книги / Операционное исчисление и обобщенные ряды Лагерра

Ясно, что отношение эквивалентности в пространстве W(z). производит в пространстве A{t) отношение эквивалент­ ности Л по следующему правилу: два обобщенных ряда Лагерра fait) и fç{t) относятся к одному классу эквивалент­ ности, если отвечающие им степенные ряды F а (z) и Fp(z) являются эквивалентными в упомянутом выше смысле. Соответствующее фактор-пространство пространства обоб­ щенных рядов Лагерра обозначим символом A(t)/(A).

По построению имеет место изоморфизм

A(t)/A<--+W(z)/(w). (2.1.4)

Классы эквивалентности на A(t), т. е. элементы прост­ ранства A(t)/(A), будем называть обобщенными оригинала­ ми и обозначать символом {f(t)} (кратко записывать о. о.). Пространство A(t)/(A) будем называть пространством обоб­ щенных оригиналов, а пространство W(z)/(u>) — простран­ ством изображений.

В силу (4) каждый о. о. {/(*)} находится во взаимно-одно­ значном соответствии с отвечающим ему, согласно (4), изоб­ ражением F (г), что будет записываться так: {/(?)}-hF(z).

Напомним [100], что область О называется областью определения, а ее граница Г — естественной границей ана­ литической функции F(z), если F(z) не продолжаема анали­ тически за границу области G.

G,(|*|<1) и G2(\z—2 | < 1). Каждое из указанных изобра­ жений порождает о. о.:

00 £&

операции суммирования и свертывания о. о. определены не для любых о. о., т. е. как пространство W{z)/(w), так и прост­ ранство A(t)/(A) не являются кольцами. В связи с этим в последующем всюду без всяких оговорок будет предпола-

Нетрудно видеть, что ряд (2) сходится абсолютно и рав­ номерно на любом конечном отрезке целой функ­ ции /(f) экспоненциального порядка роста. Последнее озна­ чает, что о. о. {/(f)} реализуется обычной целой функцией /(f) экспоненциального порядка роста. При этом легко убе­ диться, что соответствие f(t)-hF(z) задается интегральным преобразованием

00

О

Последний интеграл называется интегралом Лапласа — Карсона в терминах 2-переменной. В операционном исчис­ лении принято записывать интеграл Лапласа — Карсона в

00

терминах р-переменной Ф (р)=р ^e~pt f(t)dt.

О

Замечание. В данной работе используется запись изобра­ жения Лапласа как в 2-, так и в р-переменных. Именно при изучении вопросов теории используется 2-переменная. Ока­ залось, что в терминах 2-переменной удается изящнее пред­ ставить свойства симметрии ряда важных операционных соотношений. В остальной части книги (в главах 5 и б) ис­ пользуется традиционная запись в р-переменных. Переход от одной переменной к другой тривиален: 2= 1/р.

П р и м ер . Разлагая изображения в окрестности 2=0 в степенные ряды, легко убедиться в справедливости следую­ щих операционных соотношений:

e o s f + i - J L . ; «г-*-*-J L . ;

iFi(K т» *) iFAK i; т; 2) (T¥=O, —1 , —2, . . . ),

где iFi(A., y, f) — вырожденная гипергеометрическая функ­ ция, a 2F i(Я, 1 ; y; 2) — гипергеометрическая функция.

Частным случаем последнего операционного соотноше­ ния является (а—г)х-т-ах iFi(—X; 1 ; f/a).

Покажем теперь, что понятие функции-оригинала клас­ сического операционного исчисления является частным случаем понятия обобщенного оригинала.

В работах [39, 43] доказано, что для того, чтобы сущеетвовал интеграл

от произвольной суммируемой на любом конечном отрезке [О, Г] функции /(f) и при этом представлял собой функцию

О

Предположим, что выполнено условие (4). Выберем па­ раметр Я-> 0 таким, чтобы было о<Д< -|-и перепишем усло­ вие (4) в эквивалентном виде

где ап вычислены как коэффициенты Фурье согласно из­ вестной формуле

00

= Т \ e ~ ^ L A m f m d t (2.2.7)

О

(последний интеграл сходится, так как сг0А.< -£-). Оценим величину коэффициентов ал. Имеем

е~Щ f / (кх) dx je ~ tl2L n(t)dt —

О\б

Je~«2^Jf(Xz) dz je~*i*L'n(t)dt.

Воспользуемся известными оценками для многочленов Лагерра е~*>2 |L n(t) |< 1, е-*& \L'n(t) |< п, 0 < t < оо, тогда получим

условие (5), следовательно, величина а конечная. Рассмотрим изображение ряда (6) :

ш

(2.2.9)

71=0

Оценка (8) означает, что степенной ряд (9) сходится равно­ мерно по меньшей мере в области |z —Х| *<Х. Следовательно, ряд Лагерра (6) является представителем некоторого о. о. f с изображением Fy(z), порождаемым степенным рядом (9). Покажем теперь, что функция F\(z) совпадает с функцией F{z), определяемой интегралом (3). Тем самым будет пока­ зано, что о. о. {/(£)} может быть отождествлен с исходной функцией f(t), ибо при условии (4) функция /(#) определяет­ ся однозначно (с точностью до значений на множестве меры нуль) своим изображением Лапласа — Карсона F(z) [43].

Коэффициенты а„ разложения (9), вычисляемые по фор­ муле (7), в силу (3) могут быть представлены в виде

с другой стороны, в силу (9) имеем

Следовательно, в силу теоремы о единственности аналити­ ческой функции будем иметь Fi(z)s=F(z).

Приведенное доказательство означает, что пространство функций-оригиналов классического операционного исчисле­ ния является частью пространства обобщенных оригиналов, при этом отвечающие им изображения Лапласа — Карсона и обобщенные изображения тождественно совпадают.

§ 3. Обобщенные оригиналы, зависящие от параметра

Непрерывность по параметру. Пусть F(z, А.) аналитичная по в в ограниченной односвязной области D и зависит от ве­ щественного или комплексного параметра А, пробегающего значения некоторой области Д. Для уА0Д имеем {f(t, А)}ч-

-rrF{z, А).

Примем, что при А-»-Ао (А,, Ао0 Д) F(z, А,) сходится равно­

мерно по z в произвольной замкнутой области D dD к функ­ ции F(z, Ао).

По теореме Вейерштрасса, функция F(z, Ао) аналитична в D и, следовательно, принадлежит пространству W(z)/(w).

Обозначим через {f(t, Ао)} отвечающий изображению F(z, Ао) о. о. О. о. {/(г, Ао)} будем называть о-пределом после­ довательности {f(t, А)} и писать

а последовательность о. о. {f(t, А)} будем называть о-сходя- щейся. О. о. {fit, А)} называется непрерывным по параметру А в области Д, если при любом AoG А имеет место соотноше­ ние (1).

Замечание. Очевидно, что непрерывность о. о. {f(t, А)} по параметру А равносильна равномерной непрерывности функции F(z, А) по параметру А относительно z QÔ.

Интегрирование по параметру. Пусть F(z, А) для любого zQ D интегрируема по параметру А вдоль некоторого спрям­ ляемого контура Г, причем F(z, А) равномерно ограничена в области D (2Q D). при любом А 0 Г. Образуем интегральную

IЦР(г,А*)ДА*|<М(Ф)г, h

где I длина контура Г, то последовательность интегральных сумм по теореме Монтеля [100] является компактной в об­ ласти D, Так как для каждого zQD существует предел

где ст=max I АЛ* |, то в силу теоремы Витали последователь-

i

ность интегральных сумм сходится равномерно в области D к соответствующему интегралу.

Это означает, что в пространстве обобщенных оригина­

о-сходится к некоторому о. о., который обозначим символом

J F(z, X)dX.

г

Дифференцирование по параметру. О. о. {g(t, X)} называ­ ется производной о. о. {f(t, X)} по параметру X в точке Х=Хо,

равномерный по z в области D. Из определения следует, что

| c {/ 4 M )}U , + - £ F (Z,X)IX~X..

Аналитичность по параметру. Если X комплексный па­ раметр, пробегающий открытую область А, то дифференци­ руемый по параметру X о. о. {f(t, X)} называется аналитиче­ ским по параметру X. В этом случае F(z, X) представляет со­ бой аналитическую функцию по каждой из переменных zQ D и Хе А. В силу известной теоремы Гартогса функция F{z, X) является аналитической по совокупности переменных (z, X) [23].

Разложим функцию F(z, X) в ряд Тейлора в окрестности точки (2о, Хо) 6 Ф ХА)

который сходится равномерно и абсолютно в некотором би­ цилиндре Е :

|г—2o|sÇpi<ri, |Х—Хо|<р2<г2,

где ri и гг — сопряженные радиусы сходимости рассматри­ ваемого двойного степенного ряда. Ряд (2) можно переписать в виде

F (z, X) ■ 2 -0-J ^ < * , X) М . •(X - X/.

В пространстве оригиналов ему отвечает о-сходящееся раз­ ложение о. о. {/(£, А,)}:

№ *)} U . * (* - К)\

которое представляет собой ряд Тейлора для о. о. {f(t, Я)} в окрестности точки аналитичности Я=Яо. Радиус сходимости этого ряда Тейлора естественно определить величиной г^.

Два аналитических по параметру Я о. о. {/(£, Я)}, {g(t, Я)}, определенные в области А и совпадающие на множестве то­ чек из А, имеющем предельную точку внутри А, совпадают при всех Яб А.

Действительно, два изображения F(z, Я) и G(z, Я) совпа­ дают (для всех ZQD) на множестве точек Я, имеющих пре­ дельную точку внутри А. Следовательно, в силу классиче­ ской теоремы о единственности аналитических функций функции F(z, Я) и G(z, Я) совпадают по Я на всем множестве А. Этот принцип лежит в основе аналитического продолже­

Следовательно, ï х-т-Г(Я-Ы)25-, (ЕеЯ > -----g-).

Используя принцип аналитического продолжения по па­ раметру Я, получаем операционное соотношение {£х} -т-Г(Я + 1)зх, справедливое для всех ЯФ —1, —2 , . . .

Из последнего соотношения следует, что о. о. {£х} аналитичен по параметру Я в области аналитичности функции Г(Я+1)2Х, причем при К еЯ > — 1 он представляет обычную степенную функцию £\ а при Л еЯ<— 1 — некую обобщен­ ную степенную функцию. Как будет показано ниже, в точ­ ках Я = — 1, — 2, ... о. о. {£х} как функция параметра Я име­ ет полюсы.

(где е > 0 сколь угодно малое число). Оригинал, отве­ чающий этому изображению, является целой функцией по t и аналитичен по Xпри |X|> е.

Рассматриваемое изображение при Я=0 перестает быть аналогичным в окрестности точки 2= 0. Однако при Я-И)

последовательность функций - ~ j ~ сходится равномерно к

1/г в любой области вида |г| > р . Последнее следует из оценки |г - 1_ ( г _ ) ,Г 1|----- < „||!_,| .

Если обозначать о. о., отвечающий изображению z~l, через

6(f), то вышеизложенное означает, что оригиналы -j- et,x при

Я-»-0 (по произвольному пути) о-сходятся к ô(f).

П р и м е р 3. Изображение z xe~г является целой функ­ цией по параметру X. _

При ИеЯ>— 1 {f(X, f}= fW J x (2Vt). При НеЯ< — 1 и Х Ф — 1, — 2 , . .. имеем

( - 1) V +*}

Пусть теперь — л < И е Я < — 1, Х ф — 2, — 3, . .. - ( л — 1),