книги / Операционное исчисление и обобщенные ряды Лагерра

условиях задачи tr$ положить у(ха) = Y"(f(xn)-\-f(x—„)), то за­

дача tr3 совпадает с задачей tr'\, т. е. задача tr\ оказывает­ ся алгоритмически эквивалентной задаче trs.

В задачах аппроксимации функций алгебраическими многочленами большую популярность завоевали многочле­

Для практических целей большую ценность приобрела задача интерполирования по многочленам Чебышева. Су­ ществует два варианта задач указанного типа.

Задача Thu [33]. Построить многочлен

fe=0

Продолжим по периоду соотношение (10). С этой целью за­

метим, что Та{хъ) = cos . Пусть е = 2г(п+ 1 )+ ц, где

—в + 1 < ц < в . тогда Т в(хк)= (—1)ГТ [v.\(xk).

Поэтому

жает коэффициент с п с точностью до порядка малости коэф­ фициента с зл ; однако в случае, когда коэффициенты cs ряда (8) убывают достаточно быстро, то предпочтение сле­ дует отдать Гйц-методу, так как в целом порядок прибли­ жения коэффициентов к с* в этом случае будет лучше.

Многочлены Чебышева (второго рода)

sin (tt+ l)a rc cosy

(n = 0, 1 , 2, . . . )

удобны для полиномиальной аппроксимации функций, при­ нимающих большие значения на концах интервала

(—1 » +'1)*

Аналогично задачам Thu, Th\z в зависимости от узлов интерполирования могут быть сформулированы два вари­ анта задач. Из них отметим аналог второго варианта.

Задача Th22Построить многочлен

L TT ( f , х) = dlnu x(x) + d2aU2(х) + . . . + d„ -1, nUn-i(x), (5.1.13)

ЛЛ

такой, что Lrr (f , Хъ) = f(x i), где в качестве узлов интерпо-

U П

k

лирования избраны точки xk = cosit — (O ^ k ^ n ).

Замена х = cos0 сводит задачу Тйгг к задаче tns отно­ сительно функции g(©)=sin@/(cos0 ).

Таким образом, искомые коэффициенты d sn исчисляют­ ся по формуле

Несколько замечаний о порядке вычисления коэффици­ ентов интерполяционных многочленов.

Если в памяти машины задать матрицу синусов и коси­ нусов, отвечающих интерполяционной задаче с iV-узлами, а вычисление коэффициентов интерпретировать как умно­ жение матрицы на вектор, то потребуется порядка N2 умно­ жений и N2 алгебраических сложений, т. е. суммарно потре­ буется порядка 2N2 арифметических действий. Поэтому при больших значениях N объем вычислений существенно воз­ растает и вопрос об экономии машинного времени становит­ ся актуальным.

сти системы функции 1, в, г2, . . . на окружности С(|г|=1 ) сходится в среднем к некоторой функции gi(z) класса Ь% на С ;

2) g](z) является граничным значением функции g(z) в следующем смысле: функция g(z) при стремлении г к С п о любому пути в углах с вершинами на С и со сторонами,, являющимися хордами, принимает почти всюду значения gi(z);

Вывод: если изображение Лапласа F(p) удовлетворяет требованию (9), то отвечающий ему оригинал f(t) однознач­ но восстанавливается, в общем случае в метрике Lz(0, оо), рядом

оо

где коэффициенты ак могут быть вычислены по формуле

либо по формуле

Это сравнительно простой метод определения лагерровского спектра функций, в частности, может быть с успехом ис­ пользован для вывода большого количества новых разложе­ ний специальных функций по многочленам Лагерра.

(Rev > — 1, Re|A > — 1).

Применяя теорему подобия это соотношение приведем le виду:

00

(5.2.13)

то

(здесь Р„ (ft) — произвольный многочленстепени п от цело­ численного аргумента ft).

Найдем изображение заданной функции

ОО