книги / Операционное исчисление и обобщенные ряды Лагерра

а также В. М. Амербаева [1], которым рассмотрены алгоритмы разложе­ ния оригиналов в ряды по многочленам, ортогональным на отрезке fO, 1J весом со(я) (в частности, случаи Якоби, Лежандра, Чебышева). К этому циклу следует отнести работы Армстронга [116] и Мендела [177].

В. В. Солодовниковым, А. Н. Дмитриевым, Н. Д. Егуповым [99] эти методы развиты применительно к задачам анализа и синтеза систем ав­ томатического управления. Ими показана высокая практическая цен­ ность методов -разложения оригиналов в классические ортогональные

ряды.

Практическое значение численного восстановления оригинала пос­ редством ортогональных рядов во многом определяется скоростью сходи­

рядов -в терминах функции-изображения.

Отметим, что метод разложения оригинала посредством ортогональ­ ных рядов в случае двумерного преобразования Лапласа был обсужден Бергером [122] и P. Т. Джаембаевым [37].

Из ранних работ, посвященных проблеме обращения, необходимо также упомянуть исследование Бейтмена [118]. В отличие от предыду­ щих в ней аппроксимации ортогональными рядами подвергается не ори­ гинал, а само изображение. Это приводит к новым типам разложения оригиналов по семействам функций, отличных от классических ортого­ нальных функций и вместе с тем сохраняющих некоторые свойства ортогональных функций. Этот подход использован в данной книге при раз­ работке ЫГЛ-алгоритма, а также в других [14, 17, 19]. Кроме того, сле­ дует указать на работы П. И. Кузнецова [66, 67], широко использующе­ го функции Ломмеля двух переменных в качестве аппарата восстановле­ ния оригиналов, соответствующих специальному классу изображений.

В. М. Амербаев [4, 7] рассматривал общие принципы разложения оригиналов в ряды Неймана. Им, в частности, получены новые функци­ ональные соотношения, представляющие независимый интерес для тео­ рии рядов Неймана.

Несколько ранее ряды Неймана по функциям Бесселя с целыми ин­ дексами использовал Кэмби [130] в качестве аппарата численного обра­ щения преобразования Лапласа.

Г л а в а 6

ОБ ОДНОМ КЛАССЕ ЯДЕР УРАВНЕНИЯ ВОССТАНОВЛЕНИЯ

Рассмотрим уравнение восстановления

■t

U (t)+X §K (t —x)U(x)dx=№ .

О

Представляет интерес изучение следующего вопроса: ука­ зать приемы построения таких ядер K (t—т), для которых резольвента R (t—т) выражается посредством той же функ­ ции, что и само ядро.

Примером такого ядра может служить функция Работнова7

00

Для такого ядра справедливо свойство: если t

17(f)+ p j Э . (Я, f—x)U(x)dx=f(t),

О

t

то U (t)=f(t)— р, J-Rot (Я, f—x)f(x)dx, где R* (Я, f—т) = Э«(Я+рг

О

t—т).

Следует отметить, что на поведение ядра K (t—т) могут налагаться некоторые дополнительные ограничения. Так, в наследственной теории упругости ядра К{$—х) достаточно хорошо описываются функциями вида

K (t—T) = A ( t — T ) 1*exp[— Я(?—T)] — ядро Ржаницьша.

Поведение функции Работнова качественно близко к по­ ведению ядер указанного тина. Вместе с тем, как отмеча­ лось выше, достоинством этой функции является то, что резольвента ядра, представленного функцией Работнова, также выражается через функцию Работнова. Это свойство явилось причиной большой популярности функции Работ­ нова в прикладных задачах наследственной теории упру­ гости.

В настоящей главе методами операционного исчисления (главным образом методами разложения) изучаются неко­ торые новые свойства функции Работнова, а также приво­ дится общий принцип конструирования функций, обладаю­ щих важнейшими функциональными свойствами функции Работнова. Рассмотрены частные реализации этого принци­ па. Уравнение восстановления ниже интерпретируется в основном в терминах наследственной теории упругости. Так, ядро этого уравнения называется ядром последействия, а резольвента этого ядра — ядром релаксации.

§1. О представлении функции Работнова

взамкнутой форме

Изучению свойств функции Работнова и построению различных аппроксимаций для нее посвящены работы [10, 18, 24, 85, 86, 88] ; исследование ее асимптотических

t

свойств, а также функции |* Эа (Я,, т)dx проведено в работе

Ь

[18].

Ниже изучается вопрос о представлении рассматривае­ мой функции в замкнутой форме, удобной для решения за­ дач табулирования. Под термином «замкнутая форма» по­ нимается такое представление функции Работнова, которое обеспечивает возможность применения более эффективных способов вычисления значений функции, чем простое сум­ мирование медленно сходящегося ряда (1.1). Очевидно, что для упрощения задачи табулирования функции Работнова требуется выделить имеющуюся особенность в точке f = 0, иначе говоря, представить функцию Эв(Я, t) в виде суммы Э. (Я, f ) — фа (Я, *)+Фа(Я, t), где Ф« (Я, t ) — замкнутая форма суммы слабо сходящихся компонент ряда (2.8.2), причем

•Фа (Я, 0)’= 0, a другое слагаемое фа(Я, *)— конечная часть выделенной особенности функции Работнова в точке f= 0 и имеет форму, удобную для вычислений.

Отметим некоторые ограничения, налагаемые на пара­ метры а и Я функции Э« (Я, t), представленной рядом

представляет наличие большого числа входов в таблицу. Ясно, что выписывание параметра Я независимо от основ­ ного аргумента t в ряде (1 ) диктуется как соображениями •компактности записи, так и некоторыми функциональными свойствами функцииЭа (Я, t).

Однако, так как при любом вещественном Я= |Я|э^пЯ

Эа ( + 1 , t) и Эа (—1, f), чем мы и воспользуемся в этой главе. 2. Будем считать, что индекс а принимает рациональные

значения (а = — , где 0 < -^ -< 1 и т и п — вообще говоря,

взаимно простые числа).

Остановимся вначале на интегральном представлении

•функции Работнова. Случай Я = + 1 .

Имеем Э_т (+ 1, t) -*• _т /п_1 •

Так как

Выражение, стоящее в левой части этого равенства, есть функция Эт(хт , t) , поэтому окончательно имеем

mftïo

Вцелях дальнейшего изучения свойств функции Работ* нова целого индекса удобно ввести в рассмотрение функцию

Функция 1$Чг) обладает следующими свойствами.

где ftss л— $(mod7ft)

и

если m ~ k > p

v =

[V]* если w — & < р,

где р — наименьший неотрицательный вычет числа s— 1

(modm), а квадратные скобки означают целую часть числа, заключенного в скобки.

Последовательным интегрированием по частям можно

откуда следует, что

Пусть к — наименьший неотрицательный вычет числа (л—s)(modm). Тогда сравнение п—a+r^O(modw) будет иметь место лишь для чисел г вида г=тп—« + тР- Границы изменения р определяются из неравенства

т—й^р, то р изменяется в пределахс 0 ^ Р ^ ( \ г }