книги / Операционное исчисление и обобщенные ряды Лагерра
..pdfВыше и в дальнейшем в этом параграфе использовано обозначение
Ç= £(*, со) = 1 + 2х® + щ2. |
(5.7.2) |
Применяя к равенству (1) обратное преобразование Лап ласа по р, находим «смешанную» производящую функцию для многочленов Лежандра и Лагерра:
°» |
- |
|
2 (2п + |
1 К Ь „ (0 Р п (х) = 7F r e i {[1 - |
+ 2ш(tx + |
п=»0 |
Г * |
(5.7.3) |
|
|
+ & V l - * 2)Fo<6) - 28(1 - *2)}Ji (8),
где
|
7 = 7<f, », ® )« MXJ |
W) ; 8= |
Щ, х, ш) = |
(5.7.4) |
|
Аналогично для |
многочленов Гегенбауэра |
и |
|||
обобщенных многочленов Лагерра имеем : |
|
||||
V, |
м |
|
|
2*Г(»+1) eT«TV(S) |
|
|
Я £ * т |
( * W |
’ (f) = |
çv+l/2 5vr(2v+l) —1 |
<“)• |
|
|
|
|
|
(5.7.5) |
Отсюда, в частности гари v= 0, получаем формулу для мно гочленов Лежандра и Лагерра :
2 |
* kPk{x)Lk(t) = r i eU 0(8) » ДО, ж, (0). |
(5.7.6) |
ft—о |
r 4 |
|
Ниже в целях краткости принята условная запись типа
sin
©£ — А Аг cos
которую надо трактовать как объединение двух формул
<fs = A (sina + AsinP), % — A (cost* - f ЛсовР).
Для многочленов Лагерра и синусов (косинусов) имеем
2 <“% (О sin * е = <t*cа , е, »), |
(5.7.7) |
*=о |
co s |
<P* (t, 0, со) = -А- в4 |
йа'18в + |
<osin (So - 0)1, |
(5.7.8) |
|
«8 |
[cos. |
COS |
J |
|
где $8= Ê(côs0, о), x„ = j(t, cos0, <o), |
Se = |
b(t, cos0, |
ш). |
|
Для многочленов Чебышева первого и второго типов:
со |
|
|
|
2 |
*(*) Lk (*) = ~т~^ N 1 — a^sinS |
(1 + xw) cosS], |
(5.7.9) |
ь_n |
’ |
|
|
|
kÜH(*) L k(t) = у •ef [ ^ = |
sinS + cos*]. |
(5.7.10) |
Разложения (3)— (10) могут рассматриваться как «сме шанные» производящие функции для многочленов Лагерра. Они позволяют установить интегральные представления многочленов Лагерра, Гегенбауэра, Лежандра, а также ко синусов и синусов.
Действительно, |
умножая обе части разложения (5) |
на |
(1 —де2],*Р^|+1/2) (я), |
интегрируя полученное равенство по |
х |
в пределах от — 1 до 1 и учитывая ортогональность много членов Гегенбауэра, имеем:
1
(5.7.11)
/ « (2у-Ц)пГ(у+1) |
o nL (? 4 t ) |
~ (n+v+l/2)r(v+l/2) |
r(B+2v+l) * |
Таким же образом из разложения (5) Находим:
00
Ô
В частности, при v= 0 соответственно получим:
1
|
f *~*to(*> x >®) L n(Ô d t = |
(o“P„ (х), |
(5.7.14) |
|||
|
Ô |
|
|
|
|
|
где <ро(*> x, ш) определяется из равенства (6). |
|
|
||||
Аналогично из разложения (7) имеем: |
|
|
||||
|
ü*P* j |
?® V, 0, со) |
n0d0 = |
соnL n(t), |
(5.7.15) |
|
|
b |
|
|
|
|
|
|
00 |
|
|
|
|
|
|
f e~* со®(t, 0, со) L n (t) dt = |
со» 1 |
Л0. |
(5.7.16) |
||
|
J |
c |
|
COS |
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
Наибольший интерес имеют интегральные представле |
||||||
ния: |
|
|
|
|
|
|
f |
( '4 - 1 / 1 |
= ? ') |
|
J>„ |
(д :) |
|
\2 Г 1+*/ У 2(1+*) |
2л+ 1 |
|
|
|||
00 |
|
|
|
|
|
|
f Jo ( i |
j/ ^ g ) *e- " 2X . (f) dt = CO» / 2 (1 + *) P„ (*), |
(5.7.18) |
||||
|
- P - ! S H S - ^ (T « 4 |
- T ) •Z * * - |
|
|||
|
|
|
|
|
|
(5.7.19) |
00 |
|
|
|
|
|
|
[ |
_ i _ |
. s i n /_£_ |
_ e _ |
_ e \ |
e - * zL n(t)dt = 2 |
re0, (5.7.20) |
J |
cos0/2 |
oos\ 2 |
2 |
2 ) |
|
cos |
которые являются частными случаями (13)—(16) при а>=1. Соотношения (17) и (18) примут более изящный вид, если положить в них x=cos0 :
Я |
ДО? |
Г' |
I J 0 (x t g - у ) р п (COS0)Sin у <i0 = ï ê ç ï е ~ т L " ® > (5*7.21)
J |
«Го ( - f t * - г ) e r ^ L n(t)dt = 2cos -§- P n(cos0). |
(5.7.22) |
|
0 |
' |
' |
|
Полагая в (17) ï= 0 и делая замену л:= — и в полученном равенстве, имеем
I |
•Рл(ц)Дц |
2/2 |
(5.7.23) |
|
2п+1 » |
||
|
|
что совладает с формулой (10.10.49) работы [21]. Вышеприведенные интегральные соотношения являются
дуальными, что позволяет их использовать для решения интегральных уравнений 1 рода со специальными ядрами. Например, пара соотношений (21) и (22) дает возможность утверждать, что формальным решением интегрального урав нения
W |
f t ë - r ) f (®)sin т - <№= № , |
(5.7.24) |
||
0 |
v |
1 |
|
|
является функция |
|
|
|
|
|
|
«30 |
|
|
|
/(6 ) = |
2 Л Г |
C n P n (cos0)’ |
(5.7.25) |
|
|
n = 0 |
|
|
где c n — лагерровский |
спектр |
известной функции |
е^2ф(£), |
|
а также, что формальным решением уравнения
00
J J o ( f tg - f ) Ф<*> d t = f <0 >
служит функция
00
Ф(f) = e - w 2ТГ ■<* ) .
п=0
где aR — коэффициенты разложения известной
0
sec-g- •f{Q) по многочленам Лежандра P n(cos0).
(5.7.26)
(5.7.27)
функции
§8. Улучшение сходимости рядов Лагерра
Вэтом разделе изучается вопрос об улучшении сходи мости рядов вида
% -2
й=0
P ( k )
x kL k*{t), |
(5.8.1) |
Q { k )
(5.8.2)
где L% It) есть многочлены Лагерра с положительными сво- |
|
к |
. |
бодными членами : L% (?) = 2 |
( •) —ГГ” и -Р(^) и Q(ft) деля |
ются произвольными взаимно простыми многочленами от к, причем Q{k) не имеет целых положительных корней, а степень многочлена Р(к) ниже степени многочлена Q(k) ; далее функция а(и) аналитична в окрестности ы=0 и а(0)= 0.
'Следуя общей идее А. Н. Крылова [59] об улучшении сходимости рядов, необходимо из рассматриваемых рядов •выделить слабо сходящиеся составляющие и просуммиро вать их независимо от оставшихся сумм. Как показал Г. С. Салехов [91, 92], эти слабо сходящиеся ряды удобно суммировать, выделяя из дроби P(k)IQ(k) составляющие ви-
^a (jt>+l)e(s==l>
Им же разработан алгоритм этого процесса. Следовательно, функции, улучшающие сходимость рядов (1) и (2), могут быть представлены разложением
00 |
к |
с, (л:» * )= 2 |
(*+i)s -k* |
ft=i |
|
и наша задача состоит в том, чтобы найти аналитический вид функции ts (х, г)-
Интегрируя повторно s раз по х известное разложение
ft—О
получаем |
|
|
|
|
|
|
|
1 |
I |
(ДС—x)g 1 |
гх |
$8(^» |
$\ |
е |
|||
|
($- 1)!** |
1-^ |
|
Так как |
|
—ti |
|
s—1 |
|
j ^ |
тАе1—с |
|
“Tdx = 2 (—I)**»-1- * |
1—x |
|
О |
ft=o |
|
|
|
и
*Г±~
J ^ |
dz = 2 ( - D r ( * ) A '+' <*’ *)’ |
(5.8.3) |
где A r+i(x, t) вычисляются из рекуррентных соотношений
Ar+i(x, f) = 4 [ l - ( l - |
~ |
t Ar ] <r *= |
x» 2» •••)* |
причем Ai (л, t) = e* ^Ei |
(^ï~^j — |
(— *) j> |
Ei ( — t) = |
oo
t |
- |
|
|
то |
|
(Г) !<-»'(:^ Л г+1(*,*>.
(5.8.4)
В частности, при £ = 1 отсюда находим |
|
||||
|
|
С ,а .г) = - |
х |
+ (7Г 1И < < 1' (>- |
(5.8.5) |
|
|
|
|||
Здесь величины A s (1, t) |
вычисляются по рекуррентным со |
||||
отношениям |
As+i (1» t) = ~ |
[1 — tA s (1, t)], |
Ai (1, t) = |
||
= — e*Ei (—t) |
(s = 1, 2, . . . ). |
|
|
||
Приведем расчеты, |
связанные с вычислениями инте |
||||
грала (3) : |
|
|
|
|
|
т* |
—и |
|
|
1/1—ж |
|
|
|
|
|
||
I 1—Xе1—т dt |
|
|
|
||
|
|
|
1j l - x |
du |
|
= |
2 |
< - < ) г’ } |
|
|
г+1* |
|||
Далее, интегрируя по частям, имеем: |
|
|||
|
|
|
1/1—д: |
|
A rM x ,t) = |
e> |
J |
|
|
|
111-х |
|
|
|
- - Т |
I e - * * ÿ r = ± [ l - ( l - x y e ' - * - t A A x , t ) } |
|||
Таким образом построены функции (4) и (5), улучшаю щие сходимость рядов (1) и (2).
Для иллюстрации воспользуемся примером, аналогич ным приведенному в работе [91] :
со |
|
|
|
|
2 |
=Ci(lï f ) + w 1»ÿ)+ -з (1» t}~ |
|||
|
00 |
Ч |
(*) |
|
- ю |
2 |
|||
(п+1) (п+2) |
(п+3) (л*+1) * |
|||
|
п—1 |
|||
Улучшающие функции Zi (1» t), ( i= l, 2, 3) вычисляются по формуле (5), используя их, окончательно имеем:
2 |
= — г [ т + f + < ' - 2 ^ ’® < - (> ] - |
П=1 |
|
_______ Ю£„0)________
1(П+1) (П+2) (п+З) (»»+и * Д—1
где полученный ряд имеет лучшую сходимость, чем перво начальный ряд.
Задача о построении решения интегрального уравнения
00 |
|
F ( p ) = Г e ~ p t f ( t ) d t |
(1) |
J |
|
О |
|
ставилась задолго до того, как возникла теория операционного исчисле ния. К ранним работам этого направления юледует отнести работу Мор фи5, в которой обосновывается возможность построения решения уравнения (1) в виде ряда по многочленам Лагерра.
Последующие исследования уравнения (1) (до сороковых годов) сти мулировались главным образом развитием теории ортогональных рядов, постановкой и решением задач проблемы моментов, изучением свойств аналитических функций класса Н 2 и их обобщением. Теория операцион ного исчисления, возникнув как часть прикладных наук, в пятидесятых годах приобрела формы самостоятельной математической дисциплины, имеющей широкий диапазон приложений.
Расцвет операционного исчисления совпал с бурным развитием вы числительной техники и ее внедрением в научно-технические расчеты.
В связи с этим вновь возродился интерес к решению уравнения (1), но уже в рамках разработки вычислительных (приближенных) методов.
Последования, посвященные проблеме численного обращения, можно условно разбить на четыре взаимосвязанных направления.
Первое направление характеризуется конструированием различных ô-образных последовательностей, приспособленных к решению проблемы восстановления оригинала по его изображению. Сюда следует отнести формулу обращения Поста—Уиддера [190, 223], различные обобщения которой были даны Поллардом [187, 188] ; формулу обращения Вине ра—Иэли [28], а также формулу Боас—Уиддера [125]. Кроме того, ука жем на работу [163], в которой формула обращения содержит функции Бесселя. Все эти формулы имеют скорее теоретический интерес и мало пригодны для практических расчетов.
Идея использования Ô-образных последовательностей для прибли женного вычисления значений оригинала использована И. И. Рябцевым [90], который сконструировал формулу обращения на базе значений изображения, исчисленных в равноотстоящих точках действительной оси. Это обстоятельство делает формулу И. И. Рябцева практически бо лее удобной в сравнении с формулой Поста—Уиддера, в которой приме нено значение производных высшего порядка изображения, исчисленных в различных точках действительной оси. Практические приложения формул подобного типа рассмотрены в работах [156, 199]. В частности, Постом [138] они использованы для решения задач вязкоупругих сред.
Второе направление основано на сведении интегрального уравнения
(1) к системе линейных алгебраических уравнений посредством различ ных квадратурных формул, а также на применении метода регуля ризации решения некорректных задач, предложенного А. Н. Тихоновым [102, 103].
Исследование этого плана принадлежит Нордену [;179] » который за дачу обращения связывает с решением некоторой системы алгебраиче ских уравнений, при этом значения изображения исчисляются им в последовательности действительных точек, образующих геометрическую прогрессию.
6 Цитируется по [118].
Метод регуляризации использован в работах [104, 54]. Этот подход ж проблеме обращения представляется наиболее перспективным.
Большое и интересное исследование проведено Р. Веллманом с сот рудниками [119, 120]. Ими использованы результаты Филлипса [184], Тумея [217], а также Шанкса [206], вскрыты трудности, обусловленные некорректностью задачи численного обращения, указаны ограничения на оригиналы, обеспечивающие сходимость к точному решению приближен ного решения, полученного из системы алгебраических уравнений, приб лиженно описывающих уравнение (1).
Однако замена точного равенства (1) приближенной системой неточ ных равенств представляется нам наиболее уязвимым местом этого приема в сравнении со всеми методами остальных направлений решения проблемы численного обращения.
Третье направление связано с применением различных типов квад ратурных формул к интегралу Меллина—Римана, являющегося, как из вестно, основой аналитического аппарата обращения преобразования Лапласа.
Первыми в этом направлении были работы Солзера [194—198]. Так, автор [197] предлагает применить к интегралу Меллина — Римана квадратурную формулу наивысшей алгебраической точности в одном частном варианте весовой функции. В последующем эта идея изучалась в широком классе весовых функций [207, 117, 5, 8].
Достаточно полное и систематическое применение квадратурных формул к задаче приближенного вычисления интеграла Меллина—Рима на осуществлено В. И. Крыловым и H. С. Скоблей [61—64, 95—97]. Ими разработаны таблицы [64, 96], пригодные для практических расчетов.
К. Ланцош [70] ставил вопрос о применении к интегралу Меллина— Гимсчна формулы трапеций.
В. М. Амербаевым [8] показано, что оценка точности формулы тра пеции тесно связана с формулой суммирования Пуассона для односто ронних интегралов Лапласа. Автором также к приближенному (вычисле нию интеграла Меллина—Римана применены методы приближенного вычисления интегралов с быстроосциллирующими функциями [109], в частности, построены квадратурные формулы с чебышевскими узлами интерполирования и указаны приемы счета по этим формулам. Следует •отметить, что формула суммирования Пуассона для одностороннего ин теграла Лапласа приводит к функциональному соотношению, которое было получено ранее [83, 84] в частном варианте и рекомендовано за тем для задачи численного обращения. Формула суммирования Пуассо на служит основой связи между ^-преобразованием и преобразованием Лапласа. Отметим, что Вихом [219—221] к проблеме обращения приме нено 2-преобразование. Им рассмотрен случай, когда изображение являет ся дробно-рациональной функцией.
Четвертое направление исторически возникло раньше всех осталь ных и связано с разработкой приемов разложения изображения на сум му (конечную или бесконечную) изображений, оригиналы которых вос станавливаются точно.
Сюда прежде всего следует отнести так называемые первую и вто рую теоремы разложения Хевисайда [161]. Обобщение второй теоремы разложения на класс мероморфных функций осуществлено Черчилем [133, 134].
Практически ценным и достаточно универсальным аппаратом проб лемы численного обращения является теория ортогональных рядов Лагерра. Это обусловлено тем, что изображения многочленов Лагерра кон формным отображением расширенной комплексной плоскости на себя •сводятся к степенной функции. Этот факт лежит в основе многих иссле дований рядов Лагерра. В частности, он использован в данной книге для
построения такой теории операционного исчисления, в рамках которой любая аналитическая функция может рассматриваться как функцияизображение.
Вопросы восстановления оригинала по изображению исследовались многими авторами: например, Екартом6, Пиконе6, Трикоми [214, 215], Уиддером [224], Шохатом [208],
Практическая ценность рядов Лагерра состоит в том, что соответст вующая рядам Лагерра аппроксимация изображения степенным рядом может быть заменена аппроксимацией интерполяционными полиномами с узлами интерполирования, являющимися корнями N -й степени из еди ницы. Достаточно полная теория аппроксимации функций, аналитиче ских внутри единичного круга, интерполяционными полиномами с узла ми, являющимися корнями N-й степени из единицы, изложена в рабо тах [33, 106].
Благодаря этому родству двух вариантов аппроксимации изображе ния появляется возможность использовать в решении задачи обращения посредством рядов Лагерра идеи и методы практического гармоническо го анализа. В литературе, посвященной проблеме численного обращения преобразования Лапласа, впервые на такую возможность указал К. Ланцош [70].
Бутрос [127] изучил возможности применения алгоритмов конечно го преобразования Фурье к задаче численного обращения посредством рядов Лагерра. Он также дал анализ влияния особых точек изображения на быстроту сходимости ряда Лагерра.
Впоследствии этой же идеей воспользовался Уикс [222] с той разни цей, что коэффициенты лагерровского разложения исчислялись нм по формулам тригонометрического интерполирования с чебышевскими узла ми.
Достаточно полный обзор методов этого типа можно найти в настоя щей книге ( L t r - алгоритмы). Следует отметить, что здесь впервые для оценки вопросов сходимости и анализа точности представления оригина ла посредством рядов Лагерра использована связь между «дискретными» 71 «интегральными» коэффициентами лагерровских разложений.
Аналогичные исследования для тригонометрической интерполяции проведены в работе [68]. Легко заметить, что замена х = е ~ * отображает
полубесконечный промежуток [0, оо] в отрезок [0, 1], |
и в этом |
случае |
||||
задача |
обращения |
может быть сведена |
к хаусдорфской |
|
проб |
|
леме |
моментов на |
конечном промежутке |
[ОД]. |
Хаусдорф |
[160] |
|
решает эту проблему посредством ортогональных рядов Лежандра. В ча стности, он же указывает на тесную связь проблемы моментов с задачей интерполирования аналитических функций дробно-рациональными функ циями. Эта мысль получила свое развитие в работе [162], в которой ана лизируются классы оригиналов, изображения которых принадлежат классу Я2.
Вычислительные аспекты этой идеи в некоторых частных вариантах (разложение оригинала в ряд по многочленам Лежандра и в синус-, ко
синус-ряды по углам, кратным 0/2, где sin 0/2=e*“f/2) рассмотрены Эрдейи [143]. Он изучал также 'Взаимосвязь проблемы численного обра щения с проблемой интерполирования изображения дробно-рациональ ными функциями [141]. Этот подход дает возможность конструирования разнообразных формул численного обращения.
По идейному содержанию к работе [143] примыкают исследования Папулиса [183], где описаны схемы вычислений коэффициентов разло жения оригинала в синус-ряд Фурье и в ряд по полиномам Лежандра,
с Цитируется по [118].