книги / Механическая усталость в статистическом аспекте

ведения функции Ф' (а) и Ф (/) получаются путем сложения соответст­ вующих ординат с учетом их знака. Вероятность разрушения определяет­ ся как сумма значений ординат по кривой 4 в ее естественном масштабе через интервал Да (например, Да = 0,01), умноженная на величину этого интервала. Для Ф (4) по границе доверительного интервала та же опера­ ция выполняется по кривой 5. Соответствующие вероятности разрушения равны V = 0,0046 в первом случае и V = 0,087 во втором.

Из расчета следует, что принятые показатели условий использования автомобиля лежат на границе допустимых по соображениям надежности. Доминирующим в данном случае фактором является рассеяние прочности, в связи с чем вероятность разрушения с достаточной точностью может быть определена по пересечению кривых 1 л 2 с ординатой, отвечающей среднему значению а = 0,145. Эти вероятности равны соответственно 0,0055 и 0,10. Такое положение может быть нетипичным для других соотношений характеристик рассеяния, когда дисперсия по нагрузкам того же поряд­ ка, что и дисперсия прочности.

Расчет показывает, что в данном случае имеется существенный резерв повышения надежности при условии снижения дисперсии прочности пу­ тем усовершенствования технологии.

рушения методом последовательных приближений. — Вестник машиностроения, 1967, № 4.

от х г (определяемая опытным путем), характеризующая зависимости дис­ персии В от о*

Основные результаты регрессионной обработки приведены в табл. 2, где $ 1 — среднее значение случайной величины; 2тг* — общее число испытанных образцов; V — отношение дисперсий внутри системы и вокруг эмпиричес­ кой линии регрессии; а, (5, г| — доверительные границы прп 90% довери­ тельной вероятности для параметров уравнения, теоретической л и н и и регрессии и генерального среднего.

Повреждение, вносимое программным режимом с пиковыми перегруз­ ками,— в условиях наличия и отсутствия концентрации напряжений, при различном характере и величине напряжений перегрузок и основного режима нагружения, а также при контрастных механических свойствах материала образцов,— оценивали как величиной суммы накопленных от­

дисперсией В , средним квадратическим отклонением 5 и коэффициентом вариации V долговечностей а. Среднее квадратическое отклонение опреде­ ляли по формуле

где х1 — текущее значенпе вариационного ряда логарифмов долговечностей илп величин а) на г-ом уровне напряжений; тг* — число членов вариа­ ционного ряда.

Испытания показали [2, 7], что пиковые перегрузки вызывают сущест­ венное разупрочнение, особенно при наличии концентрации напряжений в расчетном сечении образца. Вследствие того, что в зонах концентрации напряжений значительная доля усталостного процесса протекает с раз­ вивающейся макротрещиной (а именно в этих условиях пиковые пере­ грузки представляют наибольшую опасность для прочности металла), была разработана специальная методика, с использованием микроскопа для наблюдения за поверхностной макротрещиной, что позволило разде­ лить усталостный процесс на две стадии: первую—до образования макро­ трещины на поверхности образца и вторую—развитие макротрещины до раз­ рушения образца [1]. Это дало возможность рассмотреть накопление уста­ лостных повреждений и оценить рассеяние долговечностей как с по­ мощью суммарных характеристик, обусловленных разрушением образцов, так и на каждой из стадий усталостного процесса. (Соответствующие ве­ личины а, з, В и V, относящиеся к результатам при окончательном разру-

•шении образцов^ приводятся ниже с индексом «раз», относящиеся к пер­ вой стадии — с индексом «1»ико второй — с индексом «2». Величины, относящиеся к пиковым перегрузкам, пишутся с индексом «пик», к ос­ новному режиму — с индексом «осн».)

Вычисления проводили на ЭВМ «Промпнь». Полученные значения а для ряда уровней основного режима оОСн по результатам испытаний об­ разцов с мелким надрезом из стали 40Х приведены на рис. 1, где разность

ординат Дсум и Линк равняется 27&о(зи*/^осн* = ^осн* С изменением Поен

от 0,5 до 1,75 а_г характер изменения величин аПнк и асум существенно различен: при а ос„ < 1,01 о_гвеличина аПик !>> «ос»; при аоси I> назначение а 0ш возрастает; при <т0сн > (1,5 -г-1,75) ав1 величина а0сп становится значительно больше ат1к. Аналогичные данные получены и для гладких образцов, а также для образцов с концентраторами напряжений (глубо­ ким и мелким надрезами) из сталей 45 и 40Х. Испытания показали, что

наибольшее влияние на характер изменения асум п на соотношение Доси и аппк оказывают напряжения основного режима, а абсолютная величина а завысит от коэффициента концентрации а с, градиента О первого глав­ ного напряжения в зоне концентрации напряжений и от соотношения чис­ ла циклов пиковых перегрузок и основного режима в блоке напряжения.

Наличие пиковых нагрузок вызывает наибольшее отклонение от ли­ нейной гипотезы суммирования повреждений в области <!<*„ = (1,01 -ч- -т-1 ,1)сг_1. При значениях <Тоси<С 1,01 а.! величина асум приближается к еди­

> (1,5 ч- 1,75) а_! асум ~ аССц и близка к единице [7).

С переходом от кратковременных к весьма кратковременным нагрузкам (т. е. к режиму ппт</посн = 0,001) наблюдается уменьшение аСУи в местах концентрации напряжений на 10—30%, причем наибольшее снижение отмечено для образцов из стали 40Х. Раздельное рассмотрение значений а на I и II стадиях показало, что повреждение, оцениваемое величиной а, на I стадии меньше, чем на II, при этом для пиш</п0СП = 0,01яСУМ1> > аСУМ2 для мелких надрезов на 35 и 80%, для глубоких = на 42 и 50% для сталей 45 и 40Х соответственно; для иП1Ш/и0СП = 0,001 аСУМ| > асуМг на 10 и 35% для мелких и на 25 и 22% для глубоких надрезов образцов из сталей 45 и 40Х соответственно.

Выводы

Таким образом, при наличии значительных кратковременных перегру­ зок наблюдается весьма существенное отклонение от линейной гипотезы суммирования повреждении; величины а в ряде случаев могут снижаться до значений 0,1 -ч- 0,15, что при расчете долговечности по линейной ги­ потезе может приводить к 7—10-кратной ошибке не в запас долговечности.

Наиболее низкие значения а имеют место при а0Сц, близком к пределу выносливости, а повреждение от а осни аттсоизмеримы по величинепри вы­ соких значениях а0Сн наибольшая доля в сумме относительных долговеч­ ностей приходится на ступень с напряжением а0Си, а при малых напряже­ ниях с0СН(0,5 *ч- 0,75 с_1) основная доля повреждения обусловлена пиковы­ ми перегрузками.

Между значениями а, подсчитанными по долговечностям по оконча­ тельному разрушению и по началу развития трещины, различия не пре­ вышают 10-4-15%.

ЛИТЕРАТУРА

1. В. П. В а н д ы ш е в . Приспособление для программных усталостных испытаний

с«пиковыми» перегрузками.— Заводская лаборатория, 1965, № 1.

2.В. П. В а н д ы ш е в . О влиянии нестационарного нагружения и концентрации

5.М. Н. С т е п н о в . Линейный регрессионный анализ результатов усталостных испытаний.— Сб. «Конструкционная прочность легких сплавов и сталей», под ред.

С.В.‘ Серенсена, 1964, Труды МАТИ, вып. 61.

6.В. В е и б у л л . Усталостные испытания и анализ их результатов. Изд-во «Маши­

ГезидкеН, N 1, Бгезбеп—ДУагзга\уа, 1967.

III. СТАТИСТИЧЕСКИЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ НАГРУЖЕННОСТИ ДЕТАЛЕЙ В ЭКСПЛУАТАЦИИ И ВЕРОЯТНОСТНЫЕ МЕТОДЫ РАСЧЕТА ДЕТАЛЕЙ МАШИН НА ПРОЧНОСТЬ

ВЕРОЯТНОСТНЫЕ МЕТОДЫ РАСЧЕТА НА ПРОЧНОСТЬ ПРИ ПЕРЕМЕННЫХ НАГРУЗКАХ

С. В. СЕРЕНСЕИ, В. П. КОГАЕВ

Необходимость создания вероятностных методов расчета деталей ма­ шин на прочность связана со случайным характером изменения экс­ плуатационных нагрузок во времени и значительным рассеянием ха­ рактеристик выносливости. Так, коэффициенты вариации пределов вынос­ ливости натурных деталей могут достигать 5—10%, т. е. возможные ко­ лебания величины предела выносливости от среднего значения могут дохо­ дить до 15—30% (интервал + 3 д5СТ,, где 8с_г— стандартное отклонение предела выносливости). Коэффициенты вариации параметров спектра амп­ литуд напряжений (например, средней амплитуды спектра да) могут

достигать 10—20% и более.

Это свидетельствует об актуальности вероятностных методов расчета на прочность элементов конструкций. Исследования последних лет разви­ вают статистическую информацию, необходимую для внедрения в прак­ тику вероятностных методов расчета на прочность. Допущения и услов­ ности, которые при этом неизбежны, не снижают преимуществ таких ме­ тодов.

Оценка параметров спектров амплитуд напряжений

иих рассеяния

Влитературе [1, 2] описаны различные методы статистической систе­ матизации данных о нагруженности деталей в эксплуатации. Для практи­ ческого использования могут быть рекомендованы методы размахов, пол - ных—циклов и !ю рреляпионных--даблип^ При наличии корреляционных таблиц, характеризующих двумерную плотность распределения величин оаи ат (амплитуда и среднее напряжение цикла), для расчета на прочность может быть получен спектр эквивалентных амплитуд, приведенных к симметричному циклу по соотношению

где ф — коэффициент влияния асимметрии цикла (дальнейшее накопление оцытных данных позволит уточнить и дополнить указанные методы бо­ лее полными способами систематизации).

Существуют и другие пути учета асимметрии цикла, основанные на введении функциональной зависимости между сг0, ат , 1&N и вероятностью разрушения Р [3]. Однако эти пути более сложны для практического при­ менения.

! Параметры спектров амплитуд напряжении зависят от условий экс­ плуатации, в частности, от скорости движения, от места и времени года, от типа выполняемой работы и т. д. Поэтому спектры амплитуд находят для различных режимов службы деталей. Для получения результирующего смешанного спектра необходимо располагать статистическими данными о *|доле времени работы машины при различных режимах.

Плотность распределения смешанного спектра п его параметры могут быть найдены по известным соотношениям [4]

Здесь р }: — относительное время работы машины в условиях с номером

ды напряжений в условиях к ; оа = а и 8% — среднее значение и диспер­

сия амплитуды смешанного спектра.

Другой важной характеристикой действующих нагрузок является сум­ марное число циклов за срок службы ^Усум, которое также можно, вообще говоря, рассматривать как случайную величину, учитывая различное вре­ мя фактической работы отдельных экземпляров машин за срок службы, отклонения по частотам и т. д. Однако в связи с весьма значительными трудностями в оценке функции распределения АГСУм, а также для упрощения расчета можно рекомендовать рассматривать величину как детерми­ нированную, определить которую можно по формуле (имея в виду обычно

где Т — планируемый срок службы детали в годах; к — средняя оценка

количества часов работы данной машины в год; / — средняя частота слу­ чайного процесса изменения нагрузки данной детали (число циклов в се­ кунду).

Полученный спектр амплитуд и величина ЛГСУМявляются фиксирован­ ными характеристиками нагруженности определенной детали данного экземпляра машины. Случайные вариации спектров нагрузок в определен­ ной совокупности машин данного типа могут быть охарактеризованы функ­ циями распределения параметров спектров амплитуд (или их парамет­ рами). Например, спектр амплитуд напряжений, полученный в резуль­ тате измерения в некоторых условиях работы, оказался -нормальным с

параметрами оа (среднее значение) и 8 Са (стандартное отклонение). Ве­ личины о а и 8<за следует рассматривать как случайные, так как при повто­

рениях аналогичных измерений по определению спектра тем же способом на разных экземплярах машин, в различное время или в других условиях эксплуатации (в пределах известной группировки указанных факторов) будут получаться другие значения указанных величин. Поэтому можно

говорить о плотности распределения / (<та) величины оа и ее параметрах сг0 (среднее значение) и 8аа (стандартное отклонение величины оа [1], аналогично / в, 80а, 8 В— плотность распределения, среднее значение и

стандартное отклонение (соответственно) величины 80а. Приведенные ве­

= 8оа/ааиУ 8 = 8*/8аа. Надежная оценка всех указанных коэффициентов

вариации и их учет в расчете на прочность являются достаточно затруд­ нительными. Поэтому в первом приближении можно пренебречь измен­ чивостью коэффициента вариации У0а, полагая подобие форм спектра и

принимая в расчете усредненную оценку этого коэффициента (при этом величина У§ не вводится в расчет).

Величина же У^а играет весьма существенную роль в оценке прочности

деталей в эксплуатации, так как характеризует изменчивость средней амплитуды спектра (а следовательно, и уровня напряженности детали).

При построении вероятностного метода расчета на прочность, как бу­ дет видно из дальнейшего, понятие запаса прочности не используется, а возможные случайные вариации уровня напряженности оцениваются ве­ личиной Уъа.

Оценка сопротивления усталости и рассеяния характеристик выносливости натурных деталей

Для описания функций распределения долговечности при усталост­ ных испытаниях используются различные законы распределения [5—7]. Наибольшее распространение получил логарифмически нормальный закон [5] н особенно логарифмически нормальный закон с порогом чувствитель­ ности по циклам [6]. При испытании сравнительно небольшого количества образцов или детален (порядка 15—20 на всю кривую усталости) с успехом применяется регрессионный анализ с постоянной [8, 9] и л и переменной [10] дисперсией. Если вопрос о функциях распределения долговечности является более изученным, то для пределов выносливости он исследован мало.

Функции распределения пределов выносливости на определенной базе хорошо описываются нормальным законом распределения величины

х = (бтах — и)

где о тах = к —г максимальное напряжение в зоне концентрации; <ха—теоретический коэффициент концентрации; о_1К—предел выносливости детали на определенной базе в номинальных напряжениях; и — нижняя граница значений предела выносливости по аП1ах [11].

Экспериментальное определение параметров этой функции производит­ ся «пробит»-методом или методом «лестницы» [12]. При этом требуется про­ ведение испытаний 20—60 объектов и более, практически до базы испы­ тания (5—10 млн. циклов), что для натурных деталей весьма затрудни­ тельно.

Поэтому важное значение приобретает изучение закономерностей по­ добия усталостного разрушения, с помощью которых может быть осуществ­ лена интерполяция и в известных пределах экстраполяция опытных дан­ ных, полученных на образцах и моделях, для оценки функций распреде­ ления пределов выносливости натурных деталей.

На основе статистической теории прочности наиболее слабого звена в работах [13, 14] было показано, что критерием подобия усталостного раз­ рушения при изгибе с вращением, обеспечивающим достаточно хорошее

соответствие опытным данным, может быть отношение Й/&, где й — диа­ метр детали в опасном сечении, О — относительный градиентпервого главного напряжения (О = 1/сгтах • иш-1). При этом семей­ ство функций распределения пределов выносливости для деталей с раз-

(Стах — и) = А — В 1§= + Ир'5’. Сж

Это уравнение соответствует нормальному закону распределения величины х = 1%(<ттах- — и), упомянутой выше; А, В — постоянные величины, ха­ рактерные для данного материала, частоты испытания, температуры и

Рпс. 1. Аппроксимация нормального распределе­ ния'величины к_(атах —

—и)*(линии 1 и Г) нор­ мальным распределением величины сгтах (линии

2 и 2')

вида нагружения; г/р — квантиль нормального распределения I? — стан­ дартное отклонение случайной величины х = 1&(сгтаХ — и). При Ир = = 0 получаем среднее значение величины х

Уравнение (6) описывает влияние только конструкционных факторов (концентрации напряжений и абсолютных размербв поперечного сечения). Влияние на рассеяние характеристик выносливости коррозии, остаточных напряжений (от сварки, химико-термической обработки и т. д.), техноло­ гических методов поверхностного упрочнения и т. п. уравнением (6) не описывается и должно рассматриваться особо.

Нормальное распределение величины х = 1д (о^х — и) в целях су­ щественного упрощения расчета целесообразно аппроксимировать нор­ мальным распределением величины сгшах таким образом, чтобы величины Стах, соответствующие квантилям иР1 ~ О (точки а на рис. 1) и Мр, = —2 (точки б на рис. 1), совпадали бы в обоих распределениях [15]. В этом слу­ чае отклонения в вероятности разрушения, получающиеся в результате указанной аппроксимации, оказываются малыми и не имеют существенного значения для расчета. При указанной аппроксимации среднее значение