стве характерного времени мы выберем величину //(/^) и будем пользоваться,'в основном, безразмерными коорди натами из § 2.3. Тогда рассматриваемая задача будет фор
мулироваться следующим |
образом: |
|
|
||||
|
|
|
|
. = |
0 |
|
( 12.2 . 1) |
|
|
|
Фи Ic (.-c) = |
; ^ = |
rtx + |
«„ |
( 12.2.2) |
где |
С(х) |
есть |
контур поперечного |
сечения |
обтекаемо |
||
го |
тела. |
|
|
|
|
|
|
|
Если |
ввести |
комплексную переменную |
|
|||
|
|
|
W = у -^iz, |
|
(12.2.3) |
||
то общее решение уравнения (12.2.1) представляется дей
ствительной |
частью комплексного потенциала: |
|||
Х = Ф-Т 1ф = ао(^>01пш + 6 о (д :,0 + |
2 |
a^(x,t)w~”^.{12.2А) |
||
|
|
|
т=1 |
|
Это разложение сходится в |
некоторой области, внешней |
|||
Т е м ж е |
а р г у м е н т о м м о ж н о |
бы .по |
б ы |
в о с п о л ь з о в а т ь с я и в т е о |
р и и к р ы л а м а л о г о у д л и н е н и я ( § 9 . 1 ) , н о э т о м а л о у п р о с т и л о бы
в ы к л а д к и , и . D т о ж е в р е м я , с о з д а л о б ы о п а с н о с т ь |
п у т а н и ц ы |
|
п р и с о п о с т а в л е н и и с р е з у л ь т а т а м и д р у г и х р а з д е л о в . C д р у г о й с т о |
||
р о н ы , э т а |
г л а в а , п о с у щ е с т в у , н о с и т с а м о с т о я т е л ь н ы й |
х а р а к т е р |
и п о э т о м у о п а с н о с т ь п у т а н и ц ы з д е с ь м и н и м а л ь н а . |
|
|
Т а б л и ц а 2. Ограничения на параметры для различных случаев упрощения задачи обтекания тонких пространственных тел
Х а р а к т с р и с т л к а с л у ч а е в
А. Тонкое тело
Вг. Высокие частоты колеба ний, возмущения на кладываются на стационарное поле
Характеристика случаев
Высокие частоты ко лебаний, очень тонкое тело
Высокие частоты колебаний, возмущеиня накладыва ются на стационар ное поле
-Т2 •Р»
Соотношение подобия
(PzJPO) \cot/2 /
иче>1 (hMfl./i^^)
Фп In=JlQ
Un ^ + п ^
Г 6 « |
1 T |
IIe « |
M -Ij ^ |
в « U-I |
|
...АЛ
I в1«е J
( Р -У а\
'Oo '
(Ф^+Фг*)
M « /t « 6-1
1 1 « ft« М-16-1
1) Координаты и потенциал скорости в этой таблице |
не |
б е з р а з м е р н ы , тогда как в § 12.2 и следующих длина, |
ю |
время и потенциал скорости безразмерны (отнесены к I, |
I/U |
и Ul соотвстстиенно). |
о |
по отношению к C (практически ряд может быть получен разложением выражения для X, найденного иными сред ствами, например методом конформных отображений). Следует подчеркнуть, что, в то время как функция гр (зави сящая параметрически от д; и а также от у и г) явля ется, по определению, приближением к истинному потен циалу рассматриваемого трехмерного течения, функция ф не’ является действительной функцией тока этого течения.
Одного только граничного условия (12.2.2) недостаточно для определения Ь^. Для этого необходимо также рассмо треть граничное условие на бесконечности. Но функция не нужна нам для определения поперечных сил, действую
щих на тело, |
поэтому далее мы ее рассматривать не будем |
(см. ссылки в § 12.7 об определении при ускоренном дви |
|
жении тела). |
|
Для того чтобы дать .явное выражение общего коэффи циента разложения a„j, необходимо конкретно задать кон тур С, однако OQ можно определить, проинтегрировав про изводную ф„ по контуру С, что, согласно теореме Гаусса,
даст нам |
|
= |
(12.2.5) |
где 5 — площадь поперечного сечения на расстоянии х от
носка тела, |
а оператор (D/Dt) |
определен соотношением |
(12.2.2). |
|
|
Обычно |
целесообразно Искать |
комплексный потенциал |
в системе координат, связанной с телом, поскольку это упрощает вид граничных условий, которые тогда задаются непосредственно на самом теле, а не на некоторой близкой •поверхности. Исходя из этого, введем преобразование
S ) ' = W —Wg{x, t ) , |
( 12. 2. 6) |
где Wg — комплексная координата центра тяжести местного поперечного сечения S. Запишем теперь комплексны" потенциал в виде
X = Ao Iniw '-f 6„ + Х', |
(12.2.7) |
Так как не может быть особенностей вне тела.
— комплексный потенциал двумерного поперечного обте кания местного поперечного сечения тела, определенный условием (12.2.2) (величины и бд определяются скоростью изменения этого поперечного сечения, т. е. осевым обтека нием тела). Коэффициенты а„ и инвариантны к указанному преобразованию, для того же, чтобы связать между собой значения a„i и а,и, подставим соотношение (12.2.6) в выраже ние (12.2.7) и разложим в ряд по отрицательным степеням w. Сравнивая полученный результат с выражением (12.2.4), найдем
2 J (^ k |
/ ,au+iWg |
( т > 1 ) , (12.2.9) |
где символом |
^ обозначен Л-й биноминальный коэф |
|
фициент разложения функции (1 + A:)"*"^.
Найдя потенциал ф, получим следующее выражение для возмущения давления (см. формулу (12.1.7) и таб
лицу 2): |
|
P - P o = - |
(<P.t + Ф( + 2(р,„Ф^7) (12 .2 .10а) |
P - P .= |
(12.2.10Ь) |
§ 12.3. Поперечная сила |
и момент крена |
Рассмотрим контрольную поверхность, охватывающую обтекаемое тело и движущуюся вместе с ним, которая состоит из следующих частей: а) прямого кругового цилиндра (5j) радиуса с образующими, параллельными оси х\ б) диска (5i), расположенного в плоскости д: = 0 и ограниченного
окружностью радиуса г = г^, |
и в) кольца (5з),-ограничен |
ного окружностью радиуса г = |
и контуром тела в данном |
сечении С{х), как показано на рис. 12.1. Введем в рассмо трение комплексную поперечную силу, действующую на
участок тела, заключенный между сечениями 0 и л:
F {x , t) = Y{x, 0 + tZ (x, 0 . |
(12.3.1) |
Вычисляя скорость изменения поперечной составляющей количества движения внутри контрольной поверхности
i>2ir=r,)
Рис. 12.1. Контрольная поверхность для вычисления поперечной силы (12 .3.2).
И поток той же составляющей импульса через эту поверх ность (помня, что ф==0 на Si), получим
P = - |
5 5 |
|
Sa (.-с) |
8з(х, i)
о8з(|. О
Вбольшинстве практических приложений распределение площадей поперечных сечений (а следовательно, и величи на Sa) не зависит от времени, хотя для вычисления вели чины (12.3.2) это условие и не является необходимым огра ничением.
Врамках теории обтекания тонких тел в (12.3.2) е можно заменить плотностью в невозмущенном потоке QJ , производ
ной фд. пренебречь в сравнении с единицей, а величину давле ния P подставить из выражения (12.2.10). Тогда, заменяя
в первом интеграле сумму |
(ф^ на хй» выражение |
(12.3.2) |
преобразуем к виду |
|||
^ = |
- |
[ф гйг— 5-|х„|*е'»] d S ,+ |
||
|
Sn(X) |
|
|
|
+ |
И |
- |
[ [ |
(Ф„ + iVz) dSs + |
Sn(X) |
^ |
8 з (х , |
i) |
|
+ |
|
|
|
d | I (<t,+i<(,)dS,. (1 2 .3 .3 ) |
Ь'2(*) |
|
О З э ( 6 ,0 |
||
Подставляя в это выражение ср и х.из (12.2.4) и интегрируя по полярному углу вдоль контура г = TJ , убедимся, что первый интеграл в (12,3.3) тождественно обращается в нуль. Применяя к третьему интегралу теорему Стокса (в комплекс ной форме), получим
W (<P„ + t(p*)dS3 = i |
{ |
ф da»+\(p|,=,^e«rid0. (12.3.4) |
sa(*.o |
c ( i i ) |
i |
Второй член этого выражения сокращается со вторым инте гралом в выражении (12.3.3) после выполнения интегриро вания по X .на поверхности S^. Аналогичный результат можно получить и для двух последних интегралов. После всех этих упрощений и дифференцирования по х можно окончательный результат представить в следующей форме:
^ = |
(12.3.5) |
(12.3.6)
C (.-с, 1)
Контурный интеграл в выражении (12.3.6), согласно рабо там Уорда (Р®*1; Р®1, § 9.7)1), можно представить в виде
(12.3.7)
1) в выражении (9.7.2) |
работы Уорда |
по-вндимому, пропу |
|
щен множитель ». |
гм I J» |
/ . г |
JT |