книги / Операционное исчисление и обобщенные ряды Лагерра
..pdfнаконец, полагая z равным t, получим производящую функ цию
w—2 *»**•
к= 0
Пространства указанных дискретных преобразований име-. ют алгебраически изоморфную структуру, что собственно определяет также изоморфизм соответствующих операцион ных правил.
Второй прием заключается в различных модификациях операций свертывания. Приведем простейшую из таких мо дификаций.
Рассмотрим последовательность с ненулевыми элемен-
тами из Р : (ро, рь Ръ •. •)•
Сопоставим каждую последовательность из P[f]
= |
(«0» ®1> ®2i •••) |
со взвешенной последовательностью |
|
[ « M e * |
= ( « о Р о ат. ®!р2i>P ■i • • )» |
в пространстве P[z] ей отвечает ф. с. р.
00 |
|
F t (z) = 2 |
Р* г*- |
к=0 |
|
Теперь, если ограничиться рассмотрением только подоб-.. ных взвешенных ф. с. р., то операция умножения в про странстве P[z] породит новый тип свертки во множестве взвешенных последовательностей над полем Р, а именно,
[ojtetf © \bt]teN =
где
В частности, полагая р*=-^-,получим так называемое
исчисление Блиссара.
Третий прием основан на использовании функциональ ных сверток. Остановимся на одном из важных типов свер ток.
Нетрудно убедиться {используя интегралы Эйлера второ го рода [20]), что справедливо
d f (t—0* |
-с» |
tk+m |
dt J kl |
ml a |
(k+m)l’ |
о |
|
|
Сопоставляя каждую числовую последовательность
f{t) = (fo, fi, f » •••) |
(1.5.1) |
над полем P комплексных чисел с формальным экспонен циальным рядом
|
А |
00 |
* |
|
|
X1 |
|
|
|
t=0 |
(1.5.2) |
|
|
|
|
с которым в свою очередь сопоставляется ф. с. р. |
|||
|
|
00 |
|
|
|
f=-0 |
Ц.б.З) |
|
|
|
|
получим три типа изоморфных |
между собой колец P[f], |
||
Р оМ , |
Р[г], где Ро[ж] кольцо рядов типа (2) со сверткой |
||
d |
X |
|
|
f |
|
|
|
вида^ \ f(x—x)g(x)dx в качестве умножения.
0
Теперь на ряды типа (2) можно распространить опера ционные правила дискретного преобразования.
Приведем несколько примеров. Имеем диаграмму изоморфизмов
РМ«— ►PJ*]*—*-Р[г], |
(1.5.4) |
|
f |
t |
|
которые задаются следующим соответствием функций (1), (2), (3):
m H { x ) + F ( z ) .
I - I
Отсюда, в частности,
1) S(t —
I______ J l _ l
2) H(t — n )+ ex — |
zn |
|
1—г» |
|
|
k=o |
I |
|
|
|
|
t=o |
' ' |
I |
•_____________ |
|
|
(отметим, что многочлены L a (x )= |
2 ( — |
ь )"аГ назы- |
|
*=о |
v k ' |
ваются многочленами Лагерра)
« (ik i(:)£ = ^ ïri^ .
t=0
5) a (f(t) ■+•f (ах) ■+■F(az),
6) f( t —m) - J j J (Хт, )т fCW*
A^(2)-(/,+/l2+ . . .
7)/(t+nO + jgaft*)-*
8) |
p ) ^ ^ ) |
Ь |
4 , |
|
J4*) |
9) 2 / W ( * ) |
|
1—2 » |
ft-о |
|
|
I |
|
|
10) t |
f |
( « ) TzH z), |
X |
x t |
Z
U ) |
Щ - |
J |
0 |
|
0 |
|
|
0 |
|
||
12) |
( t \ |
|
X n A |
1 |
An |
( nJ№ |
- * ) + -infix) + |
|
2" -âprznF(z) |
||
ИТ. д.
Приведенные примеры показывают, как операционные соотношения между элементами двух любых колец диаграм мы {4) порождают соответствующие операционные соотно шения для любой другой пары колец.
Используя диаграмму изоморфизмов (4), получаем сле дующее утверждение:
если имеют место соответствия
- W ) - ( f о» Л . / » . . . ) .
+
со ,
Ах *
. . /(*)=* 2 i f k *г»
+09
~F ( z ) = ^ f hz\
О
то для V Я(з), g(z) б Р [з] |
при условии 0 (g (z ))^ l справедли |
вы соответствия |
|
00 |
|
Qt т + 2 |
Q/([/]) -£ -* -Ц гЩ в (г)), |
г= о
где многочлены Q *(и>) порождаются производящей функци-
е в î ^ r |
' 2 |
Отсюда, в частности, легко устанавливаются соотноше ния
т = |
(fa, fu |
fz, ••.) = |
2 |
^ ( 4 ) '( I )’ |
(1*5.5) |
|
A |
|
X k |
|
1 |
x k |
|
/(* )= |
2 h ТГ = * '‘ |
2 |
A«.P/ о ;Г Â7. |
(1.5.6) |
||
|
ft=0 |
|
|
|
|
|
|
00 |
|
GO |
|
j |
|
* < * )= |
2 |
= |
&»o |
v |
p ; |
(1.5.7) |
|
*-o |
|
|
|||
которые проверяются непосредственно.
Указанные соотношения означают, что преобразованию Эйлера степенных рядов (7) отвечают следующие его моди фикации: в пространстве Ро[ж] преобразование (6); в про странстве P[f] преобразование (5).
Отметим, что формализм принципа финитности позво ляет использовать итерации преобразования Эйлера и его модификаций.
Дополнение диаграммы изоморфизмов (4) новыми коль цами можно осуществить различными путями (часть кото рых указана ниже). При этом будут получаться различные модификации дискретных преобразований.
Остановимся на одном из таких дополнений, которое будет играть большую роль для последующего построения.
Выше было показано, что полиному Лагерра |
L n(x) = |
= 2 (—1)га—*( ” )4г6 Ро[>] отвечает в кольце Р[г] |
полином |
(г— 1)в. Используя правило подобия, легко видеть, что спра ведливо операционное соотношение 0^\х)=ляЬ п(х1а)г*-(г—а)".
Следовательно, согласно теореме о свертке, будем иметь
х
— т)®т)(х)<^е"*"(г — а)*(2 — а)ю« Отсюда заключа-
0
ем, что справедливо
х
e<«)(* _ T)e£)(x)dx = ew»(«). |
(1.5.8) |
Последнее свойство позволяет построить кольцо Ра [я] рядов вида
(1.5.9)
й=0
произведение которых определяется соотношением (8). Ря ды (9) будем называть формальными a-рядами Лагерра (ф. р. Л). Кольцо Ра [х] изоморфно кольцу ф. с. р. P [z— а] ; упомянутый изоморфизм задается соответствием
09 00
кх)=2W ' (*>* 2 - а>*=m (1.5.Ю) |
|
к-0 |
k=0 |
Таким образом, диаграмма изоморфизмов (4) дополня ется новой цепочкой соответствий :
Рассмотрим операционные соотношения, порождаемые цепочкой изоморфизмов
Р(ХН— >Р«\х]<— >P[z—о], |
(1.5.12) |
где изоморфизм задается следующим соответствием функций:
- № = ( и |
и |
и . . . ) |
еР[г]. |
+ |
|
|
|
00 |
|
|
|
2 |
W |
* ) |
еР«И, |
*=-0 |
|
|
|
+00
—F (z — а) = 2 /*(*—«)* GP[Z — а]. *=о
Для вывода операционных правил воспользуемся сле дующим приемом.
Обозначим через Pot*]» Р«[*]> |
з], Р [г—а] подкольца |
многочленов колец Ро[*]»'’ " ;[*]» |
'[z—а] соответст- |
>]. Р[ |
венно.
Упомянутые подкольца изоморфны, изоморфизм порож-
дается соответствием ^--*-зв,при этом Ро[ж] =Р« [ж] и P[z] =
А
= Р [з — а].
Отсюда следует, что операционные соотношения между
ЛА
элементами подколец Ро[*] и P[z] могут быть распростра нены на пару колец Р« [*] и Р [з—а] при условии, что соот ветствующее распространение допустимо для пары колец Р0Ы и Р Ы и оно свободно от влияния параметра а. На-
пример, так как |
d |
ж ^ |
d |
/ х п \ |
d |
п |
i d |
дг _ |
d \ r u a s, ч |
. |
|
|
( - jj] -ь |
37 з |
, то |
|
j 0^ >(*) |
-*-• |
|||
(з — а)" для |
|
любого абР. |
|
|
|
|
|
|
||
В частности, легко убедиться, что |
|
®%Kx)= n ®j?li(*)• |
||||||||
Следовательно, для цепочки (12) справедливо правило
При распространении операционных правил с пары колец Ро[ж] и Р[з] на пару колец Р«[ж] и P[z—а] также суще ственное значение оказывает то, что упомянутые пары обладают общим правилом свертывания оригиналов и ум ножения изображений.
Поэтому здесь справедливо, например, правило
х |
|
|
f i t - т) £ few (ж- *)/(*)*= + ( г - |
a)mF(z - а) |
|
6 |
|
|
и в более общем случае |
|
|
t |
X |
|
У f(t — к) g(k) |
ffix — x)g(t)dx |
F iz — a)<7(3 — «). |
*“° |
о |
|
Без труда перефразируются остальные операционные соотношения, рассмотренные для пары колец Ро[*] ^ P t 2]*
Заметим также, что при а = 0 полином |
0^* (*) прини- |
мает вид хп , следовательно, ряды вида |
могут |
рассматриваться как формальные нуль-ряды Лагерра. Общность операционных правил дискретных преобразо
ваний, порождаемых кольцами формальных a-рядов Лагер ра Р0[*3 -*~»Р [z] и Ра [я] *•-*P [z— а], позволяет по-новому взглянуть на структуру и вопросы построения (непрерывно го) операционного исчисления.
Г л а в а 2
ПРОСТРАНСТВО ОБОБЩЕННЫХ ОРИГИНАЛОВ И ПРОСТРАНСТВО ИЗОБРАЖЕНИЙ ЛАПЛАСА
Ниже дано обобщение понятия преобразования Лапласа. Пространство обобщенных оригиналов строится на основе понятия формальных рядов Лагерра. Изоморфное ему про странство изображений описывается совокупностью полных аналитических функций на комплексной z-плоскости. При построении использован эйлеровский принцип обобщения понятия суммы бесконечного ряда. В классическом вариан те изображение Лапласа возникает как результат примене ния интеграла Лапласа к оригиналу. В этом случае расши рение класса изображений осуществляется путем обобще ния понятия оригинала (например, переходом к обобщен ным функциям). Если попытаться применить эйлеровскую идею обобщения понятия суммы к задаче обобщения поня тия изображения, то в грубом варианте она звучала бы сле дующим образом : вместо схемы «оригинал производит изоб ражение» следует исходить из схемы «изображение произ водит оригинал». Ниже эта идея развивается на точном языке. Развитие указанной идеи позволяет получить значи тельное расширение возможностей операционного исчисле ния, построить такую теорию операционного исчисления, которая удобно сочетает в себе алгебраические и аналити ческие достоинства операторного анализа.
§ 1. Пространство обобщенных оригиналов
Пусть Р — поле комплексных чисел. Для произвольного а 6 Р рассмотрим пару колец: формальных a-рядов Лагерра PŒ[f] и формальных степенных рядов P[z—-а]. Выделим в
указанных кольцах изоморфные подкольца Ра[£] и Р[г—а]
Р № -- > Р [г - а ], |
(2.1 .1) |
которые определяются условием : ряды
œ
( 2 . 1 . 2 )
k= 0
со
( 2 . 1 . 3 )
*=0
принадлежат соответственно Р„[г] и Р [з— о] тогда и толь-
|
00 |
ко тогда, когда степенной ряд |
(шбР) имеет от- |
личный от 0 радиус сходимости. |
й-0 |
__ |
Очевидно, что f(f) б Ра [f] (или что то же F(z) 6 P[z— а]) тогда и только тогда, когда коэффициенты разложения (1 )
удовлетворяют условию Коши — Адамара lim y |f n |ф оо.
П-+00
Ряд Лагерра (2), коэффициенты которого удовлетворяют условию Коши — Адамара, будем называть обобщенным рядом Лагерра.
Введем в рассмотрение пространство обобщенных рядов
Лагерра: A(i)= U P «[f]. afîP
Ему отвечает пространство W(z) всевозможных степен ных рядов с отличными от нуля радиусами сходимости:
ТУ(г)=иР|>— а]. аеР
Очевидно, соотношение (1) устанавливает взаимно-одно значное соответствие между A(t) и ТУ(г).
Эйлеровекий вариант обобщения понятия изображения, а вместе с ним и понятие оригинала могут быть описаны следующим образом.
В пространстве ТУ(г) введем отношение эквивалентности
(w) по такому правилу: два степенных ряда F a(z)Q P [z— а]
и F р (г) б Р [г — р] отнесем к одному классу эквивалентности, если они являются элементами одной и той же аналитиче ской функции F(z), т. е. если существует простой контур, соединяющий точки z = a и г=(3, вдоль которой элемент F a (г) может быть аналитически продолжен до Fp(z).
В результате фактор-пространство W(z)j(w) по указанно му отношению эквивалентности ш оказывается изоморфным пространству полных аналитических функций комплексно го переменного г, с которым и отождествим пространство
W(z)/(w).