Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Пермский национальный исследовательский политехнический университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

книги / Операционное исчисление и обобщенные ряды Лагерра

..pdf

Скачиваний:

Добавлен:

12.11.2023

Размер:

9.58 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1516 / 1916 17 18 19 > Следующая >>>

Следствием формулы для повторного интеграла s-ro по рядка функции ^т) (xz) при s = l служит следующее соотно

шение

где

(га — 1, если га 7^=0

~ \т — 1, если га = 0,

(0, если п ф 1

&т (1 , если га = 1 .

Замечание. Казалось бы, что обобщением функции Z(“*(z) может служить формула

771— 1

		“>;ехР (шгг),
		Г — О
так как	(г) —	(г).
Покажем, что в действительности функция указанного
типа выражается через функцию			(г). Для простоты огра

ничимся случаем, когда т — простое число.

Пусть p r = S r(jnodm),		=ft(modm).
Тогда функцию	(z) можно представить в виде
		те—1
	(2) =	iSr 2 Ш*Г «Ф (ш3г г).
		Г*=Л

Поскольку при этом последовательность чисел Sr образует полную систему наименьших неотрицательных вычетов, то имеем = ï (ftm,(z), что и требовалось доказать.

Свойство 8. Совершенно ясно, что функции Это(1, t) и Эж(—1, t), выражающиеся посредством формул (9)—(11) через элементарные, являются действительными.

Приведем основные соотношения, доказательство кото рых не представляет особых трудностей.

Случай функции Эт (1, t):

а) т — четное

т—2

				“5	..	2кг
			_	*	fCQS—-		л
			_		ЮОЭ		л
Bm(l,t) =	±	(е‘ - е - * ) +	—	2	е	“ cos ( ï + *sin ~2 ) ;
							(€ .1.12)
б) т — нечетное
		т—1	*	2кг
		2	*	2кг
		л	fcos—
Эт(1,г) =	±	е ‘ + - ^ 2	е	т
Эт(1,г) =	±	е ‘ + - ^ 2	е	т c o s ^ r + f s in Ç ) . (6.1.13)

Случай функции Эт ( — 1, t): а) т — четное

т ~ 2

э да( - 1 , о = - - | - 2 е

го coe[ * 2ÿ Ll+ t8ln,t^ ] î

г=О

(6.1.14)

б) т — нечетное

771'— 1	1 ,	2г+1
о ~
ù	fcos-------к
		т

т J

г=0

(6.1.15)

Свойство 9. В дальнейшем понадобится также знание

действительных значений функций ^-Эю(1, t) и Эи(—1, t). Легко показать справедливость следующих соотношений. Случай функции ^ -Э го (1 , ?):

а) т — четное

771—2

fcos2кг

£ S U M ) - i <*•+о + 1 - 2 ‘г ~ " Ц £ г + « я

(6Л.16)

6) т — нечетное

7 7 1 —	1	ж	2кг
,Jo		ж	2кг
2
■379.(1.0 = от + 1 2		е	” Ц т + < 1 » 7 ) ' ( « - и )

7*= 1

Случай функции -^-Эт (— 1, f):

а) т — четное

те—2

tcos* -

1 э„ ( - 1 . 0 = - 1	2 Г		”	cos [а . ^
	г= 0
б) т — нечетное
			те—1
			,	-------- 1			2 Г + 1
	r~t	О	2			tcos------- *
	r~t	О				g	ГО
4 э . ( - 1 , о —	- i - - !			2
	ОТ	ОТ		г—О
	-(- fsinic			то	1.
				то	J

+ îsin* ?£-*];

—

(6.1.18)

Го		2 r + l I
cos	2^——— г
L		ОТ

(6.1.19)

Эти и другие свойства функции Работнова целого ин декса можно получить, исходя из тесной связи рассматри ваемой функции с так называемыми гиперболическими и тригонометрическими функциями высших порядков, изу ченных в работах ряда авторов (см. библиографию работы [22]).

§ 2. Замкнутая форма функции Работнова с рациональным индексом

Подставим в выражения (1.3), (1.4) и (1.5) значения функций Эт ( ± 1 , t), определяемых равенствами (1.9) и (1.10). В частности, при подстановке соотношения (1.9) в (1.3) бу дем иметь

п—1
э^ ( 1 , * ) = 4 - 2	+

пfc=0

Л—1	fe-l	■1	те—]
	п	■1	2 о5г ехр (шГ\|с)с1т.

г= 0

После упрощения эту формулу можно представить в виде

m(k+D

			»—А	Z.—-
		1	Л 1	*
		1	'V	*	+
Э»(1, * ) = “Г				rp (* + i)j	+
л—1 »t—1	г (l	л»(*+1) )				(6.2.1)
л—1 »t—1	г (l	л»(*+1) )		. „ %	/m(Jfe+l)	, ^
. 1 V "V" -	ч"	n	'	. „ %	/m(Jfe+l)	, ^

+"p ^Cft+D y ехР ^ * > Т ( - Т — . »^J.

Совершенно аналогично из равенств (1.4) и (1.11) для случая Р= — 1 и четного п {т — любое целое число) имеем

	л—1	m(ft-H)
	л—1
n w ( - i . o - 4 - 2 (- g * а 1 +
	1 k=o	p\|J» (fe + l)	I
		L
n—l m—l	J . m(k+l)\		(6.2.2)
n—l m—l	ri1-----Л— J		(6.2.2)
+ T 2 2	1	ехр(шгО Y	»rf) •

Более сложной будет формула для случая, когда р = — 1 u n — нечетное число (т — любое целое число).

Из выражений (1.5) и (1.10) следует, что

				m(k+1)
	Эм( - 1	, t)=	1	yi1 ( - D ** в
	Эм( - 1	, t)=	t	£ rj m(ft+l)j +
n 1	.	n		m (k+ i\ тп—1
+ * ■2				12 ыг

Нетрудно показать, что это соотношение можно преобра зовать к виду

	m(fc-H)
Эт( 1>t) —	( - 1)** в	.	(6.2.3)
Эт( 1>t) —	f 2 r \|mÇ»+l)j	+	(6.2.3)

n—1го—1	(-D * Ï (®r>0	m[k+1)	ст(А-Ц)
+ è 2 . 2	(-D * Ï (®r>0		exp (ш^г)т (■ Л * corXt
л Д	r [ ”L(fe+1>		)•

L n J

Как показывают формулы (1)—(3), всякую функцию Ра-

ботнова с рациональным индексом а = — можно представить

в виде двух слагаемых, из которых первое является выде^- ленной особенностью в точке t= 0, а второе — линейной комбинацией неполных гамма-функций с аргументом, из меняющимся в комплексной области.

Для получения формул, более удобных при вычислении значений функции Работнова на интервале 0 < .t^ .T , посту пим следующим образом. Проинтегрируем один раз по ча стям интегралы в равенствах (1.3), (1.4), (1.5) и воспользу емся тем, что Эт (± 1 , 0) = 0, если т Ф 1 , и свойством 6, тогда получим

				m(fe+1)
		1	У	<	11
	Эж(1, t ) = t		2 *	г fmw(fe--frl)1 “Ь
			ft=o	L	n
n—1		I	p	ro(ft+i)
+ 2	Грв(А-Ц) ■Л .) (*—х)				"	Э'и (1, T)dx
ft-О	L	"	" J	o
для четного п :
					ГО(й-И)
			1 "v	( - 1)** n
Э2 (—1, t)--- г Гш(А+1)] +						é=o Г [ — ^— J
	»					é=o Г [ — ^— J
П—1			Г		ro(fe+1)
+2			Г		ro(fe+1)
+2	Гр ш	й п п ] J (t~ x)			*	э - (1’ ^
fc=о	Гр ш	й п п ] J (t~ x)			*	э - (1’ ^

для нечетного n :

		n—1	ro(ft+l)
	i		(-D *t ”
Э		V
	(—î* * ) = f	2	rfsîtfciil +
		A=o

Ï . ~ J

я—1		л	т\ят!)
+2	(-i> №	J ( f - ï )	» Э'т (—1, t)dx.
So г[”( „+1+*j■
Теперь остается	вместо Э'то(± 1 , т) подставить их значения

из формул (1.16)—(1.19). Окончательно будем иметь равен ства:

1 ) 0= 1 , п — любое целое (четное или нечетное): а) т — четное

Л—1

m (k + 1)

э^, (1 , о = t

г ^то(л+1)| +

n—1

nt(b-H)

лцв+р

+42

,j~m(t+l) +1J

e~T <ix -f- e~* J T

” e'dt >-f-

” o

(6.2.4)

в—1

2*r

nt(fe+i)

fccis—

2*r

+ Й 2

* mXA+1)

] { ~ ^ 4 t r+

( ï - ^ ) s i n ^ r]dx;

б) /га — нечетное

m(ft-H)

г|И*(&+1)|

n—1

n mjk+l)

+42m £ Q rp*<î±l>+1j JJ

e*“Tdx +

m—i

(6.2.5)

2дг

n-1

rcos----

mu»U + 1 )

2 TTT

+42 2

r [—i r ~ +1Jo

-------

—fcos—

\A%r

m cos

L m

j ,

—

+ <t— c j s t a f c : ] * .

Tïl I »

2) P = - l :

a) л — четное, m — четное

mÇÉ+i)

9 . ( - U

) - i y

(— 1)‘ <

‘

r f" (*+1) 1

n—1

’

( - l ) fe

+ ^ - 2

ss¥ s

C ‘ M

r ^ Æ+ i >. +1j

’ d-î +

1 U B e'd T

t i

m—2

П—1 2

tC03^r

2«r

(

/»

fem(fe+i)

—

l )

+5-2 2

r|2 < @

I j - h

TC0S ^ c o s te r

cosl i r +

(f — t) sin

dt;

6) n — четное, m — нечетное

э / 1	rt —	1	"У	(^ X)**__ — r
1,	t ) -----	f	Z i	^[^(04-1)1 +
n			*= °	Г [ “ n------J

(6.2.6)

(—1)*

+r |[ m (k + l) + 1

	m—l	, _ .	tcos— n
Л — 1	2
	2	( ~ l ) ke	m

		г Гш(А+1) + 1 1 Г
	r—l

m{k-f-l)

Ix n	e~xd t+
	(6.2.7)
m{k+l)	2кг
m{k+l)	— TC 08-
*	COS
*

+ ( t — ^ s i n ^ ] dr;

							ю(й+1)
				V	1	У	<-!>** Я	+
			Эт ( 1, t)		г* ^		T.rmffe+l) 1	+
			п			*=>0 Г[— S“ " J
,		т —2	v							(6.2.8)
	и—1	т —2		fCOS*2г+1			*r+1		_
	и—1	2		fCOS*2г+1			*r+1		_
		2				те(А+V1)g—tcos*——и			cos< Г-2wЦ2 r + lL
+ “ й à			r f ü f i + ü + i l J '						л»	+
				я	Jo

+(f — T) s in rc ^ p j dt;

r)n — нечетное, m — нечетное

»(H-D

i y

1 (—1)**

Э» (

1» f) -------J~ 2 L

и Г”»№+1) 1 “г

* -

г [ - т

- J

Si1

m[k+i)

i ~

Ê S + Î )—

Г т

eTtf* +

m *To r №

± l> + i1

m—1 —î

(6.2.9)

tcosrv2 r+ l

л—1

те

f* щук-

_ 2 r+ l

m(fe+l)

— --------'

— TCOS*---------

H“

fc=Û

r=0

™

siJ’

■

m cos Г2я

+ v 2

+ (f —

Таким образом, получены

такие

представления

для

функции Работнова с рациональным

индексом, которые

могут быть использованы в качестве рабочих формул при

численных расчетах значений функций на	интервале
О< £ t^ T , причем схема вычисления функций	Эи* (1, t) и
	П

Эт (— 1, t) идентична, что позволяет .вести их расчет одно-

временно. Наибольшую трудность при вычислениях пред ставляет интеграл с осциллирующим подынтегральным вы ражением, однако к нему можно применить соответствую щие методы расчета [60, 81, 82].

§3. Замкнутая форма интеграла от функции Работнова

срациональным индексом

Спозиций, аналогичных вышеизложенному, представля-

ет интерес рассмотрение функций \Эт (P, x)dx,

О * имеющих приложение в наследственной теории упругости.

Как и в предыдущих параграфах, нас будут интересовать случаи р = ± 1 , переход к общему случаю при любом веще

ственном р осуществляется использованием формулы пере- t t

хода^Э»(Р,x)dx= jlJSateignp, |р| “с)dx.

ОР0

Аналогично приему, использованному в § 2, получим: Случай Р = 1

		т{Ъ+1)
j ^ ( i , ^ - = 2 2 r ^		+ „ r+1j +
Л— 1	п	m\Я‘(k±1) +mw
+2
â гГ Е М У +mjy+lj J
T »	J'

В частности, при N —0 это равенство принимает вид

	f				mjk+1)
	t				t	п
	С				t	п
	\эт(1,x)dx=>2i rrm(fe+l)77l+
	о "	*=° [				п		J
	л—1							(6.3.1)
	л—1		П		1Д(*+1)			эт(1, х) dx.
+2			J	(i—х)		п		эт(1, х) dx.
Случай	— 1
а) при п четном в общем случае справедливо соотноше
ние
t			«	(		itt(lH-l) t_
Г	,) а	ЧГЧ	«	(	l) ^ t		п	+
о	,) а	= 2	2					+
о	»

л—1		с		^т{КktÜ	+mN Эт (1* )<*
		с		^т{КktÜ	+mN Эт (1* )<*
		1	( f - T) "
		их
+ 2 ^r\|^Lt3L+m JV+ljd
или при iV= 0 будем иметь
t				т[k+1)
t	_	V I	( - 1 ) ^ л
	_	V I	( - 1 ) ^ л
.] Эт (— 1, t) d t = 2 i			гГт(&+1) j-i 1+
X	в	* = 0 *		-------------- +	1
			L	л	(6.3.2)
					(6.3.2)
’Ç *	t i\ft	Г		m(k+l)

б) если п нечетное, то будем иметь
ç	t ?	( - i) W	г	^	+тг
\| э? « - 1 , ^ - 2 2 ^ е г ^					+
П—1	г,		т{к+1)___
(-D *		— z)		п
+ ( - D w+i2	J	— z)		п	э л ( — 1 » * ) ^
iS r \| 2 ilb lL + m ^ + ljj
или в простейшем случае, когда N = 0, имеем
*	л—1		т(&+1)
1	л—1	(-D **		*
Г	V»	(-D **		*
K ( - l , x ) d	x _ 2	r \| ^		+1j +
		I—			(6.3.3)
					(6.3.3)
( 1Лй+1	Г*	1)
( 1Лй+1	Г*	mlh+l)

Воспользуемся представлениями функции Работнова це

лого индекса, определенных равенствами (1.12)—(1.15). t

1. Для функции J Эт (1, т)с?т имеют место равенства:

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1516 / 1916 17 18 19 > Следующая >>>

Соседние файлы в папке книги