книги / Механическая усталость в статистическом аспекте

МЕТОДИКА СТАТИСТИЧЕСКОЙ ОЦЕНКИ ПОРОГА ЧУВСТВИТЕЛЬНОСТИ УСТАЛОСТНОЙ ДОЛГОВЕЧНОСТИ

А. Ф. СЕЛИХОВ, И. Г. ХЛЕБНИКОВА

Для правильной оценки безопасного срока службы конструкций по ус­ ловиям выносливости необходимо знать вероятностный закон распреде­ ления усталостной долговечности, особенно для очень малых вероятно­ стей разрушения. С точки зрения характера зависимости вероятности

законов распределения можно разделить на две группы. Первая характе­ ризуется тем, что вероятность разрушения не равна нулю при любом, как

числе циклов нагружения. В этих условиях знание величины А 0 особен­ но важно, так как вследствие большого рассеяния усталостной долго­ вечности оценка срока службы в предположении А0 = 0 может дать за­ нижение допустимой долговечности в десятки раз.

К сожалению, в настоящее время количество экспериментальных дан­ ных о величине порога чувствительности явно недостаточно. Основным обстоятельством, сдерживающим развитие исследований в данном направ­ лении, является необходимость для подобных экспериментов большого числа образцов. Это усугубляется также и недостаточным уровнем разра­ ботки методики оценки величины порога чувствительности по результа­ там усталостных испытаний.

Для определения порога чувствительности разработано несколько спо­ собов, в том числе графический, метод наименьших квадратов [2], метод квантилей [3]. Эти методы позволяют сравнительно просто оценить ве­ личину А0, они успешно применяются на практике. Однако до сих пор не решен вопрос об эффективности этих методов, так как при определении N 1) по результатам усталостных испытаний вследствие случайного рассе­ яния чисел циклов до разрушения возникают ошибки. Эти ошибки опре­ деляются не только количеством образцов при испытаниях, они сущест­ венно зависят также от способа определения А 0. Для некоторых методов погрешности могут быть настолько значительными, что эти методы,

несмотря на простоту, оказываются практически неприемлемыми. Знание этих ошибок необходимо также для определения числа образцов, пот­ ребных для обеспечения заданной точности эксперимента.

Настоящая работа имеет целью нахождение достаточно эффективного метода оценки порога чувствительности по результатам усталостного экспе­ римента и исследование возможных ошибок в определении величины N о, обусловленных статистическим характером экспериментальных дан­ ных. Рассматривается также определение доверительного интервала для порога чувствительности.

Поставленные задачи решаются при следующих допущениях. В соот­ ветствии с работой [4] закон распределения усталостной долговеч­ ности будем считать логарифмически-нормальным для разности усталост­ ной долговечности и порога чувствительности, т. е. для величины N —

Я о,

1п ( N - N 0) _ (Ь-аТ-

Натуральные логарифмы вместо обычно применяемых десятичных использованы для облегчения дальнейших выкладок и упрощения полу­

В предположении закона распределения по формуле (1) задача по оцен­ ке порога чувствительности сводится к определению неизвестных парамет­ ров а, а, ТУо по известным результатам усталостных испытаний, т. е. по заданным Л ь..., 1Уп числам циклов до разрушения п испытанных образ­ цов.

Как уже указывалось, целью данного исследования являются:

1) разработка способа определения величины по известным Л 1,...

2)определение возможных отклонений экспериментального значе­

ния N о от его истинной величины; 3) разработка способа построения так называемого доверительного интервала для величины порога чувстви­ тельности.

Оценка величины порога чувствительности

Одним из возможных способов статистической оценки неизвестных па­ раметров по опытным данным является метод наибольшего правдопо­ добия. В большом числе случаев этот метод дает наилучшие в статисти­ ческом смысле оценки, т. е. такие экспериментальные значения искомого параметра, которые обладают наименьшим рассеянием относительно его истинного значения.

Как известно [5], по принципу наибольшего правдоподобия искомые значения параметров определяются из условия обращения в максимум вероятности появления имеющихся результатов опыта. В нашем случае вероятность Р* того, что число циклов до разрушения г-го образца будет

Вероятность Р е того, что результаты испытаний каждого образца бу­ дут находиться в соответствующем интервале, равна произведению ве­ роятностей для каждого образца

В соответствии с принципом наибольшего правдоподобия будем ис­ кать такие значения параметров а, а и N 0, которые соответствуют макси­ муму вероятности Р е при фиксированных значениях N1,...,

Поскольку 1п Р е является монотонной функцией вероятности Р е, для упрощения выкладок условие максимума величины Р е заменяют ус­

являются уравнениями для определения экспериментальных значений

ТУо, а, а искомых параметров Л^0, а, а.

С помощью несложных преобразований, используя выражение (4), уравнения наибольшего правдоподобия (5) можно привести к следующей

= а) являются случайными величинами, совместное рассеяние которых

Основной величиной, определяющей рассеяние одной случайной ве­

личины, например, 0* является, как известно, ее среднеквадратическое отклонение, квадрат которого равен соответствующему второму момен­

Функция распределения Р определяется по формуле (1).

Произведя необходимые вычисления, получим, что матрица коэффи­ циентов ац имеет следующий вид:

Обращение матрицы (11) дает матрицу нижних границ вторых момен­ тов \\Мц\\.

В частности,_ для нижних границ среднеквадратических отклонений •оценок ЛГ0, а и а получим следующие выражения:

(12)

(13)

(14)

Рис. 3. Закон распределения оценки порога чувствительности усталостной долговечности (при а = 1 п а = 0)

Число образцов п: 1—100; 2—50; 3—20

Коэффициенты К г, К2 и К 3 определяются по формулам

Полученные результаты позволяют определить нижнюю границу

достаточно больших п распределение оценок наибольшего правдоподо­ бия в большом числе случаев оказывается достаточно близким к нормаль­ ному закону с математическим ожиданием, равным истинному значению искомого параметра.

Среднеквадратические отклонения таких оценок при увеличении п стремятся к нижним границам, определенным выражениями (12) — (14).

Для проверки справедливости этих положений в рассматриваемом случае были проведены расчеты истинного распределения оценки АГ0.

Расчеты показали, что при числе испытанных образцов п^> 20 в диа­ пазоне значений 0,5 ^ б ^ 1,5 метод наибольшего правдоподобия дает удовлетворительные результаты применительно к оценке порога чувст­ вительности усталостной долговечности. Закон распределения оценки ока-

зывается близким к нормальному (рис. 3). Среднеквадратическое откло­

ское отклонение оценки порога чувствительности а#0не зависит от абсо­ лютной величины ])10, увеличивается с ростом среднего значения а и резко уменьшается с увеличением средпеквадратического отклонения сг.

Расчеты показали также, что при сравнительно небольшом количест­ ве образцов (п ^ 20), особенно при больших значениях о (о > 2), мето­ дика не всегда дает возможность определить величину порога чувстви­ тельности.

Кроме перечисленных особенностей, выявленных при моделирова­ нии испытаний на ЭВЦМ, следует отметить также некоторое смещение оцен­

ки Й 0 относительно истинного значения N 0 . Величина этого смещения для случая а = 0 показана на рис. 5, который дает представление о возмож­ ных систематических ошибках метода.

Определение доверительного интервала порога чувствительности

Результаты, полученные в предыдущем разделе, позволяют определить возможные погрешности при оценке порога чувствительности в случае, когда истинные значения параметров а и а могут считаться известными.

Точность статистической оценки неизвестного параметра обычно ха­ рактеризуется шириной доверительного интервала, т. е. такого интерва­ ла, который накрывает истинное значение искомого параметра с задан­ ной вероятностью Р довВеличина Рдов называется доверительной ве­ роятностью.

Если значения а и а можно считать известными, то величина довери­ тельного интервала порога чувствительности может быть легко определе­

на в предположении нормальности распределения оценки N 0 и ее статис-

тнческой несмещенности1 и эффективности2. В этом случае доверитель­ ный интервал определяется неравенством

где ак0 определяется по формуле (12), а и±и и2 — квантили нормального распределения, соответствующие вероятностям Рг = (1 + Рдов) /2 и

Р ъ = (1 — Р дов )/2 .

На практике, к сожалению, не всегда можно с достаточной точностью

задать значения а жа для определения В нашем случае необходимо применить другой, более точный способ построения доверительного ин­ тервала. Наиболее строгим является построение доверительных областей одновременно для всех трех оцениваемых параметров. Этот путь, одна­ ко, очень сложен, громоздок и не дает практически приемлемого решения.

Рпс. 6. К определению доверительного интер­ вала порога чувствительности

Мы воспользуемся другим способом: попытаемся подобрать такую ста­ тистику, которая содержала бы всю информацию относительно порога чувствительности и в то же время ее распределение не зависело бы от искомых параметров.

Для того чтобы представить себе, какой вид должна иметь искомая статистика, полезно рассмотреть выражение (12). В первом приближе­

нии величина рассеяния оценки ЛГ0 зависит от величины еа"°*. Поэтому

не будет зависеть от величины а и будет слабо зависеть от величины а. Расчеты с помощью метода математического моделирования подтвер­

ждают это.

Как показали расчеты, статистикой % можно пользоваться для пост­ роения доверительных интервалов параметра ЛГ0 в диапазоне 0,5 ^ а ^ 1,5. В этом случае доверительный интервал определится неравенством

Сводный график усредненных зависимостей Г (х) для объемов выбор­

рительные интервалы для* порогов чувствительности, оценки которых подсчитаны по результатам усталостных испытаний, приведенным на рис. 2, 8 и 9. Границы доверительных интервалов оказались равными [2]:

для 22 образцов сплава В-95 при апер = + 22,8 кГ/мм2

2>6 .1 0 5 < ^ о < 6 ,М 0 5

при значении N 1) = 5,8 *10б;

для 21 образца сплава В-95 при аПСр = + 20,4 кГ/мм2

1 ,М 0 5< # о < 2 ,3 .1 0 *

при значении оценки N 0 = 2,2 105;

для 100 образцов из сплава АД-33 при сгпер = + 7 кГ/мм2

1,4.106<ЛГ0< 1 ,2 .Ю б

при значении ЛГ0 = 1,1 -106.

Доверительные интервалы для порогов чувствительности, оценки ко­ торых подсчитаны по малому числу образцов, часто оказываются довольно

вается в диапазоне 1,5—9. Из графика видно, что для того, чтобы довери­

тельный интервал для порогов чувствительности не превышал 30% N о, нужно было испытать около 370 образцов вместо 100, порядка 50 вместо 22 и около 60 вместо 21. Для средних значений о и отношения N 5 о%/Ао число образцов, необходимых для определения доверительного интерва­ ла с заданной точностью, колеблется от 25 до 700.