книги / Операционное исчисление и обобщенные ряды Лагерра
..pdfdn г 1 I* |
d£l |
= 2n Jz* [(n—l)!zn J (s — ^)B_1
(0)
то обозначая через ф о. о., отвечающий изображению, пред ставленному в квадратной скобке последнего равенства, будем иметь / = f“ç или
{^) (ïï=I)!?r J(г - Q-Wр (П = 1,2,...). |
(3.2.5) |
Z
(0 )
п. 2. В-интеграл о. о. В силу правила интегрирования
оригинала имеем j"t {/(т)}^т-ЬгГ(г). Отсюда в силу правила
0
деления на t :
гг
оо
Применяя далее правило интегрирования оригиналов, по лучаем :
t |
т |
г |
|
|
(3.2.6) |
0 |
0 |
(0) |
Приведем пример, так как ô(f)-r- -j- » то
= lnz — С ■+•Int,
t t
т. e. j -T f ^)d5 = Int, 0 0
что согласуется с ранее приведенным примером § 1 п. 3.
п. 3. Производные о. о. Предположим, что существует
предел1*lim f(2) = f ( + 0).
Г-»*+ 0
|
|
t |
|
Так как |
t ~ f^ -F '{z), то |
{Kx)}dx-T-zF'{z). |
|
Отсюда по правилу деления на t имеем |
|||
|
b |
|
|
1 |
Г d |
d |
г |
T ) |
{/W J*'4’ |
||
О
Результат всех этих операций в пространстве обобщенных оригиналов отождествим с операцией взятия производной от о. о. f 9что приводит к следующим определениям.
Если существует предел limîT(0)=P(O), то о. о., отвечаю- |
||||
|
|
2-*-0 |
|
|
щий изображению |
Et/-)_J 1(О) |
будем называть |
произвол- |
|
, |
■ |
|||
|
2 |
|
|
|
ной о. о. / и записывать в виде |
|
|
||
; W |
- r W |
* |
№>-*•«» |
(3.2.7) |
Кроме этого понятия введем еще понятие обобщенного
дифференцирования. О. о., отвечающий и зоб р аж ен и ю F(z)
будем называть обобщенной производной о. о. / и обозна чать символом
х>л/ш = m m ) \ а д ). |
(3.2.8) |
Произвольный о. о. бесконечно дифференцируем в обоб щенном смысле. В соответствии с определением обобщенно го дифференцирования операцию интегрирования о. о. мож но интерпретировать как операцию обобщенного дифферен цирования отрицательного порядка.
Отметим на примерах различие и связь между обобщен
ными дифференцированием и производной о. о. |
|
|
||
П р и м е р 1. Введем функцию ri(f), равную 1 |
для |
всех |
||
t > 0. Очевидно, |
т|(#)-г1. |
d |
j[ 2 |
= 0, |
Следовательно,г](i)Ч- |
—— |
|||
т. e.-^r\(t)=0, но |
j |
-, т. е. Dr\(t)=b{t). |
|
|
1 В дальнейшем для упрощения записи будем опускать знак+ перед символом 0, который следует подразумевать во всех случаях, когда речь идет о стремлении к нулю и о соответствующем предельном значе нии функции или о. о.
|
П р и м е р 2. С одной стороны, |
F { z )-F ( 0) |
9 |
||
|
г |
||||
|
t |
|
|
|
|
T* |
е. |
{/(x)}<ix={/(?)}—1/(0)>. |
|
|
|
|
О |
|
|
|
|
С другой стороны, dt |
f{f(x)}dx~F(z)— |
zF(z), |
|
||
|
|
t |
0 |
z^° |
|
|
d |
|
|
|
|
|
Г |
|
|
|
|
T* e* dt |
I {/(x)}dx= {/(t)}—ô(f)lim3F(a), или в частном случае, |
||||
|
|
0 |
t |
|
|
|
|
|
|
|
|
когда ШпзР(2) = 0, то |
Г {/(т)}йт={/(?)}. |
|
|
||
|
2->0 |
Jо |
|
|
|
Тогда как для обобщенного дифференцирования |
|
||||
t |
|
t |
|
|
|
j |
D{f(x)}dx= D § {f(x )}d x = {№ l |
|
|
||
Таким образом, взаимодействие операции обобщенного дифференцирования и операции интегрирования напомина ет взаимодействие между дифференцированием и неопреде ленным интегрированием в классическом толковании.
П р и м ер 3. Сравним обобщенную и обычную производ ную многочленов Лагерра.
Имеем L A(?)4-I(2— 1)\
во
Отсюда D L k(t) -ь (z — 1)* — 2 (~ 1)“ (* — 1)п+* . |
т. е. |
л=0 |
|
00 |
|
D L k {t) = 2 ( ~ l) n Ln+b(t). tt-0
Здесь ряд справа о-сходится.
Кроме того, так как - 4 —
k-i |
|
dt |
“ 2 |
(* - D", |
то £ |
n=0 |
|
|
V |
= |
i |
|
L * (*) = 2 |
( - 1 ) п+‘ _1 L n<*). |
n=0
Пользуясь определением обобщенного дифференцирова ния в предположении, что существуют пределы F(0), jP'fO),. . . , F (n~^ (0), методом индукции получим
% n f= f™ + - p r [ F ( 3 ) - F ( 0 ) - |
. . . - (3.2.9) |
Одновременно, следуя определению обобщенного значе ния о. о. в точке t - y + 0, а также согласно определению про изводной о. о., заключаем, что значения производных о. о. в точке f-»~К) определяются соотношением
|
[ _ |о |
-----^ ^ (6)(°). |
(3.2.10) |
{/’,‘ ><0) ) - ^ в ‘ {/чо)|| |
|
|
|
Из выражения (9) следует, что |
|
|
|
D *f = /п + |
(*){/(0)} + . . . + |
8(г){/г(п-1)(0)}. |
(3.2.11) |
Эта формула устанавливает связь между обобщенным диф ференцированием и производными о. о. в тех случаях, когда последние существуют. Здесь Ô(fe) является к-й обобщен ной производной от о. о. ô(t).
П р и м е р 4. Имеет место аналог формулы интегрирова ния по частям (в частном случае) :
t |
t |
0 |
0 |
Действительно, |
|
t |
|
J i nD { m ) d * |
гп-1 F (z), |
0 |
|
t |
|
о |
|
Но так как |
|
|
|
|
dn~~i |
|
|
|
|
|
|
-^ пгП^ |
гп' 1т |
|
|
||
и |
|
|
|
|
|
|
|
то отсюда следует равенство (12). |
|
|
|
||||
П р и м ер |
5. |
Выясним смысл выражения fB8<m)(t) (п, |
|||||
т — натуральные числа). Так как |
|
|
|
||||
„ |
dn |
п 1 |
|
|
|
п > т |
|
г |
|
ЗГТ1 = 1 _ |
|
|
п^ т> |
|
|
|
|
|
(т-п)\ zm+1~n ’ |
|
|||
то |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
[ 0 |
|
|
п > т |
|
|
г ” 8 m ) ( * ) = |
( - 1 ) " m ! S ( m — n ) ( f ) |
„ |
( 3 . 2 . 1 3 ) |
|||
|
|
|
I ------ ( |
^ |
i -------- |
|
|
Ввиду (13) нетрудно |
убедиться, |
что *ô'(î)+ô(t) = 0. |
Это ра |
||||
венство выражает собой известное свойство однородности порядка — 18-функции.
|
|
|
|
|
|
t |
|
|
|
|
|
|
П р и м ер |
6. Пусть |
q>=£Xt j*е~Хх {/(т))сйг, |
тогда |
справед- |
||||||||
ливо D n+1 ср = |
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
||
Хл+1ср |
\ nf |
-(- |
D f -f - |
. . , |
- j - D nf m |
|
||||||
Действительно, так как cp-f- ;-~Т~ F (г), то |
JDn+1ш |
|
Ф- |
|||||||||
и доказываемое равенство является |
|
следствием тождества |
||||||||||
-------= \п+1 |
_________ £ _ J _ |
\п |
г |
1 _|_ |
* |
I |
_ * |
I |
1 |
• |
||
г п(1 — Хг) |
|
1 — \ г ^ |
|
^ |
г |
г „—i |
i |
г я |
||||
и. |
5. |
Соотношения инвариантности. |
Справедливы сле |
|||||||||
дующие соотношения: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
1) |
tmDmf |
гт~ ц F{z), |
|
|
|
|
|
|
(3.2.14) |
|||
2) |
Dmtmf + £ ^ [ z mF(z)], |
|
|
|
|
|
|
(3.2.15) |
||||
3) |
(tD)mf + ( z ^ L y F{z), |
|
|
|
|
|
|
(3.2.16) |
||||
4) ( D t r f + ( ± z j F { z ) . |
(3.2.17) |
Доказательства. |
|
|
|
||
1. |
Так как |
D mf ***ф - F(z), |
то |
|
|
|
<■w |
■ * * ■ В |
* [ р г т |
] - * * £ » F (Z ) . |
|
2. |
Так как |
f* f |
гтdm |
zmF(z), то |
|
3. Так как tD {f{t)}~z ~ F (z ), |
то, |
применяя |
последова |
тельно это правило, получим (16). |
|
|
|
4. Так как IW{/(£)}-i- ^ zF (z), |
то, |
применяя |
последова |
тельно это правило, получим (17). |
доказаны для неотрица |
||
Соотношения инвариантности |
|||
тельных т. Однако если операцию |
интегрирования рас |
||
сматривать как операцию обобщенного дифференцирования отрицательного порядка, то можно показать, что эти соот ношения остаются справедливыми и для отрицательных т. Так, для т = —п (п = 1, 2 , ., .) соответственно получим
!• |
|
|
|
(5 15 )77» \ {z - u y - m u )d u |
||
|
О |
|
|
|
(0) |
|
2. |
Г (*—с)"-1 |
( /(*) \ л |
Г |
(z-u)n_1 |
В Д |
(3.2.18) |
|
J (п—1)! |
\ 1» ) ^ |
' J |
(»—1)! |
Ua |
|
|
0 |
|
(0) |
|
|
|
3. |
|
|
|
|
|
|
Z
4. |
~ I {/(<)} |
F(u). |
Здесь предполагается, что интеграл J F(u)du существует
(0)
или понимается в регуляризованном смысле. Первые два соотношения являются следствиями правила деления о. о. на t. Вторые два соотношения — следствие следующих двух соотношений:
t |
г |
- f J {« *)}*-• -- J |
j F W u , |
о(0)
du
J W * J F(u) и *
0(0)
Всоотношениях инвариантности указан оператор В обобщенного дифференцирования. Выясним, в каких случа ях можно снять это ограничение.
Пусть о. о. f является обычной функцией, причем сущест
вуют конечные пределы .F(0), ^'(О),..., (0), тогда, домножая равенство (11) на t* и учитывая равенство (13), за ключаем, что в рассматриваемом случае
Аналогичное положение наблюдается и во втором случае. Действительно, обозначим функцию tm fit) через <p(f), тогда ввиду (1.8) находим, что функция cp(î) вместе со своими производными до (т— 1) — порядка включительно имеет обобщенные значения в точке ÿ = + 0, равные 0 (здесь на
кладывается дополнительное условие lim3m+1J ,(m) (г )= 0).
2-+-0
В этом случае
bmtmf =
п.6. Теорема сдвига. В пространстве классических ори гиналов справедлива теорема сдвига: для любого т>0
f(t —x)vj(t—t) •+■F(z)e~Tiz,
где r|(t) — единичная функция Хевисайда.
Поскольку умножение аналитической функции F (г) на аналитическую функцию е~х1г является регулярной опера
цией, то операция сдвига обобщается на пространство о. о. Соответствующий о. о. будем обозначать в форме о. о., сдви нутого на т по аргументу (тем самым задается некая адди тивная операция относительно символического аргумента о. о.) :
{fit — т)} F(z)e~xiz. |
(3.2.19) |
Будем говорить, что о. о. f удовлетворяет А-ограничению, если его изображение F (г) удовлетворяет условию для
V т > 0 lim е~'1гF(z)—0. z-^+0
Покажем, что для произвольного о. о. f, удовлетворяю щего A -ограничению, справедливо свойство
ШО} = 6 для t < 0. |
(3.2.20) |
Действительно, при любом т > 0 справедливо (19). Вы числим обобщенное значение о. о. {/(f—т)} в точке £ = + 0. Учитывая, что / удовлетворяет A -ограничению, получаем для у т > 0
{/(—х)}= Ц т {f{t — ?)} = lim е~х!г F(z) — 0. z-*0+
Если в классическом операционном исчислении свойство (20) обеспечивается специальной оговоркой, что все функ ции-оригиналы домножены на единственную функцию Хе висайда, то в пространстве о. о. оно обеспечивается выполне нием требований А-ограничения.
A -ограничению удовлетворяют, например, изображения F(z), имеющие в окрестности нуля полюс произвольного по рядка, в частности, и любые изображения классического пространства изображений.
Приведем несколько примеров.
П р и м е р 1. Ранее рассматривалось операционное соот ношение {1{£)}-ь1 и было показано, что {!(£)}=1. Поскольку изображение о. о. (1(£)} удовлетворяет A-ограничению, то {1(£)}=0 для £ < 0 . Следовательно, единственным представи телем о. о. {!(£)} является функция Хевисайда
{ а д = ■ # , = (о; I |
> |
0, |
< |
0. |
|
В частности, теорема сдвига дает |
>](£—т)-^е_т/г(т > 0 ). |
|
П р и м е р 2. Ранее рассматривалось операционное соот |
||
ношение б(£)Ч-— » причем символом 0(£) был обозначен о. о.,
отвечающий изображению Hz. Покажем, что ô(J). обладает всеми свойствами функции Дирака.
Действительно, так как изображение 1/г удовлетворяет
.<4-ограничению, то ô(£) = 0 для f < 0 . Кроме того, îô(f)-r-
•*■2— г ~ = 0 , т. е. £ô(t)=0. Отсюда естественно считать, что
0(0 = 0 для г> 0 .
Далее, |
имеем |
6(t—т)-т™ е~~1г и, следовательно, |
t |
|
|
Jâ(|— |
Но |
e~T/2-r'»)(t—т), поэтому |
0 |
|
t |
|
|
JÔ ( I - t ) d ê = v j ( t - T ) .
0
Замечание. Аналогичным приемом легко убедиться, что t
8(") (0 = 0 для t ^ 0 и что J 8(л)(?—T)d£= ô<n-1)(ï—т).
0 Приведенные примеры указывают на существенность в
рамках рассматриваемой теории понятия А-ограничения. п. 7. Теорема подобия. О. о., отвечающий изображению
F(Xz), где X — произвольное число (вообще говоря, комп лексное), будем обозначать символом
-ь F(kz). |
(3.2.21) |
При таком определении о. о. от аргумента Xt сохраняют ся многие правила анализа, обусловленные заданным кон кретным видом аргумента.
Приведем примеры.
1. B{f(Xt)}-~ ~F(Xz)=XF'(Xz). Но, согласно правилу подо
бия, У В Д ч - ^ х * ^ (ДХг)}. Следовательно,
- к * f o r m — Н И - з г <«и »> <3-2-22>
что согласуется с обычными правилами В-дифференцирова- ния.
2. Имеем Dt {f(Xt)}+ F (Xz) = X F(Xz)
и ввиду (21) -j~F(Xz)-h Du{f(u)} |u=;.„
что вновь согласуется с правилом дифференцирования сложной функции.
3. О. о. {/(Xt)} аналитичен по параметру Я. В качестве примера разложим о. о. {/(Я?)} в ряд Тейлора по степеням
00
(Я— 1). Имеем F (kz)= 2 |
znF^){z) (Х~ Х)”. |
|
|
|
|
и—О |
|
|
|
Отсюда в силу соотношения i(14) получим |
|
|
||
|
w o } = 2 |
S- Dn{fw (Х - 1)п- |
|
(з-2-24> |
|
Л— О |
|
|
|
4. Имеем |
{f(\t)}-*--^F(Xz) — zF' (Яг) = |
(kz)F'(lz). |
||
Следовательно, применяя (14) при ira = 1, получим |
{^(Xf)}= |
|||
= tD u{f(u)) в-it. |
|
|
|
|
5. Согласно |
правилу |
интегрирования |
(1.1), |
находим |
t |
|
U |
•)}*. |
|
|№)}d% zF (lz) = -J- teF(Xz) + 4 j |
||||
0 |
|
0 |
|
|
|
t |
Xt |
|
|
Следовательно, |
|
f f т № , |
|
|
|
|
0 |
|
|
T . e. возможна замена переменных типа Ят=х под знаком интеграла от о. о.
6. Лемма (Железного) [77]. Если {/(Я£)}= {/(f)}, хотя бы при одном Я=Яо^1, то {/(г)}= const.
Действительно, рассматриваемое равенство означало бы, что F(Xz)=F(z). Так как F(Xz) аналитична по параметру Я,
то |
F(Xz) I x=x„ = 0 |
или zF'(Xoz)=0 при любом з из конечной |
|||||||
плоскости, что возможно |
при |
условии |
F '(z)= 0. |
Отсюда |
|||||
F (z)= const, т. e. {/(t)}s |
const. |
|
|
|
|
||||
Замечание. Следует отметить, что лемма ЦКелезного в |
|||||||||
классе обобщенных |
функций, |
рассматриваемых |
в |
книге |
|||||
[77], доказана при более жестких условиях. |
|
тогда |
|||||||
7. |
Пусть |
существует |
предел |
1шгР(Яг)=Е(Я •0 + ), |
|||||
|
|
|
|
|
|
Z-*О |
|
|
|
|
d ffn |
.ч, ^ |
Р(Хг)-У(Ь0+) |
. J ’( b ) - J ’(X.Q+) |
|
|
|||
|
dt V ' At« * |
|
|
г |
~ к |
Xz |
|
|
|
TO