книги / Операционное исчисление и обобщенные ряды Лагерра
..pdfX Jv +, (2V x t), где q} (x) |
*)**"'• |
k*=J |
\ J / |
Если здесь, в частности, положить Рл(л:)=const, то полу чим известную производящую функцию [93] для обобщен ных многочленов Лагерра:
e *{x t)-'i* J4 2 V x t)= |
2 f(fc ^ T ï) L b)(t)' |
|
|||||||
Последующие примеры приведем, опуская выкладки. |
|||||||||
П р и м ер |
4. |
|
|
|
|
|
|
|
|
e~at sinPt = |
2 |
(—l )n+1 |
S in r ( lt 4 - 1 ) ? 2 — Д<?|] Г |
aü+рз |
1nJ2 |
L n ( * ) , |
|||
[(в + 1)»+ |
р2]1/2 [ |
(« + 1 )= + р з |
] |
||||||
|
71=0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
а > |
“ |
“ §■’<Px = |
a |
r g ( a |
- f |
i p<?2)=, |
a r g (о |
+ |
1 + iP ). |
П р и м е р |
5. |
|
|
|
|
|
|
|
|
г^ -^ Ъ ег, (2 ]/Т) = |
cos (4 - + |
|
■(~ 1}* L™{t)~k - |
||||||
|
|
|
|
U |
^ |
4 /)Я,Г(2*-И+1М 2* |
|||
|
|
- . i n f 1 » * " ) ? |
|
|
, |
|
|
||
|
|
\ 4 |
+ |
4 /ЛУ r (2 ft+ v + 2 )4 2* +1 ’ |
|
|
|||
(4 +Зт)|г-ё т д а +
+ ■ „ ( ! , 3 ,.\ у ( - 1) ^ 8 . , W
П р и м е р 6.
« |
|
в |
2 J ^ o (a ) - JT = C + E i( - X ) + ln ? + |
2 a nLn+i(t), |
|
ZfXt |
|
n=0 |
где С — постоянная Эйлера и ов = |
e_x |
X 1 J i |
|
»+1 * S l i w |
|
П р и м ер 7.
_V 1 ( т ] (—1)btm~k \ у |
(—l)fc^fe+nt+i (*) |
|||
^ |
/ k{m—й)! |
J |
(É+l) (ft+2) . . . (fc+l+m) * |
|
в—1 |
|
|
|
|
П рим ер 8. |
|
|
|
|
s -x |
|
|
|
|
t 2 J\+e(2}^at) = |
a 2 |
r(n+X+l) |
||
|
|
n=o |
|
|
где c„ (s, a) — ортогональные многочлены |
Шарлье дискрет |
|||
ной переменной s [21] : сп(s,а) — 2 (r ) (r ) |
s = 0f 1 , 2 ... |
|||
|
§ 3. Z-ÿr-алгоритмы |
|
||
Тригонометрическая |
форма |
(2.12) коэффициентов о& |
||
разложения искомого оригинала в ряд (2.10) наводит на вопрос : возможно ли для приближенного вычисления коэф фициентов о* ряда (2.10) использовать методы тригономет рического интерполирования.
Ответ на этот вопрос дает следующая теорема, являю щаяся частным случаем одной более общей теоремы, изло
женной в работе [106]. |
|
Теорема. Пусть g(z)QHz и L n (ю, г) |
полином степени л |
от г, интерполирующий функцию g(z) |
в корнях степени |
л + 1 из единицы. |
|
Тогда |
|
Иш L nК z) = g (г) |з |< 1
П-+- 00
и стремление к пределу равномерно на любом замкнутом множестве ©нутри контура 0(|z |= 1).
Введем обозначение œ =е2*1/п-И и представим интерполя ционный многочлен h n{iùy z) в форме Лагранжа*
71+1
L n («о, з)= 2 *(<"*) “»*(га+1 — 1)/(п + 1) (з - ш*). /2=1
Воспользуемся тем, что для g{z) е П%выполнено :
/л |
JL |
j |
&(2) |
2щ J |
и—z du» |
|
c |
|
Представим последний интеграл в форме предела интеграль ной суммы, образованной путем деления окружности С точ ками о к:
Тогда |
|
|
|
|
|
Иш [g(z) — L„ (eu, 2)] = |
|
||||
Л-х» |
|
|
|
||
lim/r_L _i_ |
z B+1~ l |
-, Л-fl |
) |
||
1 v |
<■>*(<■>-!?)(<■>*) |
||||
вч-»1|2*£ “ |
(n+1) (<ü-l) |
J |
ш*_2 |
J* |
|
Но при 121^ r < 1 величина |
X |
d>*(û)--lg)(o>*) I |
равномерно |
||
------ |
|||||
|
|
fe=i |
, |
Г |
|
ограничена по л и 2, так какНт ^ |
|||||
«rg(ar)/(o>*—2)= |
|||||
|
Л-+-00 г,_ |
|
|
||
|
|
Ь=1 |
|
|
|
Далее, поскольку
И т
п^-со
|
Г |
|
|
- |
« n J l |
|
(В + 1 ) (о> -1) _ |
1 |
1 |
я + 1 |
, |
||
Я + 1 |
||||||
2 ' i |
11 |
i |
2т. |
|
J L |
|
|
- |
|
л + 1 |
|
n f-X |
то при | z | ^ r< l последовательность (zn+1 —1)/(га+1)(ш— 1)
равномерно сходится по z к —^ .
Следовательно, при |z|^r-<l lixn[g(z)—L n(a, z)] = 0 равно-
00
мерно относительно з : |z |^ г <; 1 .
Замечание. Если g(z) аналитична в круге |z|^l, то ин терполяционный процесс с узлами в корнях степени л+ 1 из единицы при л->-оо сходится равномерно к g(z) внутри круга |z| =Д наибольшего радиуса (Д > 1 ), где функция g(z) продолжает быть аналитичной [106].
Таким образом, если изображение F(p) удовлетворяет ограничению '(2.9), то допустимы методы тригонометриче
ского интерполирования для приближенного вычисления коэффициентов а* разложения (2.10).
Ниже рассматривается частный случай, когда искомый оригинал является вещественной функцией. Тогда коэффи циенты ад разложения
g(eiB) = 2 в*егм |
(5.3.1) |
*=о |
|
являются также вещественными. Поэтому последнее разло жение эквивалентно разложению
0D |
|
Reg(e;e) = 2 Одсоэйв. |
(5.3.2) |
й=0
В этом случае для приближенного вычисления коэффициен тов а к можно использовать алгоритмы интерполирования по косинусам и синусам кратных углов.
Введем обозначения
р(в) = Reg(e£G) |
Re F (ï — ^ tg |
+ tg |
— |
p(0)=lmg(eie) = ^-Г Iml? (ï - |
tg |
- tg -j- Re F (T — |
Из приведенной выше теоремы и методов тригонометри ческого интерполирования вытекают следующие алгорит
мы.
Если изображение F(p) функции f(t) таково, что выпол нено условие (2.9), то для функции /(£) справедлива прибли женная формула
П |
(б.3.3> |
f(t) = ет* 2 °кп ?k(tlh), |
|
А=0 |
|
где коэффициенты с*,п исчисляются согласно следующим: алгоритмам:
алгоритм L tric
cb, n = |
2 |
^ / / |
|
ks |
|
кв |
|
|
|
|
л 2d |
P(®s)COSTC |
n |
= |
n » |
o |
л), |
||||
|
|
|
fi=0 |
|
|
|
|
|
|
|
алгоритм L tr2c |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
С*, д = |
2 n + l^ j |
P(®s)c<)s2rc 2л+1 (®e = |
2л+1> |
0 ^ 5 - ^ |
7l), |
|||||
|
S=0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
алгоритм ЬГЛс (чебышевские узлы) |
[222] |
|
|
|
||||||
|
2 ^ |
|
v |
r(2ft+l)« ,Л |
г.(2/г+1) |
^ |
|
п). |
||
СГ, n — n + l2 d p(®*)c0s 2(71+ 1) |
= "2(л+1) |
> о < к < |
||||||||
|
к=0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Аналогично, если исходить из синус-ряда |
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
00 |
|
|
|
|
|
|
|
|
Img(e‘°) = |
2 |
sinft© |
|
|
(5.3.4) |
||
|
|
|
|
|
*=i |
|
|
|
|
|
и учесть, |
что |
ао=£(0)= -у F |
+ |
7j, положив |
с0в=а<ь то |
|||||
для приближенного вычисления коэффициентов а* можно воспользоваться алгоритмами интерполирования по сину сам.
Соответственно имеем : алгоритм litres
2 |
П~~1 |
ks |
~s |
л 1), (5.3.5) |
Cbn= |
^ |
sin^c п (0в = |
л I l < s < |
|
|
e=i |
|
|
|
алгоритм Ltr2s |
|
|
||
C*n = |
2^ Fl2 |
K ee)sin2« 2ÏÏTi |
Ож— S ? 1Ï |
0 < s < n ) . |
|
•=1 |
|
|
|
Совокупность алгоритмов численного обращения преобра зования Лапласа посредством рядов Лагерра с использова нием алгоритмов тригонометрического интерполирования в последующем будем называть Lîr-алгоритмами.
Погрешность Ltr-алгоритмов слагается из суммы по грешностей обрывания ортогонального ряда Лагерра и представления точных коэффициентов Фурье а* приближен
ие
ными c kn, вычисленными согласно формулам тригономет рического интерполирования. Оба типа погрешностей суще ственно зависят от быстроты убывания коэффициентов а к степенного ряда g(z). Остановимся на анализе погрешностей второго типа. С этой целью вновь вернемся к овязи между «интегральными» коэффициентами о* и «дискретными» коэффициентами с к, ».
В таблице 2 характеризуется степень приближения ис численных коэффициентов с Нп к искомой величине а к при достаточно быстром убывании коэффициентов а к.
|
|
Т а б л и ц а 2 |
|
Индекс |
Порядок приближения |
||
алгоритма |
|||
|
|
||
L t r xc |
C 8 n = a s + 0 ( a 2n^ 8) |
K s < n —1 |
|
|
Соп= а о + 0 № а 2П) |
|
|
L t r 2c L t h xc L t r xs L t r 2s
слл= а л+ 0 (а 3д) |
|
cs7i= a s+ 0(a2n+i^) |
0<5<Л |
^ Л= а в+ 0 (а 2л+2_ в) |
0<s<rc |
c sn =*а 8 + 0 (#2л—g) |
1 |
CsB= a e+ 0(a2ll+1_ e) |
|
Из сравнения данных таблицы следует, что при доста точно быстром убывании коэффициентов а к предпочтение следует отдать чебышевским узлам.
Недостатком этих алгоритмов является неравноценность погрешностей приближения коэффициентов аа величинами сап с возрастанием индекса s. Поставим вопрос о сглажива вши указанного эффекта и повышении точности представ ления коэффициентов a s.
С этой целью воспользуемся тем, что искомые коэффи циенты a к служат одновременно коэффициентами как ко синус-ряда функции Reg(eie), так и синус-ряда функции Img(eiB). Это означает, что как Ltrc — алгоритм, так и Ltrs — алгоритм приближают одни и те же величины а к. Сопоставим их между собой.
Алгоритм Ыг\С.
- 1 |
V |
/а" \ |
VLh. |
° к п = 1Г |
2л |
K®») « > 8 * |
T » |
т=О
причем |
|
|
|
|
|
|
|
|
ckn — |
H*" 2 |
(a2nq+ k 4" Cl2nq—b)* |
(5.3.6) |
|||||
|
|
Ç—1 |
|
|
|
|
|
|
Алгоритм Ltr\sx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
пьУ |
|
|||
dkn = |
~ |
2d K 0 m) Sînx X |
* |
|
||||
|
|
771=1 |
|
|
|
|
|
|
причем |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
00 |
|
|
|
|
|
|
d k n = ajt -f- 2 ( |
a 2 n q |
+ k — |
( h n |
q — |
*)• |
(5.3.7) |
||
|
|
8=1 |
|
|
|
|
|
|
Из сравнения разложений (6) и (7) заключаем, что |
|
|||||||
1 |
|
|
|
Л |
|
|
|
|
а кп = ~2 (с кп + d i n ) |
= a k “Ь 2 °2nq+f» |
1<А<П— 1, |
||||||
|
|
|
|
8=1 |
|
|
|
|
т. е. среднеарифметическая величин |
|
и d*„ дает сущест |
||||||
венно лучшее приближение |
искомых |
коэффициентов а*, |
||||||
причем порядок точности приближения |
величин a s |
улуч |
||||||
шается с возрастанием индекса s : |
|
|
|
|
|
|||
d Sjl : ' ûjj ] |
0 (й2л+в)> |
^ |
S ^ |
^ |
1 • |
|
||
Более того, из разложений (6) и (7) следует, что полуразность величин cka и dkn, каждая из которых приближает величину а*, позволяет пролонгировать частичную сумму
(3)ряда Лагерра. Действительно,
|
1 |
“ |
|
Û 2 n — Ь , п = |
~ 2 ( с й в — |
d k n ) = a 2 n — k + 2 a 2 n q - h 1 • < А < ! П — |
1 . |
|
|
8=2 |
|
Отсюда заключаем, что |
|
||
û n + г , В = |
- 2 ~ ( ^ В — Г . В |
d n — r , п ) — О п + Г H ” 0 ( û 3 n + r ) , |
1 . |
Приведенный анализ показывает, что в случае, когда искомый оригинал является действительной функцией, ис пользование только косинус-ряда функции Reg(e£ü) или только синус-ряда функции Img(e‘e) ведет к потере инфор
мации относительно искомой функции /(£) и, следовательно,
к потере точности представления /(f)* Поскольку при вы числении значений любой из функций Reg (егв) или Img(e'e)
неизбежно приходится использовать действительные и мни мые части значений функции F(p), вычисленных в соответ ствующих комплексных точках, то упомянутая выше поте ря информации ничем не оправдывается, ибо, как правило, наиболее трудоемкой частью является расчет значений F(p) в комплексных точках.
Подводя итог изложенному, приходим к следующим формулам численного обращения преобразования Лапласа.
Алгоритм L tru
|
|
2п—1 |
|
|
|
|
|
fit) |
2 |
a k^ kit!h ); |
|
|
(5.3.8) |
||
|
|
fc=о |
|
|
|
|
|
где |
|
|
|
|
|
|
|
|
а о ь ----2~con> |
|
|
|
(5.3.9) |
||
а ьп = |
{сип + ^*л)» |
1 < |
fe < |
га |
1, |
(5.3.10) |
|
|
&nn |
_ 1 |
|
|
|
|
|
|
g ^пп9 |
|
|
|
|
||
CLjtn = -7£~(С2п—k, п |
п—fe, n)> |
U |
1 ^ |
k ^ |
%7l ■ 1* |
(5.3.11) |
|
причем |
|
|
|
|
|
|
|
а кп ~ |
a k ~T a 2n+k |
^-An+k 4 " |
• • |
• |
( 5 . 3 . 1 2 ) |
||
Здесь Cjtn и djtn коэффициенты, исчисляемые по схемам за дач fri с и fris соответственно.
Алгоритм L tr2.
|
|
2л |
|
|
/ (f)~ |
2 ' а кп№/Ь-), |
|
&0п = c0n> |
a kn — |
(с%п -J- dkn)f 1 ^ . k |
-*СТ19 |
^Лл=== 2 |
п |
^2я+1~k, w)> ^ “1“ 1 ^ |
^ %Я* |
причем |
|
|
|
Æfcn=Gfe-|-Æ (2rt4l)+fe + #2(2л-Н)+Л + • » •
Коэффициенты Ckn> d kn исчисляются по схемам задач -tr%c, tr%s соответственно.
Различие алгоритмов Ыг\ и Ltr^ состоит в том, что Ltr\- алгоритм использует значение функции pF(p) в бесконечно удаленной точке, исчисленное в общем случае как предел при р->-оо вдоль прямой Нер=у, в 14г2-алгоритме точка р = оо исключается из состава интерполяционных узлов.
§ 4. Оценка сходимости L fг-алгоритмов
Относительно условий, достаточных для того, чтобы функция /(f), определенная на (0, оо), разлагалась в сходя щийся ряд по многочленам Лагерра
оО |
|
m = ^ a kL k(t). |
(5.4.1) |
/<=о |
|
Известна теорема [71] : пусть функция /(f) интегрируема
на любом конечном отрезке |
[О, Я] |
и пусть существуют ин- |
||
|
1 |
|
00 |
|
|
л |
|
л |
\ m \ d t , |
тегралы |
J f 1'4 1 № 1 dt |
и |
J |
|
|
0 |
|
1 |
|
тогда ряд (1) сходится и его сумма равна /(f) в каждой точке, где /(f) непрерывна, и равна-g- [/(f+0)+/(f—0)] в
тех точках, где она разрывна4. Нетрудно эту теорему пере фразировать для случая разложения в ряд по функциям Лагерра. Отсюда следует, что для широкого класса оригина лов /(f), интегралы Лапласа которых имеют абсциссу абсо лютной сходимости Yo» сходимость ряда (2.1 ) при у=уо+е (е > 0) обеспечена при некоторых ограничениях на возмож ные степенные особенности /(f) в окрестности точки f= 0.
Таким образом, аппарат теории рядов Лагерра может служить основой для решения проблемы обращения в ши роком классе оригиналов. С точки зрения вычислительных методов ограничения возникают в связи с оценкой скоро сти убывания коэффициентов ак разложения (2.1).
Методы гармонического анализа в ряде случаев позво ляют не только эффективно организовать вычислительный процесс, но и эффективно преодолевать вычислительные трудности, связанные со слабой сходимостью рядов Ла герра.
4 Доказательство теоремы при более слабых ограничениях приводит ся в работе [93].
Рассмотрим вначале вопрос об оценке приближения орипинала, получаемого Zfr-алгоритмами. Будем исходить из того, что ряд Лагерра (2.1) сходится абсолютно. Посколь ку функции Лагерра равномерно ограничены в совокупно сти |ф*(£ )|^ 1 (ft— 0, 1, 2, .. . ) , то последнее ограничение равносильно требованию
00
2 ! ^ |
I < 00. |
|
(5.4.2) |
|
*=о |
|
|
|
|
Введем обозначение |
|
|
|
|
|
со |
|
|
|
R n+1( L ,t / h ) = |
2 |
ak^k(t/h), |
|
|
|
k = n +1 |
|
|
|
тогда из (2) следует |
|
|
|
|
шах |Rn+i ( i, f/ft) I |
^ Pn-н, |
(5.4.3) |
||
o<*<® |
|
|
|
|
где |
|
|
|
|
|
oo |
|
|
|
|
I |
о* |
I |
|
И
1f(t) - e V 2 W k ( tth) I < e ” pn+i. |
(5.4.4) |
*=о |
|
Замечание. Из оценки (4) следует, что даже в случае равномерной и абсолютной сходимости ряда Лагерра оцен ку приближения функции /(f) рядом (2.1) нельзя считать равномерной за счет присутствия множителя et*. Последнее требует известной осторожности при выборе параметра у. Во всех случаях задачи численного обращения преобразо вания Лапласа параметр у желательно выбирать ближе к абсциссе абсолютной сходимости у0 интеграла Лапласа. Вы бор больших значений параметра у» как правило, сужает интервал аппроксимации [О, Т] функции оригинала /(f). Для сравнения порядка сходимости Lfr-алгоритмов со схо димостью ряда Лагерра (2.1) оценим на максимум величину
N —1
R N сL tr, t/h) = en * f(t) — 2 akn<fk (t/h).
k = o