книги / Операционное исчисление и обобщенные ряды Лагерра

б) л — четное, тл — нечетное

771—1

Таким образом, получены равенства для функции, пред­ ставляющей собой интеграл от функции Работнова дробного индекса, которые можно использовать как рабочие форму? лы при вычислениях значений этой функции.

При проведении расчетов значений функции Работнова и интеграла от нее удобно в формулах (2.4)—(2.9), (3.4)—>

(3.9) с помощью замены г = промежуток интегрирова­

ния [0, i\ свести к отрезку [0, 1 ].

По этим формулам была проведена серия расчетов.на ЭВМ БЭСМ-ЗМ с использованием стандартной программы по квадратурам типа Гаусса (Я. М. Жилейкин, ВЦ, МГУ, вып. 26, 1967). Сравнение..результатов с данными рабоТй [87] показало, что предлагаемые методы расчета функ­ ции Работнова и интеграла от нее весьма, эффективны и но точности не уступают упомянутым таблицам.

§ 4. Построение ядер последействия с заданными функциональными свойствами

Требуется сконструировать ядро последействия K (t—т), обладающее свойствами: а) ô-образности и б) двойственно­ сти. Под 6-образностью понимается выполнение следующих ограничений

Я (f) -з-оо при t -з- + 0,

(6.4.1)

К(f) -> 0 при t -> -f- оо,

00

J К (f) dt < оо.

О

Под двойственностью в широком смысле понимается, что как ядро K (t—т) уравнения Вольтерра II рода, так и его резольвента ô-образны, в узком — резольвента описывается той же функцией (но при других значениях ее параметров), что и ядро K (t—т).

Нетрудно видеть, что ядро К а (X, t) интегрального урав­ нения восстановления удовлетворяет условию двойственно­ сти в узком смысле в том и только том случае, если оно са­ мо является резольвентной некоторого ядра Вольтерра qp«(î)- Пусть Кл{К, t) — резольвента ядра q>«(f) и Ф»(р) — изоб­

ражение Лапласа функции q>«(f), т. е. фа(*)-^-Фа (р). Тогда изображение функции К а (Я, t) имеет вид

=rb(t) перейти к изображениям Лапласа U(p)—ЯФ„(р)С7(р) =

— _ _ Ф (р) — ■чфС*»)» то получим и(р)= 1|>(Р)+ Я j-^ф в (ТрФСр)-

t

Следовательно, H(f)=i|>(f)+A, |лгв (Я, t—х Ш Ф * и таким об-

0

разом формула (2) доказана.

t

Образуем уравнение 17(f)— р jlC« (^» * T:)U{r)dx—f(t).

о

Изображение резольвенты Ra (Я, р, t) ядра К а (Я, t) имеет

Из этих простых расчетов следует, что ядра последейст­ вия могут задаваться своими изображениями вида Ф„ (р) или (2). В обоих случаях ядра релаксации определяются изображениями типа (2). При этом только во втором случае будет иметь место свойство двойственности в узком смысле.

Вели теперь учесть теоремы тауберова типа для интегра­ ла Лапласа, то для обеспечения свойства ô-образности не­ обходимо потребовать:

В частности, если Фа(р) такова, что

то условия (3) выполнены. Отсюда заключаем, что свойство двойственности в широком смысле является следствием свойства (а), поскольку ядра релаксации имеют изображе­ ние типа (2).

Таким образом, вопрос о построении ядер последействия, обладающих свойствами (а) и (б), сводится к подбору функ­ ций Фа (р), удовлетворяющих ограничениям (4). Наиболее простым является случай, когда функция Ф« (р) такова, что оригиналы ifW(f), отвечающие изображениям вида [Фа(р)]в,

могут быть вычислены сравнительно просто. Тогда ядро К а(Я, t), определяемое изображением (2), может быть задано рядом

Так, функция Работнова отвечает выбору Ф«(р)=1/рв. Дей­

разложением (1.1) функции Эа (Я., t).

Замечание. Функции a y -J -a(rt)е~&; \—^ г Ja-i(^\/~tr)e~^

при 0 < a < l могут рассматриваться как ядра последейст­ вия, при этом соответствующие им ядра релаксации имеют вид

e ^ A .( r , М ); e~ ^ B a(r,l,t).

§ 6. Учет запаздывания в явлениях последействия

Представляет интерес изучение ядер последействия, от­ вечающих случаю, когда максимальный эффект последей­ ствия обнаруживается с некоторым запаздыванием (на ве­ личину т > 0 ) относительно начала отсчета t= 0. Этой мо­ дели отвечает ядро последействия К а (X, t), эффект 6-образ­ ности которого смещен из точки 2=0 в точку 7=т. Она отражает те явления, когда временной (наследственный) характер упругих взаимодействий обнаруживается спустя некоторый промежуток времени. Здесь следует различать два случая:

а) ядро последействия имеет изображения вида

ф (р )

Фа(р)а-'Р или 1_ Хфд-(- )- ег** ;

б) ядро последействия имеет изображение вида

Ф,(У)е tp

(6.6.1)

1—Хфа (р)е~*р'

Во всех указанных случаях ядра релаксации имеют изоб­ ражения вида (1), т. е. характер запаздывающей релаксации не зависит от типа запаздывающего упругого последейст­ вия.

Схема построения ядер последействия, изложенная в § 4, без существенных изменений распространяется на вариант с запаздывающим последействием, при этом требование

Ô-образности накладывается на изображения типа (4.3) или (4.4), но не на (1). Рассмотрим некоторые частные реализа­ ции этой схемы.

Ядро D. (Я, t) (дискретный случай). Положим Фв (р) = = е-чр H-ô(t— а), (а > 0 ). Тогда ядро D a (Я, *), отвечающее изображению вида (4.2), представится рядом

00

=2 Я*5(t — лк — а). *=о

Уравнение Вольтерра с ядром ô(t— а) и резольвентой D„ (Я, t)

вырождается в разностное уравнение U(t)— %U(t— o)=/(t), m(t)

решение которого имеет вид U (t)= /(t)+ 2 **« » — ак — а), А==0

где ira(f)=inax{fe; afe+ aC f}.

— a)= f(t), решением которого является сумма

m ( f)

04*) — f(f) + | * 2 +{*■)*/ (t — ak — a). fe=0

Замечание. Необходимо иметь в виду, что U{t) и f(t) равны 0 для отрицательных значений аргумента.

Ядро Н« (Я, т, t) (непрерывный случай). Положим Фа(р)=

Ч ^ )Ч -г)%-?т£г-=*■<'>•

Тогда ядро Не, (Я, т, t), отвечающее изображению вида (4.2),.

Эффект б-образности в точке f = т > 0 как функции q>«, (f), так и функции Я .(Я , т, t) обнаруживается тем острее, чем больше величина параметра а. В пределе при а-*-оо функ­

0< а < 1 , т > 0,

где т\(t) — единичная функция Хевисайда. Тогда ядро За (Л, х, t), отвечающее изображению вида <4.2), представит­ ся рядом

Отметим следующие важные свойства функции Я« (X, х, t).

х, г) имеет конечное число степенных особенностей, точнее,

равны соответственно п, п— 1 , . . . , 1.

3) Интеграл от Я« (Л, т, t) как функция верхнего предела

Обширный обзор литературы по функциям Миттаг — Лефлера, род­ ственным функции Эа (Я, 0» дан в работах [22, 38].

Впервые функция Эа (Я, t ) была введена Ю. Н. Работяовым [85]. На

базе этой функции нм обосновывается принцип Вольтерра, согласно ко­ торому все задачи наследственной ,упругости могут быть сформулирова­ ны в терминах обычной теории упругости, если упругие операторы рас­ сматривать как упругие константы и лишь в окончательном результате переходить от упругих констант к упругим операторам.

Метод интегральных операторов Э£ , содержащих в качестве ядра функции Эв (Я, £), получил дальнейшее развитие в другой работе

Ю. Н. Работнова [86].

Асимптотические формулы для функции Ю. Н. Работнова были изу­ чены Б. Д. Анниным [18]. Расшифровка получаемых операторных выра­ жений, а также всевозможные приложения метода интегральных опера­ торов Э* к решению задач наследственной ползучести анизотропных и

неоднородных сред проделаны М. И. Розовским [88, 89], Ж. С. Ержанов [51] приложил метод интегральных операторов к вопросам механики горных пород. В дальнейшем аппарат этой теории был применен для ма­ тематического описания явлении складкообразования в толще горных по­ род [52]. Интересное исследование свойств рассматриваемой функции с привлечением операционного исчисления, поиски путей ее дальнейших приложений принадлежат Я. В. Быкову й А. И. Боташеву [24]. Отметим также, что ими указывается на возможность табулирования этих функ­ ций.

Вопросам по1М1роения интегральных соотношений для функций Эа (А,

О и интеграла от нее, а также конструирования ядер последействия с за­ данными функциональными свойствами, в частности со свойствами, близкими к свойствам функции Э а (Я, t ) , были посвящены работы [10,

11]. Ю. Н. Работновым с сотрудниками [87] приводятся таблицы функ­ ции Эа (Я, t ) и интеграла от нее.

Обширную библиографию но затронутым вопросам можно найти в работе [86].