книги / Операционное исчисление и обобщенные ряды Лагерра
..pdfА й(г)= |
2 а« 2*» |
|
*=о |
Аг{2)= |
I л*, ft 2я |
|
*=о |
a остальные элементы заданы рекуррентным соотношением
®«, 1= ®в-1, |
—1, а » |
1. |
Ясно, что ^о(2)= А о(2). Определим Fi(z). |
||
|
00 |
|
Имеем F 1(е)= zF,(г)= а 1д2 + 2 |
а».i 2Л. |
|
|
7 7= 2 |
|
Далее воспользуемся рекуррентной зависимостью коэффи циентов рассматриваемой финитной матрицы, тогда полу
чим zF,(z)=(ai |—а00)2+ zA0(z)+ 22Fi(z).
Следовательно, F I(2) = Даооj—^ |
-4 o(2). |
||||
Полагая F„(2) = znF n(2), по индукции получаем |
|||||
F n(z)= Дяп—i,n—x* ÿ r j + |
|
|
|||
или |
в—1 |
|
|
|
|
~ |
1 |
, |
1 Лп(г). |
||
1 V л |
|||||
■Рв( г ) = |
*=o |
(1 _ г ) в - 1 - в |
+ |
( 1 - г ) " |
|
Отсюда |
' |
|
|
||
|
|
|
|
||
oo |
|
(1 — г) .4 t (г) + |
(1 — mz) .At (глг) — ам |
||
г )= 2 |
Я(гК«>2)‘ = |
||||
|
1—г(Ц-и>) |
||||
*= o
Вчастности, в случае классического треугольника Пас
каля имеем A o(z)=A i(z}= "ïZTJ» поэтому производящая функция треугольника Паскаля имеет вид
F(u>, z) = 1— *
Рассмотрим теперь два важных типа операторных соот ношений.
Первое из них возникает в связи со следующей задачей. Пусть заданы: операционное соотношение Ф(г)-4-ф(7) и по
следовательность ф. с. р. F k(z)—%(z)g*(2) (Â,(z) 6? [2] ), поряд-
ки которых образуют ограниченную возрастающую после довательность.
Требуется выяснить структуру линейного оператора G, удовлетворяющего условию À(3)Ô(g,|(2))-r-G<p(f).
Как видно, порядки ф. с. р. F k(z)=X(z)g6(z) |
образуют |
ограниченно возрастающую последовательность |
тЬгда и |
только тогда, когда 1 ^ 0(£(з))<оо. Поэтому можно полагать, что g (z)= z mgo(z), где
Яо(г)еР[г], m = 0 (g(z)). |
|
Рассмотрим два приема формирования |
оператора G, с |
различных сторон раскрывающих структуру оператора. |
|
Очевидно, |
|
00 |
|
Ф(гт^ (з ))= 2 V k^ S o*(г). |
(1.3.8) |
*=о |
|
Отсюда следует, что матрица G имеет треугольную фор
му.
Установим некоторые закономерности формирования элементов ее столбцов, которые определяются порядком фор мирования коэффициентов ф. с. р., полученного возведени ем в ft-ю степень ф. с. р. go(z).
Пусть w (z)=gQ*(z).
Требуется вычислить коэффициенты (и>0, u>i, к>2, ...) ф. с. р. w{z). Для этого воспользуемся рекуррентным приемом, кото рый состоит в переходе от рассматриваемого равенства к его логарифмической производной
и>'(г) |
g'0(z) |
и>(z) |
gt(z) • |
Так как go(0)^ 0, то St г(я\ |
разлагается в ф. с. р. вида |
ggjz) ~ ao+aiz+агг2+ . . .
Поэтому соотношение, связывающее логарифмические производные, может быть представлено как ft(ao+ai2+ H-a2z2-t- .. .)(w0+ iviz+ w 2z2+ .. .) = Wt+2w2z-{-3w3Z2-{-. . .
Отсюда для вычисления искомых коэффициентов полу чаем рекуррентное соотношение
*
(f + l)u»t+i = * 2 |
(1.3.9) |
9 - 0
с начальным условием 10о=£*(О).
Матрица G имеет следующую структуру: а).матрица G — треугольная; б) столбцы, номера которых не кратны т , — нулевые; в) столбцы, номера которых п кратны т, со держат элементы, являющиеся коэффициентами ф. с. р.
z mkg k (2), где &=-£-. |
|
т |
|
Рассмотрим теперь второй прием. С этой целью заметим, |
|
что в силу (8) оператор G задается г-последовательностью |
|
F k{z)=\{z)zkmgJ%z) |
(fe=0,1, 2 , . . . ). |
Тогда в силу (7) |
|
fl[<F(t)k+ 2 |
Q*([?])' |
в=0 |
|
тде полиномы Qs(w) порождаются производящей функцией
:— |
g%\2) |
поскольку в соответствии с (5) |
|
1t-~W2 |
|
|
|
|
|
GO |
00 |
2 р к ( ф к = 4 ^ ) 2 Wkzkmg0k(z) = 1- №z^gt(z) •
о&*=о
Итак, справедливо правило: если ф(£)-ьФ(г), то для V Мг)> ё’(г) е Р[з] при условии 0 (^(г))^ 1 справедливо
Mz)®U(z))-bQt(r?J), |
(1.3.10) |
где многочлены Qt (w) порождаются производящей функци ей
“ S e r f» )* * . |
o -8.il) |
Замечание. Сравним приведенные два вывода. Достоин ство первого .состоит в том, что он позволяет непосредствен но усмотреть структуру матрицы G. Недостатком его явля ется то, что в силу соотношения (9) в общем случае не ясно, как распространить соответствующие выкладки на .доле простой характеристики. Второй же вывод не позволяет сде лать каких-либо заключений о структуре матрицы <?, одна ко преимущество его заключается в том, что он остается справедливым для поля Р произвольной характеристики.
Рассмотрим несколько примеров.
MeP 1» Покажем, что в дополнении к соотноше нию (10) справедливо соотношение
(1.3.12)
где Q ',(w )= ~ Q t (w);
Еу — оператор смещения.
С этой целью продифференцируем по w соотношение (11), тогда будем иметь
M*)g(z) |
V Л/ / |
(1.3.13) |
|
<1-вд(»»а |
= 2 i Q f(w)z*. |
||
Кроме того, |
|
t—0 |
|
|
|
|
|
4z)g(z) |
^ |
|
|
(1—Wtf(z))2 = |
2d ((* ~Ь 1)^ (z)s(z))gk(г) wk |
(1.3.14) |
|
и |
ыо |
|
|
00 |
|
|
|
|
|
|
|
4z)g(zW (g(z)) = |
2 |
?*+i ((* + 1)^(z)g{z))gk(.z). |
(1.3.15) |
|
*=0 |
|
|
Сопоставляя (15) c (14) и учитывая (13), заключаем о спра ведливости (12).
П р и м е р |
2. Найти изображение функции целозначно |
||||||||
го аргумента А* р |
ср(0), |
если известно, что |
<p(ÿ)-b<I>(a). Здесь |
||||||
Да, р <p(t)= aq>(f+ 1 )— pcp(f). |
|
|
|
|
|
||||
Обозначим |
через |
Р„(ш)=(аш — р)л. |
Очевидно, что |
||||||
P»([<p])=AÎ,p9(0). |
|
|
|
|
|
|
|||
Так как |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
(au>- , p)V = T T F |
•------~ ~ |
|
||||||
*=0 |
|
|
|
|
1+ R |
|
|||
|
1 |
* 1 _ |
1 |
|
У» |
(«г)* |
. |
|
|
i +рг |
аг |
|
2л |
(1+Pz)fc+1 W ’ |
|
||||
|
|
|
1-Н* |
*~° |
|
|
|||
то справедливо |
|
|
|
|
|
|
|
||
2 |
(°3)* |
|
■Р<« = |
2 |
Д* Sf(0 )2\ |
(1.3.16) |
|||
|
|
|
|||||||
... » |
а + м » « |
||||||||
|
А=0 |
|
|
||||||
Отсюда заключаем, что |
|
|
||
|
|
Д ^ ?(0)- |
|
(1.3.17)' |
|
Замечание. Если в соотношении |
(16) ввести замену* |
||
z= |
IV |
то получим равенство |
|
|
~ р ~9 |
|
|||
|
|
СО |
GO |
£ |
|
|
2 |
2 А«.Р*<°>(а~М* ’ |
|
|
|
л= о |
|
л=о |
которое является обобщением на случай взвешенных разностей известного преобразования Эйлера слабосходящихся
рядов [И З].
Отметим также, что если переписать последнее равен ство в терминах переменной z (вместо w), тогда оно пред
станет в виде |
|
|
ф(2) = « 2 |
Д*„ 9(0) (a_p V +1 • |
(1.3.18), |
*=о |
|
|
Учитывая, что |
1 m » m |
|
гь |
|
|
(а-р2)*+1 |
' ар* V« / U /’ |
|
заключаем, что соотношению (18) в пространстве оригина лов отвечает соотношение
(1.3.19)/
4 ' k=0
которое является обобщением разложения функции <p(t) вг ряд Ньютона в случае, когда используются взвешенные раз ности (при а=р = 1 разложение (19) принимает вид обычно го ряда Ньютона).
Второй важный тип операционного соотношения возни кает в связи с решением следующей задачи. Пусть известные
операционные соотношения •ф(*)‘*"115(г)» ф(*)-т-Ф(г). Требует ся найти изображение, отвечающее произведению оригина
лов ф (*)ф (*)-
Если зафиксировать ф(£), то произведение ф(£) * q>(t} может рассматриваться как линейный оператор, финитная: матрица которого имеет диагональный вид (по диагонали расположены элементы ф(0), ф(1), я|)(2), ...).
Для решения поставленной задачи разложим функцию ^ ряд Ньютона
СО
■ко=2 ^(0)(I).
Умножим .это выражение на т|з(?) и воспользуемся тем, что
тогда получим
Следствие. Если a(t)^-A(z) и b(t)=£0 для VtQN, то изоб
ражение Ф(г), соответствующее оригиналу - щ р удовлетво
ряет дифференциальному уравнению эйлерова типа
Выше был дан анализ структуры линейных операторов в классе функций целозначного аргумента со значениями из поля Р.
Что касается структуры дробно-линейных операторов, то из определения следует, что такой оператор может быть изображен в виде упорядоченной пары двух линейных опе раторов <ZA, 2?> , из которых оператор А составлен на основе линейных форм числителя каждой компоненты дроб но-линейного оператора, а оператор В составлен соответст венно на основе линейных форм знаменателей. Дробно-ли- нейный оператор будем обозначать символом А/В.
Действие такого оператора на функцию <p(f) определяет
ся соотношением A /В ®(t) = |
^ . |
Как это следует из соотношения (20), представление дробно линейных операторов в пространстве изображений посред ством изображений числителя и знаменателя в общем слу чае встречает большие технические трудности, связанные с поиском решений дифференциальных уравнений эйлерова типа.
§ 4. Эйлеровский принцип суммирования расходящихся рядов в свете операционного анализа
Принцип финитности удобен главным образом в случае, когда поле Р является конечным, так как он позволяет пол ностью исключить из рассмотрения вопросы сходимости.
Однако, когда Р является полем характеристики О, в частности полем комплексных чисел, принцип финитности становится ограничительным, поскольку в этом случае встречаются преобразования, приводящие к бесконечному числу арифметических операций. Простейшие примеры та кого рода процедур представляют бесконечные числовые ряды. Этот случай, как известно, имеет наибольший прак тический интерес.
Если исходить из понятия суммы бесконечного ряда как -величины, получаемой в результате накапливания частич ных сумм слагаемых, то приходится сталкиваться с пре-
.дельными процессами, т. е. вопросами сходимости.
Однако вопросы сходимости можно в известном смысле •обойти, если воспользоваться эйлеровским введением поня тия суммы. Л. Эйлер писал: «Мы скажем, что сумма неко торого бесконечного ряда есть конечное выражение, из раз ложения которого возникает этот ряд» [113].
Эйлеровский принцип, как и принцип финитности, иск лючает анализ вопросов сходимости и вместе с тем позво ляет включить в сферу преобразований некоторые бесконеч ные процедуры.
В связи с этим представляет интерес использовать в опе рационном анализе принцип Эйлера, подобно тому, как был
.использован принцип финитности.
Приведем более строгую формулировку принципа Эй лера.
Пусть Р поле комплексных чисел.
|
|
|
|
Oû |
Величину s бР |
будем называть Э-суммой ряда |
^ а ь |
||
|
" |
Э s, |
|
к=а |
<а*бР) и писать |
если выполнены следующие ус- |
|||
ловия: |
4=0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
.а) степенной ряд |
|
|
||
|
|
i |
s |
(1.4.1) |
|
|
4=0 |
|
|
имеет отличный от нуля радиус сходимости;
б) точки z =0 и г = 1 |
принадлежат |
некоторой связной |
области однозначности |
G функции /(г), |
порожденной сте |
пенным рядом (1 ) ; в) /(l)=s.
Замечание. Бели функция f{z), порождаемая степенным рядом (1), многозначна, то величина /(1 ) может зависеть от выбора ветви функции f(z). В этом случае следует дополни тельно оговаривать, какая ветвь функции f(z) имеется в виду.
Кроме того, точка z —1 может оказаться существенно осо бой точкой для функции /(г). В таком случае в зависимости от пути следования z-»-l могут быть получены различные пределы.
Для устранения неопределенности в этом случае будем предполагать, что существует достаточно малая величина е > 0, такая, что интервал вещественной оси (1 — е, 1 ) содер жится в области G.
Соответственно за величину значения f(z) в точке z = l
будем принимать предел /{1 )= lim /(1 —е), если таковой су-
£4-0
щеетвует, при этом для простоты будем писать /(1) = = lim f(z).
Z -> 1
Из определения следует, что эйлеровский принцип сум мирования рядов касается только степенных рядов и суще ственно использует принцип аналитического продолжения. При этом корректность определения Э-суммирования следу ет из принципа аналитического продолжения. (Для более детального знакомства с принципом суммирования Эйлера сошлемся на известную монографию [107] ).
Ясно, что в кольце ф. с. р. совокупность степенных рядов с ненулевым радиусом сходимости образует подкольцо, его будем называть элементарным кольцом степенных рядов, (э. к. с. р.).
Из изложенного следует, что эйлеровское определение суммы бесконечного ряда может иметь смысл только для: элементов э. к. с. р.
Рассмотрим теперь, какую интерпретацию в простран стве оригиналов получит принцип Эйлера, примененный в
пространстве изображений к ф. с. р. |
СО |
0 |
|
°° |
|
||
Пусть a(t)-^-A(z)= S |
и имеет место |
'S Дь=Ит.4(г).- |
|
к - 0 |
|
к=-0 |
г '* 1 |
Последнее соотношение будем записывать так: |
|||
t |
|
|
|
H m 2 а*= И тЛ (г). |
|
(1.4.2} |
|
# 4 -° 0 A = Q |
* 4 -1 |
Это соглашение по существу задает определение предель ного процесса при г-»-оо в пространстве оригиналов.
Действительно, так как
t |
j |
|
2 |
ak -i-j^ A (z ) |
|
fc=0 |
|
|
Я |
|
|
lim 2 ah = lim (l—z ) | |
А Щ |
|
oo _Q |
L |
-J* |
то в силу произвольности выбора A(z) из э. к. с. р. соотно шение (2) эквивалентно
э
lim a(t) = lim (1 — z)A(z). t-+-ao
Последнее равенство служит |
определением величины |
lim a(t). |
|
Как следствие изложенного |
покажем, что в э. к. с. р. |
каждый ф. с. р. |
|
2 акгк= А (г) ft—о
допускает подстановку z=Ç в любой точке £ 6 Р, в которой функция A(z) однозначно определена.
Действительно, пусть a{t)~A(z), тогда £ fa(t)-\r-A{t,z).
t |
|
|
|
Следовательно, 2 |
№) |
М.чг). |
|
fc=0 |
|
|
|
Отсюда, согласно определению, |
|
||
|
■V ь |
э |
lim A (Cz) |
lim 2 |
(fe) = |
||
t-»- со |
|
|
Z-+1 |
И ЛИ |
|
|
|
t |
|
оо |
э |
lim 2 |
С*о(*) = 2 |
= А (С). |
|
ft-0 |
ft=0 |
|
|
Итак, принцип Эйлера выделяет такое подкольцо ф. с. р., для которых имеет смысл говорить о подстановке элементов поля Р в ф. с. р. При этом допустима подстановка в ф. с. р. тех элементов поля Р, в которых однозначно определено значение функции f(z),порожденной рассматриваемым
ф. с. р.'Яснд, Что ôîôT принцип имеет, скорее теоретическое, чем практическое значение, так как техника аналитическое го продолжения, техника определения особенностей функ ции f(z) по ее степенному ряду встречает большие практи ческие трудности.
Теоретическая ценность этого принципа для операцион ного анализа состоит в том, что, с одной стороны, он поз воляет отождествить элементы некоторого подпространства пространства изображений (а именно элементы э. к. с. р.) с классом полных аналитических функций, регулярных в окрестности начала координат, и с другой стороны, он поз воляет определить в пространстве оригиналов предельный процесс при t-*~оо.
Это обстоятельство будет играть в последующем фунда ментальную роль при обобщении операционного исчисле ния.
§ 5. Формальные ряды Лагерра
Выше были рассмотрены основы дискретного операцион ного исчисления на базе понятия ф. с. р. Алгебраическая структура степенных рядов и их свойства по существу об разуют алгебраический фундамент различных типов дис кретных преобразований.
Укажем три важных приема сведения дискретного опе рационного исчисления, базирующегося на понятии ф. с. р., к различным его модификациям.
Первый из них состоит в приписывании того или иного смысла символу г. Так, полагая z равным s~*, получим, преобразование Дирихле
00
F(t) = 2 a kS~kt;
*= о
полагая z равным е~*, получим дискретное преобразование Лапласа
00
•Р(*) = 2 яАе_д";
полагая г равным зг1, получим так называемое з-преобра- зование